初一整式乘除易错题训练.docx
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初一整式乘除易错题训练
初一整式乘除易错题训练
一．解答题（共17小题）
1．（2016春•吉安期中）已知（ax）y=a6，（ax）2÷ay=a3
（1）求xy和2x﹣y的值；
（2）求4x2+y2的值．
2．（2016春•昆山市期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为 ．
（2）若m+2n=7，mn=3，利用
（1）的结论求m﹣2n的值．
3．（2016春•萧山区期中）把一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1）
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）
方法1：
；方法2：
．
（2）根据
（1）中结论，请你写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn间的等量
关系； ．
（3）根据
（2）题中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足：
a+b=3，ab=1，求a﹣b的值．
4．（2015•江都市模拟）计算：
（1）4﹣（﹣2）﹣2﹣32÷（﹣3）0；
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2．
5．（2015春•秦淮区期末）
（1）比较a2+b2与2ab的大小（用“＞”、“＜”或“=”填空）：
①当a=3，b=2时，a2+b2 2ab，
②当a=﹣1，b=﹣1时，a2+b2 2ab，
③当a=1，b=﹣2是，a2+b2 2ab．
（2）猜想a2+b2与2ab有怎样的大小关系？
并证明你的结论．
6．（2015春•宿豫区期中）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
（2）利用
（1）中的结论计算：
a+b=2，ab=
，求a﹣b；
（3）根据
（1）中的结论，直接写出x+
和x﹣
之间的关系；若x2﹣3x+1=0，分别求出x+
和（x﹣
）2的值．
7．（2015春•会宁县期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个正方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
8．（2015春•泾阳县校级月考）乘法公式的探究及应用．
图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：
方法2：
（2）观察图2请你写出下列三个代数式：
（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
；
（3）根据
（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：
a﹣b=5，ab=﹣6，求：
a2+b2=
②（a+b）2=
②已知
的值．
9．（2015春•尤溪县校级月考）给出下列算式：
32﹣12=8=8×1；
52﹣32=16=8×2；
72﹣52=24=8×3；
92﹣72=32=8×4．
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
（2）用含n的式子表示出来（n为正整数）．
（3）计算20112﹣20092= ，此时n= ．
10．（2014春•泰兴市校级期末）杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
（a+b）0=1
（a+b）1=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
上面的构成规律聪明的你一定看懂了！
（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是 ；
（2）利用上述规律直接写出27= ；
杨辉三角还有另一个特征：
（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与 的积．
（4）由此你可以写出115= ．
（5）由第 行可写出118= ．
11．（2016•富顺县校级模拟）已知实数a是x2﹣5x﹣14=0的根，不解方程，求（a﹣1）（2a﹣1）﹣（a+1）2+1的值．
12．（2016春•杭州期中）按要求完成下列各题：
（1）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=9，求a2+b2﹣ab的值；
（2）已知（2015﹣a）（2016﹣a）=2047，试求（a﹣2015）2+（2016﹣a）2的值．
13．（2016春•邳州市期中）计算：
（1）﹣32+（π﹣2）0+（
）﹣2
（2）5m•（﹣
abm2）•（﹣a2m）
（3）（a﹣2b）（2a+b）﹣（a+2b）2
（4）10
×9
．
14．（2016春•苏州期中）计算：
（1）（x4）3+（x3）4﹣2x4•x8
（2）（﹣2x2y3）2（xy）3
（3）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3
（4）|﹣
|+（π﹣3）0+（﹣
）3﹣（
）﹣2．
15．（2016春•宝丰县期中）探究应用：
（1）计算：
①（a﹣2）（a2+2a+4）
②（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：
（请用含a，b的式子表示）
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ）
A．（a﹣5）（a2﹣5a+25）B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C．（3﹣x）（9+3x+x2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）直接用公式写出计算结果：
（2x﹣3）（4x2+6x+9）= ．
16．（2016春•灌云县月考）阅读下面材料，并解答下列各题：
在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算；
现在我们研究第三种情况：
已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：
如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记着b=logaN．
例如：
因为23=8，所以log28=3；因为2﹣3=
，所以log2
=﹣3．
（1）根据定义计算：
①log381= ；②log33= ；③log31= ；
④如果logx16=4，那么x= ．
（2）设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
∵ax•ay=ax+y，∴ax+y=M•N∴logaMN=x+y，
即logaMN=logaM+logaN
这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
