行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文.docx

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行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用毕业论文

本科生毕业论文

题

目：

行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用

姓

名：

学

号：

200802023046

系

别：

数学与计算机科学系

年

级：

2008级

专

业：

数学与应用数学

指导教师：

职称：

副教授

指导教师：

职称：

讲师

2012年4月20日

安顺学院毕业论文任务书

数学与计算机科学系数学与应用数学专业2008年级

学生姓名毕业论文题目：

行列式的计算方法及其在线性方程组中的应用

任务下达日期：

2011年9月5日

毕业论文写作日期：

2011年9月5日至2012年4月20

学生签字:

指导老师签字:

摘要

《高等代数》是数学专业学生的一门必修基础课程。

行列式的计算是高等代数中的重点、难点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。

计算n阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。

当看到一个貌似非常复杂的n阶行列式时，仔细观察,会发现其实它们的元素在行或列的排列方式上都有某些规律。

掌握住这些规律，选择合适的计算方法，能使我们在极短的时间内达到事半功倍的效果！

本文首先介绍n阶行列式的定义、性质，再归纳总结行列式的各种计算方法、技巧及其在线性方程组中的初步应用。

行列式是线性方程组理论的一个组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广。

它不仅是解线性方程组的重要工具，而且在其它一些学科分支中也有广泛的应用。

关键词：

n阶行列式计算方法归纳线性方程组

ABSTRACT

Algebraisacoursesofmathematicsspecializedcompulsoryofthebasicmathematic・Thedeterminantscalculationisthemostdifficultyinhigheralgebra,especially,thenorderdeterminant^calculation,alwayisstudent'sdifficultyinthelearningprocess,so,itisdifficulttomasterforours・Therearealotofcalculationsofnorderdeterminantinmethod,butwhenwesayaproblemofthecalculationofnorderdeterminant,accordingtoitscharacteristics,selectingtheappropriatemethodtosolvingisaverygoodidea・Whenyouseeaseeminglysocomplexnorderdeterminant,weshouldobservethemcarefully,andwewillfindthattheirelementsareairangedinrowsorcolumnshavesomeregularity.Graspingoftheselaws,findingaappropriatecalculationmethodjtcanhelpustoachieveamultipliereffectinaveryshorttime!

Thispapermainlyintroducesthedefinitionofnorderdeterminant,nature,andcalculationmethods,theskillsofcalculationofnorderdeterminantandapplicationinlinearequationgroup・Determinantisanimportanttheoryinlinearequationsanditisanindispensablepartoflinearequations,determinantisalsothemiddleschoolmathematics*contentraiseandpromotion・Itisnotonlythesolutionoflinearequationsoftheimportanttool,butalsoinsomeotherbranchhasawiderangeofapplications.

Keywords:

norderdeterminantcalculationmethodinducelinearequations

引言1

1“阶行列式的定义3

2屛介行列式的性质3

3计算“阶行列式的具体方法与技巧4

3.1利用行列式定义直接计算4

3.2利用行列式的性质计算5

3.3化为三角形行列式6

3.4降阶法7

3.5逆推公式法8

3.6利用范德蒙德行列式9

3.7加边法（升阶法）9

3.8数学归纳法10

3.9拆开法11

4行列式在线性方程组中的初步应用11

4.1克拉默（Gmmer）法则12

4.2克拉默（Gmmer）法则的应用12

4.2.1用克拉默（Gmmer）法则解线性方程组13

4.2.2克拉默法则及其推论在几何上的应用14

结论16

参考文献17

致谢18

17

解方程是代数中一个基本问题，特别是在中学中所学的代数中，解方程占有重要的地位.因此这个问题是读者所熟悉的.比如说，如果我们知道了一段导线的电阻厂，它的两端的电位差V，那么通过这段导线的电流强度八就可以有关系式ir=v求出来•这就是所谓解一元一次方程的问题•在中学所学代数中，我们解过一元、二元、三元以至四元一次方程组.

线性方程组的理论在数学中是基本的也是重要的内容.

