新课标经典汇编最新苏教版七年级数学下册《乘法公式》综合检测题及答案详解.docx

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新课标经典汇编最新苏教版七年级数学下册《乘法公式》综合检测题及答案详解

（新课标）苏教版2017-2018学年七年级下册

9.4乘法公式

一．选择题

1．下列运算正确的是（　　）

A．x3+x2=x5B．a3•a4=a12

C．（﹣x3）2÷x5=1D．（﹣xy）3•（﹣xy）﹣2=﹣xy

2．若x2+4x﹣4=0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为（　　）

A．﹣6B．6C．18D．30

3．若x2+

mx+k是一个完全平方式，则k等于（　　）

A．m2B．

m2C．

m2D．

m2

4．下列运算正确的是（　　）

A．a2+3a2=4a4B．3a2•a=3a3C．（3a3）2=9a5D．（2a+1）2=4a2+1

5．计算（2x+1）（x﹣1）﹣（x2+x﹣2）的结果，与下列哪一个式子相同？

（　　）

A．x2﹣2x+1B．x2﹣2x﹣3C．x2+x﹣3D．x2﹣3

6．运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（　　）

A．x2+9B．x2﹣6x+9C．x2+6x+9D．x2+3x+9

7．下列运算结果正确的是（　　）

A．a+2b=3abB．3a2﹣2a2=1

C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b

8．下列计算正确的是（　　）

A．（x+y）2=x2+y2B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2

C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1D．（x﹣1）2=x2﹣1

二．填空题

9．若a+b=3，ab=2，则（a﹣b）2=　　．

10．已知a+b=8，a2b2=4，则

﹣ab=　　．

11．如果x2+mx+1=（x+n）2，且m＞0，则n的值是　　．

12．观察下列各式的规律：

（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2

（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3

（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4

…

可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=　　．

13．观察下列等式：

1+2+3+4+…+n=

n（n+1）；

1+3+6+10+…+

n（n+1）=

n（n+1）（n+2）；

1+4+10+20+…+

n（n+1）（n+2）=

n（n+1）（n+2）（n+3）；

则有：

1+5+15+35+…

n（n+1）（n+2）（n+3）=　　．

14．已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为　　．

15．若（7x﹣a）2=49x2﹣bx+9，则|a+b|=　　．

16．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则ab的值为　　．

17．已知2a2+2b2=10，a+b=3，则ab=　　．

18．若（m﹣2）2=3，则m2﹣4m+6的值为　　．

19．观察下列各式及其展开式：

（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3

（a﹣b）4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4

（a﹣b）5=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…

请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是　　．

20．图

（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图

（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是　　．

21．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为

，则方格纸的面积为　　．

22．仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出（a+b）4展开式所缺的系数：

（a+b）=a+b

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+　　a2b2+4ab3+b4．

23．已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）=　　．

24．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：

（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；系数和为1；

（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

（a+b）3=a3+3a2b+2ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…，

则（a+b）n的展开式共有　　项，系数和为　　．

25．请看杨辉三角

（1），并观察下列等式

（2）：

根据前面各式的规律，则（a+b）6的第三项的系数为　　．

26．我们已经学过用面积来说明公式，如（x+y）2=x2+2xy+y2就可以用如图甲中的面积来说明，请写出图乙的面积所说明的公式：

（p+x）（q+x）=　　．

27．如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），把剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼得的长方形的周长为　　cm．（用含a的代数式表示）

三．解答题

28．在一次数学课上，李老师对大家说：

“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”

操作步骤如下：

第一步：

计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；

第二步：

把第一步得到的数乘以25；

第三步：

把第二步得到的数除以你想的这个数．

（1）若小明同学心里想的是数9．请帮他计算出最后结果．

[（9+1）2﹣（9﹣1）2]×25÷9

（2）老师说：

“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等．”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a≠0）．请你帮小明完成这个验证过程．

29．已知4x=3y，求代数式（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2的值．

30．阅读与观察：

我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．杨辉，字谦光，南宋时期杭州人，在他所著的《详解九章算法》艺术中，揖录了如图1所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图，经观察研究发现，在两腰上的数位1的前提下，杨辉三角有许多重要的特点，例如：

每个数都等于它上方两数之和等等．

如图2，某同学发现杨辉三角给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中各项的系数等等．

（1）通过观察，请你写出杨辉三角具有的任意两个特点；（阅读材料中的特点除外）

（2）计算：

993+3×992+3×99+1；

（3）请你直接写出（a+b）4的展开式．

参考答案与试题解析

一．选择题

1．（2016•威海）下列运算正确的是（　　）

A．x3+x2=x5B．a3•a4=a12

C．（﹣x3）2÷x5=1D．（﹣xy）3•（﹣xy）﹣2=﹣xy

【分析】A、原式不能合并，即可作出判断；

B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断；

C、原式利用幂的乘方及单项式除以单项式法则计算得到结果，即可作出判断；

D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：

A、原式不能合并，错误；

B、原式=a7，错误；

C、原式=x6÷x5=x，错误；

D、原式=﹣xy，正确．

故选D．

【点评】此题考查了整数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

2．（2016•临夏州）若x2+4x﹣4=0，则3（x﹣2）2﹣6（x+1）（x﹣1）的值为（　　）

A．﹣6B．6C．18D．30

【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：

∵x2+4x﹣4=0，即x2+4x=4，

∴原式=3（x2﹣4x+4）﹣6（x2﹣1）=3x2﹣12x+12﹣6x2+6=﹣3x2﹣12x+18=﹣3（x2+4x）+18=﹣12+18=6．

故选B

【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

3．若x2+

mx+k是一个完全平方式，则k等于（　　）

A．m2B．

m2C．

m2D．

m2

【分析】原式利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．

【解答】解：

∵x2+

mx+k是一个完全平方式，

∴k=

m2，

故选D

【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

4．下列运算正确的是（　　）

A．a2+3a2=4a4B．3a2•a=3a3C．（3a3）2=9a5D．（2a+1）2=4a2+1

【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方的性质，完全平方公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】解：

