中考数学专题五方案设计专题.docx

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中考数学专题五方案设计专题

专题五方案设计专题

【考纲与命题规律】

考纲要求

方案设计问题是运用学过的技能和方法，进行设计和操作，然后通过分析计算，证明等，确定出最佳方案的数学问题，一般涉及生产的方方面面，如：

测量，购物，生产配料，汽车调配，图形拼接，所用到的数学知识有方程、不等式、函数解直角三角形，概率和统计等知识.

命题规律

方案设计问题应用性比较强，解题时要注重综合应用转化思想，数形结合的思想，方程函数思想及分类讨论等各种数学思想.

【课堂精讲】

例1.手工课上,老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形,聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线,并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：

不同的分法,面积可以相等）

分析：

（1）正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接HE、EF、FG、GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．

（2）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC、BD的交点，连接OE、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．

（3）正方形ABCD中，F、H分别是BC、DA的中点，O是AC、BD的交点，连接HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．

（4）正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，O是AC的中点，I是AO的中点，连接OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可．

解答：

根据分析，可得

。

（1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、△DHG，

每个最小的等腰直角三角形的面积是：

（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）

（2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、△CFO，

每个最小的等腰直角三角形的面积是：

（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）

（3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、△CFO，

每个最小的等腰直角三角形的面积是：

（4÷2）×（4÷2）÷2=2×2÷2=2（cm2）

（4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI，

每个最小的等腰直角三角形的面积是：

（4÷2）×（4÷2）÷2÷2=2×2÷2÷2=1（cm2）.

例2.甲乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品。

春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折。

设x（单位：

元）表示商品原价,y（单位：

元）表示购物金额。

（Ⅰ）根据题意,填写下表：

（单位：

元）

商品价格

购物金额

120

180

200

 260

甲商场

96

144 

160

208

乙商场

120

180

200

242

（Ⅱ）分别就两家商场的让利方式，写出y关于x的函数解析式；

（Ⅲ）春节期间，当在同一商场累计购物超过200元时，哪家商场的实际花费少?

分析：

（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；

（2）甲商场按原价直接乘以0.8，乙商场分0≤x≤200、x>200两种情况分别列式即可；

（3）求出两家商场购物付款相同的x的值，然后作出判断即可．

解答：

（Ⅰ）

120

180

200

 260

甲商场

96

144

160

208

乙商场

120

180

200

242

（Ⅱ）甲商场：

y=0.8x（x＞0）；

乙商场：

当0

x

200时，y=x；

当x>200时,y=200+0.7（x−200）=0.7x+60；

即y={x0.7x+60x>200；

（Ⅲ）∵x>200，

∴由0.8x=0.7x+60，得：

x=600，

∴当购物金额按原价大于200而小于600元时，在甲商场购物省钱；

当购物金额按原价大于600元时，在两商场花钱一样多；

当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱。

【课堂提升】

1.如图，A. B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，A. B两个单位到街道的距离AC=48米、BD=24米，A. B两个单位的水平距离CE=96米，现准备修建一座与街道垂直的过街天桥。

（1）天桥建在何处才能使由A到B的路线最短?

（2）天桥建在何处才能使A. B到天桥的距离相等?

分别在图1、图2中作图说明（不必说明理由）并通过计算确定天桥的具体位置。

2.为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若在购买计划中，B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．

3.达州市凤凰小学位于北纬21∘,此地一年中冬至日正午时刻,太阳光与地面的夹角最小,约为35.5∘;夏至日正午时刻,太阳光的夹角最大,约为82.5∘.己知该校一教学楼窗户朝南,窗高207cm,如图

（1）.请你为该窗户设计一个直角形遮阳棚BCD,如图

（2），要求最大限度地节省材料，夏至日正午刚好遮住全部阳光，冬至日正午能射入室内的阳光没有遮挡。

（1）在图（3）中画出设计草图；

（2）求BC、CD的长度（结果精确到个位）（参考数据：

sin35.5∘≈0.58,cos35.5∘≈0.81,tan35.5∘≈0.71,sin82.5∘≈0.99,cos82.5∘≈0.13,tan82.5∘≈7.60）

4．某校为美化校园，计划对面积为1800m2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．

（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m2？

（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？

【高效作业本】

专题五方案设计专题

1．在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1）的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．

