考研数一真题及解析.docx
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考研数一真题及解析
2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题：
1〜8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
j-pdx（p>1时收敛），而此时
q（x）=（）
【答案】（A）
2
y，+p（x）y=f（x）的解。
所以有q（x）=3x（1+x2）.
[x,x<0
（4）已知函数f（X“
I—
1n
In'n+1
（A）AT与BT相似
【答案】（C）
（6）设二次型f（x1,x2,x^=x12+X2
（1）（p'ap）t=bt=
⑵（P^AP）4：
二4
（3）p4（A+A4）P=P~*AP+P-*a"1P=B+B，二A+A~~B+B"*,故（D）不选;
此外，在（C）中，对于P'（A+aT）P=p'aP+P，ATP，若P^APtB，则PTAT（PT尸=BT,
而P亠atp未必等于BT，故（C）符合题意。
综上可知，（C）为正确选项。
2
+x3+4为屜+4xiX3+4X2X3，贝yf（Xi,x2,X3）=2在空间直角坐
标下表示的二次曲面为（）
（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面
【答案】（B）
指数分别为1,2.
（10）向量场A（x,y,z）=（x+y+z）+xyj+zk的旋度rotA=
【答案】（0,1,y-1）
【答案】-dx+2dy
<2Xdy
【解析】P{-比.025£宁
石
【答案】（8.2,10.8）
_C—O'
WU0.025}=P{x-U0.025〒vuVX+下U0.025}=0.95
vnvn
因为x+号三U0.025=10.8，所以字U0.025=1.3,所以置信下限X-U0.025字=8.2.Vnvnvn
三、解答题：
15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或
r
D=2（r,9[2ffxdxdy.
D
（16）（本题满分10分）设函数y（x）满足方程y"+2y'+ky=0,其中0ckc1.
（I）证明：
反常积分J0y（x）dx收敛；
（II）若y（0）=1,y'（0）=1,求.0y（x）dx的值.
【答案】（II）3
k
【解析】
（1）特征方程为r2+2r+k=0,由0ckv1可知，特征方程有两个不相同的特征根，「1厂兰严=T±Qk且「1,2<0，
由二阶常系数齐次线性方程的求解可知，y（x）=Cierix+C2er2x
=0怠｛Cierix+C2er2X]jx
=[先ieriXdx+^^C2er2Xdx
曇xmerix廿学应尹門由于「1,2VO
fy（x）dx=——-"C2极限存在，故收敛.rir2
⑵由y（x）=CieriX+C2er2x,y（O）=1,y'（O）=1可知,
Ci+C2=i
i
Ciri+C2r2=i解得G=C2=-
1^2=-i
代入・0^y（x）dx=—学―学可知J「y（x）dx=^^
（i7）（本题满分io分）设函数f（x,y）满足凸（x,y）=（2x+i）e23,且f（0,y）=y+i,Lt是从点（0,0）到ex
点（i,t）的光滑曲线，计算曲线积分l（t）=fgy）dx+Df（X,y）dy，并求I（t）的最小值
Ltexcy
【答案】3
【解析】
（i）由"x,y）=（2x+i）e2xJ
ex
可知：
f（X,y）=J[（2X+i）e2x—y]dx
=e—y[J2xe2xdx+Je2xdx]
xe2x—y+®（y）
又f（o,y）二y+i可知w（y）=y+i
因此f（x,y）=xe2xd+y+1
空巴一xe27
l（t）=[t（2x+1）e27dx+（1-xe27）dy
迟=-（2x+1）e23色一e23-2xe23
cy&
<5PcQ
—因此，积分与路径无关
cyex
l（t）=L（2x+1）e27dx+（1-xe27）dy
1t
=J0（2x+1）e2xdxS（1—e2j）dy=e2+t+e2d-e2
.,2_L
=t+e
I'（t）=1-e2丄
有唯一驻点「（t）=e2丄
因此t=2时I（t）有最小值
2_2
I
（2）=2+e=2+1=3
（18）设有界区域C由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成，为C整个表面的外侧，计算曲面积分I=JJ（x2+ldydz-2ydzdx+3zdxdy
I
1
【答案】丄
2
【解析】
2
I=ff（x+1）dydz-2ydzdx+3zdxdy
I
2
P=X2+1,Q=—2y,R=3z
由高斯公式可知，
I=UJ（2x-2+3dxdydz
=JJJ（2x+1dxdydz
Q
1』
=ffdxdy02（2x+1）dz
Dxy
11dxf2y、
=[dx.0产+x—xy—訂y
1
（19）（本题满分10分）已知函数f（X）可导，且f（0）=1,02
xn+-f（^1）（n=h2…，证明:
□c
（I）级数S（Xn+-Xn）绝对收敛;
nzi
（II）limxn存在，且0climXnv2.
