初中数学重难点.docx

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初中数学重难点

初一数学重难点

代数

有理数

★重难点★有理数的有关概念及性质，数轴、绝对值和相反数的全面掌握，有理数的运算（加减乘除、乘方以及混合运算）

一、重要概念

1．数的分类及概念

数系表：

2．非负数：

正实数与零的统称。

（表为：

x≥0）

常见的非负数有：

0、1、2…

性质：

若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数：

①定义及表示法

②性质：

A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。

4．相反数：

①定义及表示法

②性质：

A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：

①定义（“三要素”）

②作用：

A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）

定义及表示：

奇数：

2n-1

偶数：

2n（n为自然数）

7．绝对值：

①定义（两种）：

代数定义：

几何定义：

数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

二、有理数的运算

1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）

2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律）

3．运算顺序：

A.高级运算到低级运算;B.（同级运算）从“左”

到“右”（如5÷×5）;C.（有括号时）由“小”到“中”到“大”。

整式

★重难点★整式的有关概念及性质，整式的运算，去括号（代数式运算中最常用、最基本的恒等变形），同类项、乘法公式、分解因式

一、重要概念

1.整式

用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独

的一个数或字母也是代数式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

分类：

单项式、多项式

3.单项式与多项式

没有加减运算的整式叫做单项式。

（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）

几个单项式的和，叫做多项式。

4.系数与指数

区别与联系：

①从位置上看;②从表示的意义上看

5.同类项及其合并

条件：

①字母相同;②相同字母的指数相同

合并依据：

乘法分配律

9.指数

⑴（—幂，乘方运算）

①a＞0时，

＞0;②a＜0时，

＞0（n是偶数），

＜0（n是奇数）

⑵零指数：

=1（a≠0）

负整指数：

=1/a（a≠0,p是正整数）

二、运算定律、性质、法则

3．整式运算法则（去括号、添括号法则）

4．幂的运算性质：

①

;②

;③

;④

;

5．乘法法则：

⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

6．乘法公式：

（正、逆用）

（a+b）（a-b）=

（a±b）=

±2ab+

7．除法法则：

⑴单÷单;⑵多÷单。

8．因式分解：

⑴定义;⑵方法：

A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法;E.求根公式法。

11．科学记数法：

（1≤a＜10,n是整数＝

方程（组）

★重点★一元一次、二元一次方程组的解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）

二、解方程的依据—等式性质

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc（c≠0）

三、解法

1．一元一次方程的解法：

去分母→去括号→移项→合并同类项→

系数化成1→解。

2．元一次方程组的解法：

⑴基本思想：

“消元”⑵方法：

①代入法

②加减法

六、列方程（组）解应用题

（一）概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是：

⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。

在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。

因此，列方程是解应用题的关键。

（二）常用的相等关系

1．行程问题（匀速运动）基本关系：

s=vt

⑴相遇问题（同时出发）：

⑵追及问题（同时出发）：

⑶水中航行：

;

2．配料问题：

溶质=溶液×浓度溶液=溶质+溶剂

3．增长率问题：

4．工程问题：

基本关系：

工作量=工作效率×工作时间（常把工作量看着单位“1”）。

5．几何问题：

常用勾股定理，几何体的面积、体积公式，相似形及有关比例性质等。

（三）注意语言与解析式的互化

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加为（到）”、“同时”、“扩大为（到）”、“扩大了”、……