2.山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．

（1）今年A型车每辆售价多少元？

（用列方程的方法解答）

（2）该车计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

A型车

B型车

进货价格（元）

1100

1400

销售价格（元）

今年的销售价格

2000

3.某电器超市销售每台进价分别为200元、170元的A、B两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：

销售时段

销售数量

销售收入

A种型号

B种型号

第一周

3台

5台

1800元

第二周

4台

10台

3100元

（进价、售价均保持不变，利润=销售收入﹣进货成本）

（1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价；

（2）若超市准备用不多于5400元的金额再采购这两种型号的电风扇共30台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？

（3）在

（2）的条件下，超市销售完这30台电风扇能否实现利润为1400元的目标？

若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．

4.在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：

（1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；

（2）设计的整个图案是某种对称图形．

王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．

名称

四等分圆的面积

方案

方案一

方案二

方案三

选用的工具

带刻度的三角板

画出示意图

简述设计方案

作⊙O两条互相垂直的直径AB、CD，将⊙O的面积分成相等的四份．

指出对称性

既是轴对称图形又是中心对称图形

【答案】

专题五方案设计专题答案

1.解答：

（1）如图1,平移B点至B′,使BB′=DE,连接AB′交CE于F，在此处建桥可使由A到B的路线最短；

此时易知AB′∥BG，

∴△ACF∽△BDG，

∴ACCF=BDDG，

设CF=x，则GD=96−x，

∴48x=2496−x，

解得x=64，

即CF=64米，

∴将天桥建在距离C点64米处，可使由A到B的路线最短；

（2）如图2,平移B点至B’使BB′=DE,连接AB′交CE于F,作线段AB′的中垂线交CE于P，在此处建桥可使A. B到天桥的距离相等；

此时易知AB′∥BQ,另OP为AB′中垂线，

∴△ACF∽△POF，

∴PFAF=OFCF，

设CP=x，则PF=CF−x，

由

（1）得CF=64，

∴PF=64−x；

在Rt△ACF中，由勾股定理得AF=80，

∵AC∥BE，

∴CFFE=AFFB′=6496−64=21，

∴FB′=40，

又O为AB′中点，

∴FO=20，

∴64−x80=2064，

解得x=39，即CP=39米，

∴将天桥建在距离C点39米处，可使由A到B的路线最短。

考点：

[一次函数的应用,一元一次不等式组的应用]

分析：

（1）利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可；

（2）根据所需费用为W=A种树苗的费用+B种树苗的费用，即可解答．

解答：

（1）设y与x的函数关系式为：

y=kx+b，

把（20，160），（40，288）代入y=kx+b得：

20k+b=160

40k+b=288

解得：

k=6.4

b=32

∴y=6.4x+32．

（2）∵B种苗的数量不超过35棵，但不少于A种苗的数量，

∴

x≤35

x≥45-x

∴22.5≤x≤35，

设总费用为W元，则W=6.4x+32+7（45-x）=-0.6x+347，

∵k=-0.6，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=35时，W总费用最低，W最低=-0.6×35+347=137（元）

3.考点：

[解直角三角形的应用]

分析：

（1）根据题意结合入射角度进而画出符合题意的图形即可；

（2）首先设CD=x，则tan35.5°=

BC

CD

，表示出BC的长，进而利用tan82.5°=

AC

CD

求出DC的长，进而得出答案．

解答：

（1）如图所示：

（2）由题意可得出：

∠CDB=35.5∘,∠CDA=82.5∘，

设CD=x,则tan35.5∘=BCCD，

∴BC=0.71x，

∴在Rt△ACD中，

tan82.5∘=ACCD=207+0.71xx=7.6，

解得：

x≈30，

∴BC=0.71×30≈21（cm），

答：

BC的长度是21cm，CD的长度是30cm.

4.

考点：

分式方程的应用；一元一次不等式的应用．

分析：

（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据在独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；

（2）设至少应安排甲队工作x天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．

解答：

解：

（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意得：

﹣

=4，

解得：

x=50

经检验x=50是原方程的解，

则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2=100（m2），

答：

甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是100m2、50m2；

（2）设至少应安排甲队工作y天，根据题意得：

0.4y+

×0.25≤8，

解得：

y≥10，

答：

至少应安排甲队工作10天．

点评：

此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验．