对于二元线性方程组

当"1心22-。

】2“21工0时，次方程组有惟一解，即

我们称5如切为二级行列式，用符号表示为

如如一如“21=佝a22

于是上述解可以用二级行列式叙述为：

当二级行列式

时，该方程组有惟一解，即

对于三元线性方程组有相仿的结论•设有三元线性方程组

anx{+ai2x2+a[3x3=bl9

（l2\X\+Ct22X2+a23X3=“2，a3lx}+a32x2+©3X3=仏・

不小彳弋dltl\1^22^33+"12。

23。

31+。

13。

21"32—“1|"23。

32—^12^21^33—^13^22^31丿勺

行列式，用符号表示为：

绚Ia[2a}3

aiia22a33+ai2a23a3l+"13“21°32一"11“23“32一"12°2“3一"门他佝】=（12\。

22。

23

“31勺2a33

我们有：

当三级行列式

时，上述三元线性方程组有惟一解，解为

其中

Sa\2a\3

5*如

5%勺

■

d2=

5b2如

，d严

5心h.

b\“32"33

a3lb3“33

a31a32b3

在本论文中我们将把这个结果推广到〃元线性方程组

anxi+ai2x2+"+aiA=bia2lxt+a22x2+-+a2nxn=b2

<

.^l+an2x2+--+a„„xn=bn

的情形•为此，我们首先要给岀〃阶行列式的定义并讨论它的性质，这就是本论文的主要内容.

1n阶行列式的定义

〃阶行列式

你如……细

Cl2la22皿2"

Cln\Un2ann

等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积

（1）的代数和，这

里j』2…j”是12…，几的一个排列，每一项（5）都按下列规则带有符号：

当j」2…

j”是偶排列时，

（1）带正号，当jjr-j.是奇排列时，

（1）带有负号•这一定义可以写成

«i!

an

如

an\

"1“

4"_2（一1）口皿＞Cl,a2h.•%jJl-Jn

“I"这里工表示对所有阶排列求和.

定义表明，为了计算"阶行列式，首先作所有有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积。

把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后山列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号•由定义立即看出，屛介行列式是山"！

项组成的.

2"阶行列式的性质

性质

（1）行列式与它的转置行列式相等；

性质

（2）交换一个行列式的两行（或两列），行列式改变符号；

性质（3）如果一个行列式有两行（列）完全相同，那么这个行列式等于零;

性质（4）把一个行列式的某一行（列）的所有元素同乘以某一个数等于数k乘这个行列式；

性质（5）一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边；

性质（6）如果一个行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这行列式等于零；

性质（7）如果一个行列式有两行（列）的对应元素成比例，那么这个行列

式等于零；

性质（8）设行列式D的第i行的所有元素都可以表成两项的和:

Ci2\a22

an\Cln2ann

那么D等于两个行列式p与D2的和，其中p的第i行的元素是,

D2的第i行的元素是卬,％,…,。

”，而”与D?

的其他各行都和D的一样.

同样的性质对于列来说也成立.

性质（9）把行列式的某一行（列）的元素乘以同一个数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变.

在深刻理解了n阶行列式的定义及性质后，我们自然会想到，给出一个貌似复杂的"阶行列式，怎样在有限的时间内准确地算出它的值呢？

这是本论文的中心论点.

〃阶行列式的讣算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题U的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法.下面介绍儿种常用的方法，并举例说明.

3计算“阶复杂行列式的具体方法与技巧

3.1利用行列式定义直接计算

例1计算行列式

0•••010

0...200

D„=

••••

••••

”一1…000

0••-00n

解D,中不为零的项用一般形式表示为

5-心2-2…4一1“山=加・

2=（-1）2川.

3.2利用行列式的性质计算

例2—个〃阶行列式2=|呦|的元素满足

5=-Qji上j=12

则称0为反对称行列式，证明：

奇数阶反对称行列式为零.

证明：

方法1:

设其为2n+l阶行列式，每行提出（-1）后，D二（-1严小冋二（-1）⑵二-D,所以D二0.

方法2：

由©=-ajt知ai（=-eg,即a..=0J=1,2,…“，故行列式D】可表示为

0

%

…5”

~a\2

0

。

23

…％

2=

一"13

♦•・

_。

23

0

•••

…知

••♦••♦

一细

一5

…0

又由行列式的性质国=|団

Dn=

0

如

«13

♦••

一舛2

0

“23

•••

_°13~a23

0

•••

•••

•••

•••

•••

~a3n

•••

a\n

a2n

Chn

•••

0

0

an

如

♦••

alll

~U12

0

•••

如

=（-1『

一

♦••

~Cl23

•••

0

•••

・••

•••

•••

一细

一吆

♦••

0

=（j）5

当”为奇数时，得Dn=~Dn，因而得Dn=0.