又如，一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，则这个三位数为：

100a+10b+c，而不是abc。

四注意从语言叙述中写出相等关系。

如，x比y大3，则x-y=3或x=y+3或x-3=y。

又如，x与y的差为3，则x-y=3。

五注意单位换算

如，“小时”“分钟”的换算;s、v、t单位的一致等。

几何

认识图形

★重点★图形的变化、展开折叠、从三个方向看

★难点★点线面、正方体张开折叠、三视图

1、棱柱棱锥、圆柱圆锥

体

棱数

侧棱数

顶点数

底面形状

侧面数

棱柱

N边形

棱锥

N+1

N边形

圆柱

圆

圆锥

圆

2、点动成线，线动成面、面动成体

3、判断一个展开图是否可以折叠成正方体

4、三视图的判断以及三视图的画法

直线形

★重难点★相交线与平行线、三角形的有关概念、判定、性质，直线平行判定以及性质、三角形全等判定以及性质。

一、直线、相交线、平行线

1．线段、射线、直线三者的区别与联系

从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。

2．线段的中点及表示

3．直线、线段的基本性质（用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”）

4．两点间的距离（三个距离：

点-点;点-线;线-线）

5．角（平角、周角、直角、锐角、钝角）

6．互为余角、互为补角及表示方法

7．角的平分线及其表示

8．垂线及基本性质（利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”）

9．对顶角及性质

10．平行线及判定与性质（互逆）（二者的区别与联系）

11．常用定理：

①同平行于一条直线的两条直线平行（传递性）;②同垂直于一条直线的两条直线平行。

12．定义、命题、命题的组成

13．公理、定理

14．逆命题

二、三角形

分类：

⑴按边分:

⑵按角分：

1．定义（包括内、外角）

2．三角形的边角关系：

⑴角与角：

①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。

⑵边与边：

三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

⑶角与边：

在同一三角形中，

3．三角形的主要线段

讨论：

①定义②××线的交点—三角形的×心③性质

①高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线

⑴一般三角形⑵特殊三角形：

直角三角形、等腰三角形、等边三角形

4．特殊三角形（直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形）的判定与性质

5．全等三角形

⑴一般三角形全等的判定（SAS、ASA、AAS、SSS）（易错点：

SSA）

⑵特殊三角形全等的判定：

①一般方法②专用方法

6．三角形的面积

⑴一般计算公式⑵性质：

等底等高的三角形面积相等。

7．重要辅助线

⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线

8．证明方法

⑴直接证法：

综合法、分析法

⑵间接证法—反证法：

①反设②归谬③结论

⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等

⑷证线段倍分关系：

加倍法、折半法

⑸证线段和差关系：

延结法、截余法

⑹证面积关系：

将面积表示出来

统计与概率

一、数据

★重点★调查方法、统计图、频数分布直方图

★难点★统计图

1、普查与抽样调差以及一些基本概念

总体、个体、样本、容量

2、统计图：

扇形统计图、条形统计图、折线统计图

3、频数分布直方图频数

二、概率

★重难点★理解几种事件、可能性

1、可能事件、不可能事件、随机事件

2、可能性

3、概率：

可能事件、不可能事件、随机事件的概率

初二数学重难点

代数

一元一次不等式（组）

★重点★一元一次不等式的性质、解法

★难点★变号

1．定义：

a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。

2．一元一次不等式：

ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b（a≠0）。

3．一元一次不等式组：

4．不等式的性质：

⑴a>b←→a+c>b+c

⑵a>b←→ac>bc（c>0）

⑶a>b←→ac

⑷（传递性）a>b,b>c→a>c

⑸a>b,c>d→a+c>b+d.