n^^n—
【证明】Xn+=f（Xn）
Xn+—Xn=f（Xn）-f（Xn4）=f'（Odn—Xn4）
1
C-Xn-Xn
2
1
rj^XnJ-f（XnJ
因此,
（2）
oC
送（X^—Xn）绝对收敛;
n±
3C
送（Xn半-Xi）的前n项和记为sn
Xn+=f（Xn）=f（Xn）—f（0）+1
二f'（©Xn+1（*）
n4
当a为何值时，方程AX=B无解、有唯一解、有无穷多解?
（I）求A99
2,
（II）设3阶矩阵B=（□,%,6）满足B2=BA，记B100=（p1,P2,P3）将杠卫2卫3分别表示为a1严2,叫的
线性组合。
01
=（_2+299童1+（-2+2100
（2）P2=（1-299対+（1-2100爲,p3=（2—298童1+（2—299换2
【解析】
（I）利用相似对角化。
<0
aE—A=0，可得A的特征值为*1=0,'卜2=—1,打=—2，故A~A=
人=0时，由（0E-A）x=0,解出此时A的属于特征值A,=0的特征向量为
-1
為=—1时，由（-E-A）x=0，解出此时A的属于特征值几2=-1的特征向量为
-2丿
3
2
J
2
1
rp
2=
1
Y
%
為=—2时，由
（―2E-A）x=0,解出此时A的属于特征值
'也=-2的特征向量为
丫3」2
I
2丿
1
13
f0〕
2
1
1
2
，由P^AP=A=1-1
1
I2
0
0>
1一2丿
可得A=PAP」,
设P=（片丫2」3）
A99=PA99P」,
对于P=21
，利用初等变换，可求出p4
-1
-1
1、
2
-2
2丿
，故
‘3
1
P
00
1
2
J2+299
1_299
2-29D
A99=PA99P亠
=
2
1
2
-1
2-1
-2
=
_2+2100
1-2100
2-299
2
V.
0
0丿
o99
一2丿
1-11
1
0
x
0
0>
V
2丿
（n）B2=
Bg
B
=
BBA
2B=A
BAA2
Uba
一100
—
B,由BFAB=（a1,
99
V.
冬宀），
B100=（兀P2,P3），故（01,02,03）WSS）A99=（%少2,叫）
#-2+2
242100
1-299
12100
2-298、
2列9
，因此,
p1=（—2+299）%+（—2+2100）5,p2=（1-299）口1+（1-2100申2,p3=（2-298申1+（2-299护
（22）（本题满分11分）设二维随机变量（X,Y）在区域D=｛（x,y］。
vxc1,x2CyWJX〉上服从均匀分
布，令
u』x兰丫
[0,x》丫
（I）写出（X,Y）的概率密度;
（II）问U与X是否相互独立？
并说明理由;
【答案】
（II）
U与X不独立，因为PJu＜」，X兰1]^pJu兰1!
pIx兰丄｝；
2」L2r
I22J
0,zc0
3z2-z3,02
1332
5+2（z-1F-5（z-1）,11,z>2
f（x,y）
cyVTX
其他
（2）X与U不独立.
I11丨I1丨r111
因为piU-，ri=卩严“才P：
X“诂兀
I1111111
P』U<丄，=丄P2X<丄\=丄
L2j2’I2j2
r111「11
2jL2j
所以P卩迄x-rPiU-iPiX-j，故X与U不独立。
（3）F（z）=P{U+X
=P{U+X^U^P{U=0}+P{U+X",U=1}P{U=1}
P{U=0}
P{U=1}
=P{X
0,zcO
（1）求T的概率密度
（2）确定a，使得aT为e的无偏估计
【答案】
（I）T的概率密度
Fz（x）冷g"
0,其他
【解析】
（1）根据题意，Xi,X2,X3独立同分布，T的分布函数为
FT（t）=P{max（Xi,X2,X3）兰t}=P{Xi3
=p{X<}尺X兰}tP3XW}严PX）}t
当tcO时，FT（t）=O；
（t3x
当Oct"时，FT（t）=JO3X
V
2、3
-d9
当t>0时，FT（t）=1
rot8
所以fT（t）=J頁,
I
IO,
Oct<6
o
others
（2）E（aT）=aET
9
=aft+dt=—a9,
•o日91O
09t8
根据题意，aT为0的无偏估计，
91O
则E（aT）=—a9=9,即卩a=一
109
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