3.3化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为上三角形或下三角形，其结果为行列式

主对角线上元素的乘积乘以（-1）的逆序数次方.因此化三角形是行列式计算中的

一个重要方法.

例3计算〃阶行列式

a

b

b

…b

b

a

b

…b

b

b

a

…b

•••

b

•••

b

•••

b

••••♦•

…a

D=

把第2,3,…，料列都加到第1列上，行列式不变,

a+（n-\）b

b

b

♦•

b

a+（n-\）h

a

b

••

b

D=

a+（"_l）Z?

b

a

••

b

・♦•

•••

b

•••

b

••

♦•

•••

a

1

b

b

•••

b

1

a

b

•••

b

=[«+（/?

-I）/?

]

1

h

a

•••

b

•••

1

•••

b

•••

b

•••

•••

•♦•

a

1

b

b

••

•b

0

a_b

0

••

•0

=[a+（n-\）b]

0

0

a_b

••

•0

•••

0

•••

0

•••

0

••

••

••••

・a_b

=[d+（n_l）b]（a_b）z

对于形如［・・•・・•*的所谓三角行列式，可直接展开得到两项递推公式

Dn=叽、+0U.2，然后釆用如下一些方法求解.

方法1如果〃较小，则直接递推计算.

方法2用第二数学归纳法：

即验证〃=1时结论成立，设n

立，若证明n=k+\时结论也成立，则对任意自然数相应的结论成立.

方法3将D产叫「0D"变形为D厂PD”.m、_PD」其中

p+q=at一pq=0

山韦达定理知0和q是一元二次方程x2-ax-p=0的两个根.确定"和q后，令fM=Dft一pD“则利用f（n）=03—1）递推求出/（n）,再由Dn=pD“+/（«）递推求出0・

方法4设D,,=财.代入Dn-aDn_x-pDn_2=0得0-血心一卩严=o.因此有疋一盃一0=0（称之为特征方程），求出其根析和也（假设册工农），则

Dn=K+K这里勺&2可通过取九=1和〃=2来确定.

例4求〃阶行列式的值

01

101

101

D”=・•・

101

10

解：

按第1行展开得as，即q+zv厂0・作特征方程疋+1=0,解得x}=i,x2=—i9则

当n=l时，9=0,代入式⑴得加-〃2=0；当”=2时，2=_1,代入式⑴得

—a—b=—\.联立求解得«=/?

=—,故£>”=丄［厂+（—/）"1•

22

3.4降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开.

例5计算〃阶行列式

解将Di按第1行展开

a

0

0•

・（）

0

a

0•

•0

0

a

0.

•（）

0

0

a・

•0

0

0

a•

・（）

+（-1严

•

•

•

•

•

•

•

■

■

■

•

■

■

■

■

■

•

•

■

■

■

•

•

0

0

0・

・・a

0

0

0•

•a

1

0

0•

•0

2=a

"+（-1严（—1）"2

3.5逆推公式法

逆推公式法：

对77阶行列式D〃找出与Di或与D^,Dn-2之间的一

种关系一一称为逆推公式（其中%6八D"等结构相同），再111递推公式求岀

D,的方法称为递推公式法.

例6证明

0

-1

a}+x

=xn++a2x^2+・・・+an^x+an,（/:

>2）

证明：

将6按第1列展开得

A

-1

0

…0

0

0

X

-1

...0

0

♦••

•••

•••

••••••

•••

0

0

0

…X

一1

4—2

6-3

•…a2

q+X

-1

0…

0

0

+（j）"b”

X

—]•••

0

0

♦♦•

••••••

♦••

•••

0

0…

X

-1

=5+

山此得递推公式：

Dy+xDz利用此递推公式可得

D”=an+xD^}=an+x（an^+xD^2）

=an+at^x+x2Dn^2

=•••=&口+6ln_jX+・・•+6l|1+Xn

3.6利用范德蒙行列式

例7计算行列式

1

1

…1

x}+1

x2+\

…兀+1

彳+召

■

•

x；+x2

•

•

…尤+X”

•

■

•

x'^+x'；-2

•

■

…x”+xft

D=

解把第1行的一1倍加到第2行，把新的第2行的一1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n-\行的一1倍加到第料行，便得范德蒙行列式

…1

…俎

…€=n（兀-®）

・n>i>）>\

3.7加边法（升阶法）

加边法（乂称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。

例8计算〃阶行列式

D”=|D”|（n阶）

第衍减第［行

心

0

0

0

（箭形行列式）

计算〃阶行列式

0

-1

a}+x

解：

用数学归纳法.当77=2时

a2x+aA

=x（x+q）+a2

=x2+qx+“2

假设n=k时，有

D#=X*+Cl^X^1+Cl-yX^"+•••+Cl^^X+Ur

则当n=M时，把D如按第一列展开，得

入f2+伽

=X^Xk+d}Xk+…+d—+dj）+“知］

左+1k?