5．一元一次不等式的解、解一元一次不等式

6．一元一次不等式组的解、解一元一次不等式组（在数轴上表示解集）

7．应用举例（略）

勾股定理

★重难点★勾股定理的验证与应用，直角三角形的识别，应用勾股定理求最近距离

分式

★重难点★分式的值为零或有意义，分式的加减乘除混合运算，分式方程的解法和应用，分式的混合运算与化简

一、重要概念

1、分式

含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

（分式有意义：

分母不为零）

2、分母有理化

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

二、运算定律、性质、法则

1．分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则

2．分式的性质

⑴基本性质：

（m≠0）

⑵符号法则：

⑶繁分式：

①定义;②化简方法（两种）

函数及其图象

★重难点★正、反比例函数，一次的图象和性质，几者结合求解析式一、平面直角坐标系。

1．各象限内点的坐标的特点

2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1．表示方法：

⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

2．确定自变量取值范围的原则：

⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有

意义。

3．画函数图象：

⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、几种特殊函数（定义→图象→性质）

1．正比例函数

⑴定义：

y=kx（k≠0）或y/x=k。

⑵图象：

直线（过原点）

⑶性质：

①k>0，…②k<0，…

2．一次函数

⑴定义：

y=kx+b（k≠0）

⑵图象：

直线过点（0,b）—与y轴的交点和（-b/k,0）—与x轴的交点。

⑶性质：

①k>0,…②k<0,…

⑷图象的四种情况：

3.反比例函数

⑴定义：

或xy=k（k≠0）。

⑵图象：

双曲线（两支）—用描点法画出。

⑶性质：

①k>0时，图象位于…，y随x…;②k<0时，图象位于…，y随x…;③两支曲线无限接近于坐标轴但永远不能到达坐标轴。

四、重要解题方法

1．用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。

2．利用图象一次（正比例）函数、反比例函数中的k、b;a、b、c的符号。

几何

相似形

★重点★相似三角形的判定和性质

一、本章的两套定理

第一套（比例的有关性质）：

涉及概念：

①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

第二套：

注意：

①定理中“对应”二字的含义;

②平行→相似（比例线段）→平行。

二、相似三角形性质

1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。

三、相关作图

①作第四比例项;②作比例中项。

四、证（解）题规律、辅助线

1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。

方法：

将等式左右两边的比表示出来。

3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

、

四边形

★重难点★四边形的有关概念、判定、性质。

分类表：

1．一般性质（角）

⑴内角和：

360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：

顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2：

顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。

⑶外角和：

360°

2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定

⑶判定步骤：

四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形——↑

⑷对角线的纽带作用：

3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）

4．有关定理：

①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理

③平行线间的距离处处相等。

（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：

①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：

任意等分线段。

图形与证明

（一）

★重难点★证明、命题

1、定义、命题概念；命题的条件与结论

2、真命题与假命题

3、证明（基本事实），定理概念

4、互逆命题

概率

★重难点★等可能性、概率

1、等可能性

2、一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的每个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率