logaM1M2M3…Mn= （其中M1、M2、M3、…、Mn均为正数，a＞0，a≠1）
loga
= （a＞0，a≠1，M、N均为正数）．仿照上面说明方法，任选一空试说明理由．
17．（2015秋•宁化县校级月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有 项，系数分别为 ；
（2）（a+b）n展开式共有 项，系数和为 ．
（3）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
初一整式乘除易错题训练
参考答案与试题解析
一．解答题（共17小题）
1．（2016春•吉安期中）已知（ax）y=a6，（ax）2÷ay=a3
（1）求xy和2x﹣y的值；
（2）求4x2+y2的值．
【分析】
（1）利用积的乘方和同底数幂的除法，即可解答；
（2）利用完全平方公式，即可解答．
2．（2016春•昆山市期中）图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．
（1）将图②中的阴影部分面积用2种方法表示可得一个等式，这个等式为 （m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2 ．
（2）若m+2n=7，mn=3，利用
（1）的结论求m﹣2n的值．
【分析】
（1）大正方形的面积减去矩形的面积即可得出阴影部分的面积，也可得出三个代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系；
（2）根据
（1）所得出的关系式，可求出（m﹣2n）2，继而可得出m﹣2n的值．
3．（2016春•萧山区期中）把一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个正方形（如图1）
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积（直接用含m，n的代数式表示）
方法1：
（m+n）2﹣4mn ；方法2：
（m﹣n）2 ．
（2）根据
（1）中结论，请你写出下列三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn间的等量
关系； （m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn ．
（3）根据
（2）题中的等量关系，解决如下问题：
已知实数a，b满足：
a+b=3，ab=1，求a﹣b的值．
【分析】
（1）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；
（2）由
（2）即可得出三个代数式之间的等量关系；
（3）将a+b=3，ab=1，代入三个代数式之间的等量关系，求出（a﹣b）2的值，即可求出a﹣b的值．
4．（2015•江都市模拟）计算：
（1）4﹣（﹣2）﹣2﹣32÷（﹣3）0；
（2）（2a+b）（b﹣2a）﹣（a﹣3b）2．
【分析】
（1）根据0次幂、乘方、负整数指数幂，即可解答；
（2）根据平方差公式，即可解答．
5．（2015春•秦淮区期末）
（1）比较a2+b2与2ab的大小（用“＞”、“＜”或“=”填空）：
①当a=3，b=2时，a2+b2 ＞ 2ab，
②当a=﹣1，b=﹣1时，a2+b2 = 2ab，
③当a=1，b=﹣2是，a2+b2 ＞ 2ab．
（2）猜想a2+b2与2ab有怎样的大小关系？
并证明你的结论．
【分析】
（1）①代入a，b的值，分别计算出a2+b2、2ab，即可解答；
②代入a，b的值，分别计算出a2+b2、2ab，即可解答；
③代入a，b的值，分别计算出a2+b2、2ab，即可解答；
（2）将作差，即可比较大小．
6．（2015春•宿豫区期中）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．
（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；
（2）利用
（1）中的结论计算：
a+b=2，ab=
，求a﹣b；
（3）根据
（1）中的结论，直接写出x+
和x﹣
之间的关系；若x2﹣3x+1=0，分别求出x+
和（x﹣
）2的值．
【分析】
（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积，利用完全平方公式，即可解答；
（2）根据完全平方公式解答；
（3）根据完全平分公式解答．
7．（2015春•会宁县期中）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，如图2所示是由图1中阴影部分拼成的一个正方形．
（1）设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．请直接用含a，b的代数式表示S1，S2；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式；
（3）试利用这个公式计算：
（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1．
【分析】
（1）根据两个图形的面积相等，即可写出公式；
（2）根据面积相等可得（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
（3）从左到右依次利用平方差公式即可求解．
8．（2015春•泾阳县校级月考）乘法公式的探究及应用．
图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1：
（m﹣n）2
方法2：
（m+n）2﹣4mn
（2）观察图2请你写出下列三个代数式：
（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．
（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab ；
（3）根据
（2）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：
a﹣b=5，ab=﹣6，求：
a2+b2= 13
②（a+b）2= 49
②已知
的值．
【分析】
（1）方法一、求出正方形的边长，再根据正方形面积公式求出即可；
方法二、根据大正方形面积减去4个矩形面积，即可得出答案；
（2）根据
（1）阴影部分的面积相等，即可得出等式；
（3）①把a﹣b=5两边平方，利用完全平分公式，即可解答；
②根据（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，即可解答；
③利用完全平分公式，即可解答．
9．（2015春•尤溪县校级月考）给出下列算式：
32﹣12=8=8×1；
52﹣32=16=8×2；
72﹣52=24=8×3；
92﹣72=32=8×4．
（1）观察上面一系列式子，你能发现什么规律？
（2）用含n的式子表示出来（n为正整数）．
（3）计算20112﹣20092= 8032 ，此时n= 1004 ．
【分析】
（1）等式的左边是两个连续奇数的平方差，右边是8的倍数；
（2）根据已知数据得出两连续奇数的平方差的规律即可；
（3）根据
（2）中的规律，即可解答．