=A*+Cl^X+•••+

由此，对任意的正整数小有

Dr=Xn+U}X，11+…+Cln^2X+aii-}x+

3.9拆开法

把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列

式写成两行列式之和，使问题简化以利计算.

例10计算行列式Dn=

q+人a?

•…

G]4+入•…

5

■

■

■

a2

+人

■

■

■

…5

…an

■

•••♦

■

+

A

0

■

■

■

a2

“2+4

■

■

■

…5

…an

■

・•••

■

«2

…Cln+人,nn

0

0

…Cln+Ar

•an+^n

解：

Dn=

4

0

u2•…

・・・

=q人…儿+&2-1

问题，把握行列式的特点，灵活选用方法.学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的讣算方法.

4行列式在线性方程中的初步应用

在中学代数和解析儿何里，我们已经遇到两个未知量和三个未知量的线性方程组。

但是许多从理论和实际问题里导出的线性方程组常常含有相当多的未知量，并且未知量的个数与方程的个数也不一定相等。

因此我们将更深入的讨论含有任意个未知量任意个方程的线性方程组.

线性方程组组的一般形式是：

勺內+a22X2+-a2nXn=仇

••••••••X”••••••■”••••••••••••••

.勺內+勺2吃+••化

其中“宀，…，x”代表未知量，©（i=l,2,…,m;j二1,2,…,n）代表未知量的系数，》»,・・・,"代表常数项.

我们将在复数域C上讨论线性方程组。

这就是说，方程组中未知量的系数和常数项都认为是复数，并且以后谈到数时，也总指的是复数（若是把复数域换为其他的任一数域，讨论还是可以同样进行）

4.1克拉默（Cramer）法则

如果线性方程组

anxi+al2x2+..alnx„=bt

a2lxl+a22x2+..Ja2ilxil=b2

•••••••■••••••••••••••••••••••••••••••••

all[x[+all2x2+..annxll=bn

（其中召,尤2，..・,兀代表未知量，（i二1,2,…，m;j=l,2,•••,n）代表未知量的系数，休爲，…代表常数项.）的系数行列式DMO,那么，这个方程组有解，并且解是唯一的。

可以表示为

xl=DjD,x2=D2/D,--,xn=Dll/D

其中D是把D中的第i列换成常数项b:

b:

.....bn得到的”阶行列式.

这个定理有三个结论，方程组

（2）有解，解是唯一的，解由公式（3）给出.

4.2克拉默（Cramer）法则的应用

克拉默法则只是使用于方程个数和未知量个数相等的特殊情形，当线性方

程组的系数行列式不为零时，克拉默法则给出了该方程组的三个结论：

（1）有解

（解的存在性）;

（2）有唯一解；（3）用行列式表示了方程组的不可取，但其理论上的作用必须重视.

山克拉默法则得到“方程个数与未知数个数相等的齐次线性方程组有非零解

时，其系数行列式等于零”的结论，其实它还是充分必要条件，以后将多次用到.4.2.1用克拉默法则解非齐次线性方程组

例11求解线性方程组

"2n-1

£+a{x2+®勺+・°•+4xH=q

%,+a2x2+a『召+・・•+=a2

W+EW3+・・・+E£=%

其中®工勺（心川,）=12丿）・

解：

方程组的系数行列式为川阶范徳蒙徳行列式的转置•山匕*/丿可知

D=口（匕一勺）HO

n>i>j>l

故山克拉默法则法则知，方程组有惟一解•乂有

45沙…

2

0a、5…

从而方程组的解为

▲J■

州=2*D=0,x2=Di2}/D=1,x3=D（i）/D=0,…，兀=D{,t}/D=0

例12下列方程组中“Zb…，绻各不相同，求证下面方程组有惟一解，并把它的解求出来.

X]+兀2+…+兀=1

alxl+a2x2+・・・+anxn=b

<

n-\n-