事件A发生可能出现的结果数

一次试验所有等可能出现的结果数

P（A）=

3、一般地，试验的结果落在某个区域s中每一个点的机会均等，用A表示“试验结果落在s中的一个小区域m中”这个事件，那么事件A发生的概率

M的面积

S的面积

P（A）=

初三数学重难点

代数

方程（组）

★重难点★一元二次方程及其解法;方程的有关应用题（特别是行程、工程问题）

一、基本概念

1．方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）

二、一元二次方程

1．定义及一般形式：

2．解法：

⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）

⑶公式法：

⑷因式分解法（特征：

左边=0）

3．根的判别式：

4．根与系数的关系（韦达定理）：

，

逆定理：

若，则以

，

为根的一元二次方程是：

a（x-

）（x-

）=0。

5．常用等式：

三、可化为一元二次方程的方程

1．分式方程

⑴定义

⑵基本思想：

去分母

⑶基本解法：

①去分母法②换元法（如，）

⑷验根及方法

2．无理方程

⑴定义

⑵基本思想：

分母有理化

⑶基本解法：

①乘方法（注意技巧！

！

）②换元法（例，）

⑷验根及方法

3．简单的二元二次方程组

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。

四、列方程解应用题

一概述

列方程（组）解应用题是中学数学联系实际的一个重要方面。

其具体步骤是：

⑴审题。

理解题意。

弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。

⑵设元（未知数）。

①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。

一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。

⑶用含未知数的代数式表示相关的量。

⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。

一般地，未知数个数与方程个数是相同的。

⑸解方程及检验。

⑹答案。

综上所述，列方程解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。

在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。

因此，列方程是解应用题的关键。

函数及其图象

★重难点★二次函数的图象和性质。

一、平面直角坐标系

1．各象限内点的坐标的特点

2．坐标轴上点的坐标的特点

3．关于坐标轴、原点对称的点的坐标的特点

4．坐标平面内点与有序实数对的对应关系

二、函数

1．表示方法：

⑴解析法;⑵列表法;⑶图象法。

2．确定自变量取值范围的原则：

⑴使代数式有意义;⑵使实际问题有

意义。

3．画函数图象：

⑴列表;⑵描点;⑶连线。

三、二次函数（定义→图象→性质）

⑴定义：

⑵图象：

抛物线（用描点法画出：

先确定顶点、对称轴、开口方向，再对称地描点）。

用配方法变为，则顶点为（h,k）;对称轴为直线x=h;a>0时，开口向上;a<0时，开口向下。

⑶性质：

a>0时，在对称轴左侧…，右侧…;a<0时，在对称轴左侧…，右侧…。

四、重要解题方法

1．用待定系数法求解析式（列方程[组]求解）。

对求二次函数的解析式，要合理选用一般式或顶点式，并应充分运用抛物线关于对称轴对称的特点，寻找新的点的坐标。

2．利用图象二次函数中的k、b;a、b、c的符号。

解直角三角形

★重难点★解直角三角形

一、三角函数

1．定义：

在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，则sinA=;cosA=;tgA=;ctgA=.

2．特殊角的三角函数值：

0°30°45°60°90°

sinα0

cosα1

tgα/

3．互余两角的三角函数关系：

sin（90°-α）=cosα;…

4．三角函数值随角度变化的关系

5．查三角函数表

二、解直角三角形

1．定义：

已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。

2．依据：

①边的关系：

②角的关系：

A+B=90°

③边角关系：

三角函数的定义。

注意：

尽量避免使用中间数据和除法。

三、对实际问题的处理

1．俯、仰角：

2．方位角、象限角：

3．坡度：

tgα

4．在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时，可用列方程的办法解决。

几何

四边形

★重难点★相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。

分类表：

1．一般性质（角）

⑴内角和：

360°

⑵顺次连结各边中点得平行四边形。

推论1：

顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。

推论2：

顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。

⑶外角和：

360°

2．特殊四边形

⑴研究它们的一般方法:

⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定

⑶判定步骤：

四边形→平行四边形→矩形→正方形

┗→菱形——↑

⑷对角线的纽带作用：

3．对称图形

⑴轴对称（定义及性质）;⑵中心对称（定义及性质）

4．有关定理：

①平行线等分线段定理及其推论1、2

②三角形、梯形的中位线定理

③平行线间的距离处处相等。

（如，找下图中面积相等的三角形）

5．重要辅助线：

①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。

6．作图：

任意等分线段。

第十章圆

★重难点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

一、圆的基本性质

1．圆的定义

2．有关概念：

弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3．“三点定圆”定理

4．垂径定理及其推论

5．“等对等”定理及其推论

5．与圆有关的角：

⑴圆心角定义（等对等定理）

⑵圆周角定义（圆周角定理，与圆心角的关系）

⑶弦切角定义（弦切角定理）

二、直线和圆的位置关系

1.三种位置及判定与性质：

相离、相切、相交

2.切线的性质（重点）

3.切线的判定定理（重点）。

圆的切线的判定有⑴…⑵…

4．切线长定理

三、圆换圆的位置关系

1.五种位置关系及判定与性质：

（重点：

相切）

外离、外切、相交、内切、内含

2.相切（交）两圆连心线的性质定理

3.两圆的公切线：

⑴定义⑵性质

四、与圆有关的比例线段

1.相交弦定理

2.切割线定理

五、与和正多边形

1.圆的内接、外切多边形（三角形、四边形）

2.三角形的外接圆、内切圆及性质

3.圆的外切四边形、内接四边形的性质

4.正多边形及计算

中心角：

内角的一半：

（解Rt△OAM可求出相关元素等）

六、一组计算公式

1.圆周长公式

2.圆面积公式

3.扇形面积公式

4.弧长公式

5.弓形面积的计算方法

6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算

七、点的轨迹

六条基本轨迹

八、有关作图

1.作三角形的外接圆、内切圆

2.平分已知弧

3.作已知两线段的比例中项

4.等分圆周：

4、8;6、3等分

九、基本图形

十、重要辅助线

1.作半径

2.见弦往往作弦心距

3.见直径往往作直径上的圆周角

4.切点圆心莫忘连

5.两圆相切公切线（连心线）

6.两圆相交公共弦

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