10．（2014春•泰兴市校级期末）杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
（a+b）0=1
（a+b）1=a+b
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
…
上面的构成规律聪明的你一定看懂了！
（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是 15 ；
（2）利用上述规律直接写出27= 128 ；
杨辉三角还有另一个特征：
（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与 11 的积．
（4）由此你可以写出115= 161051 ．
（5）由第 9 行可写出118= 214358881 ．
【分析】观察图表寻找规律：
三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．
11．（2016•富顺县校级模拟）已知实数a是x2﹣5x﹣14=0的根，不解方程，求（a﹣1）（2a﹣1）﹣（a+1）2+1的值．
【分析】根据方程的根的定义将a代入x2﹣5x﹣14=0得a2﹣5a=14，整式化简后将a2﹣5a=14整体代入可得．
12．（2016春•杭州期中）按要求完成下列各题：
（1）已知实数a、b满足（a+b）2=1，（a﹣b）2=9，求a2+b2﹣ab的值；
（2）已知（2015﹣a）（2016﹣a）=2047，试求（a﹣2015）2+（2016﹣a）2的值．
【分析】
（1）先由已知条件展开完全平方式求出ab的值，再将a2+b2+ab转化为完全平方式（a+b）2和ab的形式，即可求值；
（2）根据完全平方公式得出a2+b2=（a+b）2﹣2ab，整体代入计算即可．
13．（2016春•邳州市期中）计算：
（1）﹣32+（π﹣2）0+（
）﹣2
（2）5m•（﹣
abm2）•（﹣a2m）
（3）（a﹣2b）（2a+b）﹣（a+2b）2
（4）10
×9
．
【分析】
（1）先算平方，零指数幂和负整数指数幂，再相加计算即可求解；
（2）根据单项式乘以单项式的计算法则计算即可求解；
（3）根据多项式乘以多项式的计算法则和完全平方公式计算，再合并同类项即可求解；
（4）根据平方差公式计算即可求解．
14．（2016春•苏州期中）计算：
（1）（x4）3+（x3）4﹣2x4•x8
（2）（﹣2x2y3）2（xy）3
（3）（﹣2a）6﹣（﹣3a3）2+[﹣（2a）2]3
（4）|﹣
|+（π﹣3）0+（﹣
）3﹣（
）﹣2．
【分析】
（1）根据幂的乘方法则和同底数幂的乘法法则计算；
（2）根据积的乘方法则和同底数幂的乘法法则计算；
（3）根据积的乘方法则和合并同类项法则计算；
（4）根据零指数幂和负整数指数幂的法则计算．
15．（2016春•宝丰县期中）探究应用：
（1）计算：
①（a﹣2）（a2+2a+4）
②（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）
（2）上面的整式乘法计算结果很简洁，你能发现一个新的乘法公式：
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3 （请用含a，b的式子表示）
（3）下列各式能用你发现的乘法公式计算的是（ ）
A．（a﹣5）（a2﹣5a+25）B．（2m﹣n）（2m2+2mn+n2）C．（3﹣x）（9+3x+x2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）
（4）直接用公式写出计算结果：
（2x﹣3）（4x2+6x+9）= 8x3﹣27 ．
【分析】
（1）①根据多项式乘多项式的方法，求出算式（a﹣2）（a2+2a+4）的值是多少即可．
②根据多项式乘多项式的方法，求出算式（x﹣2y）（x2+2xy+4y2）的值是多少即可．
（2）根据上面的整式①、②的计算结果，我能发现一个新的乘法公式：
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3（请用含a，b的式子表示）．
（3）根据a2是第一个因数的平方，b2是第二个因数的平方，ab是两个因数的积，判断出能用发现的乘法公式计算的是哪个算式即可．
（4）根据（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3，求出算式（2x﹣3）（4x2+6x+9）的值是多少即可．
16．（2016春•灌云县月考）阅读下面材料，并解答下列各题：
在形如ab=N的式子中，我们已经研究过两种情况：
①已知a和b，求N，这是乘方运算；
②已知b和N，求a，这是开方运算；
现在我们研究第三种情况：
已知a和N，求b，我们把这种运算叫做对数运算．
定义：
如果ab=N（a＞0，a≠1，N＞0），则b叫做以a为底N的对数，记着b=logaN．
例如：
因为23=8，所以log28=3；因为2﹣3=
，所以log2
=﹣3．
（1）根据定义计算：
①log381= 4 ；②log33= 1 ；③log31= 0 ；
④如果logx16=4，那么x= 2 ．
（2）设ax=M，ay=N，则logaM=x，logaN=y（a＞0，a≠1，M、N均为正数），
∵ax•ay=ax+y，∴ax+y=M•N∴logaMN=x+y，
即logaMN=logaM+logaN
这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
logaM1M2M3…Mn= logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn （其中M1、M2、M3、…、Mn均为正数，a＞0，a≠1）
loga
= logaM﹣logaN （a＞0，a≠1，M、N均为正数）．仿照上面说明方法，任选一空试说明理由．
【分析】
（1）根据题目中的信息可以解答本题；
（2）根据题目给出的信息可以解答本题，然后选择一空说明理由即可．
17．（2015秋•宁化县校级月考）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．
例如：
（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；（（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…根据以上规律，解答下列问题：
（1）（a+b）4展开式共有 5 项，系数分别为 1，4，6，4，1 ；
（2）（a+b）n展开式共有 n+1 项，系数和为 2n ．
（3）根据上面的规律，写出（a+b）5的展开式．
【分析】
（1）本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：
首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．因此可得（a+b）4的各项系数分别为1、（1+3）、（3+3）、（3+1）、1即可；
（2）根据题意得出（a+b）n展开式共有（n+1）项，当a=b=1时，（a+b）n=2n即可．
（3）由
（1）得出的规律，即可得出结果．
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