A、错误，应等于4a2；

B、3a2．a=3a3，正确；

C、错误，应等于9a6；

D、错误，应等于4a2+4a+1．

故选B．

【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法，积的乘方的性质，完全平方公式，熟练掌握法则、性质和公式并灵活运用是解题的关键．

5．（2016•台湾）计算（2x+1）（x﹣1）﹣（x2+x﹣2）的结果，与下列哪一个式子相同？

（　　）

A．x2﹣2x+1B．x2﹣2x﹣3C．x2+x﹣3D．x2﹣3

【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，即可作出判断．

【解答】解：

（2x+1）（x﹣1）﹣（x2+x﹣2）

=（2x2﹣2x+x﹣1）﹣（x2+x﹣2）

=2x2﹣x﹣1﹣x2﹣x+2

=x2﹣2x+1，

故选A

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6．（2016•武汉）运用乘法公式计算（x+3）2的结果是（　　）

A．x2+9B．x2﹣6x+9C．x2+6x+9D．x2+3x+9

【分析】根据完全平方公式，即可解答．

【解答】解：

（x+3）2=x2+6x+9，

故选：

C．

【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．

7．（2016•苏州）下列运算结果正确的是（　　）

A．a+2b=3abB．3a2﹣2a2=1

C．a2•a4=a8D．（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b

【分析】分别利用同底数幂的乘法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．

【解答】解：

A、a+2b，无法计算，故此选项错误；

B、3a2﹣2a2=a2，故此选项错误；

C、a2•a4=a6，故此选项错误；

D、（﹣a2b）3÷（a3b）2=﹣b，故此选项正确；

故选：

D．

【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及合并同类项、积的乘方运算等知识，正确把握相关定义是解题关键．

8．（2016•怀化）下列计算正确的是（　　）

A．（x+y）2=x2+y2B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2

C．（x+1）（x﹣1）=x2﹣1D．（x﹣1）2=x2﹣1

【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分别计算得出答案．

【解答】解：

A、（x+y）2=x2+y2+2xy，故此选项错误；

B、（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，故此选项错误；

C、（x+1）（x﹣1）=x2﹣1，正确；

D、（x﹣1）2=x2﹣2x+1，故此选项错误；

故选：

C．

【点评】此题主要考查了完全平方公式以及平方差公式，正确应用乘法公式是解题关键．

二．填空题

9．（2016•巴中）若a+b=3，ab=2，则（a﹣b）2=　1　．

【分析】将a+b=3两边平方，利用完全平方公式化简，将ab的值代入求出a2+b2的值，所求式子利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值．

【解答】解：

将a+b=3平方得：

（a+b）2=a2+2ab+b2=9，

把ab=2代入得：

a2+b2=5，

则（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=5﹣4=1．

故答案为：

1

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．

10．（2016•雅安）已知a+b=8，a2b2=4，则

﹣ab=　28或36　．

【分析】根据条件求出ab，然后化简

﹣ab=

﹣2ab，最后代值即可．

【解答】解：

﹣ab=

﹣ab=

﹣ab﹣ab=

﹣2ab

∵a2b2=4，

∴ab=±2，

①当a+b=8，ab=2时，

﹣ab=

﹣2ab=

﹣2×2=28，

②当a+b=8，ab=﹣2时，

﹣ab=

﹣2ab=

﹣2×（﹣2）=36，

故答案为28或36．

【点评】此题是完全平方公式，主要考查了完全平方公式的计算，平方根的意义，解本题的关键是化简原式，难点是求出ab．

11．（2016•南充）如果x2+mx+1=（x+n）2，且m＞0，则n的值是　1　．

【分析】先根据两平方项确定出这两个数，即可确定n的值．

【解答】解：

∵x2+mx+1=（x±1）2=（x+n）2，

∴m=±2，n=±1，

∵m＞0，

∴m=2，

∴n=1，

故答案为：

1．

【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．

12．（2016•百色）观察下列各式的规律：

（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2

（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3

（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4

…

可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=　a2017﹣b2017　．

【分析】根据已知等式，归纳总结得到一般性规律，写出所求式子结果即可．

【解答】解：

（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；

（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3；

（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4；

…

可得到（a﹣b）（a2016+a2015b+…+ab2015+b2016）=a2017﹣b2017，

故答案为：

a2017﹣b2017

【点评】此题考查了平方差公式，以及多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．

13．（2016•恩施州）观察下列等式：

1+2+3+4+…+n=

n（n+1）；

1+3+6+10+…+

n（n+1）=

n（n+1）（n+2）；

1+4+10+20+…+

n（n+1）（n+2）=

n（n+1）（n+2）（n+3）；

则有：

1+5+15+35+…

n（n+1）（n+2）（n+3）=　

n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）　．

【分析】根据已知等式发现分母依次乘以2、乘以3、乘以4，据此作答即可．

【解答】解：

∵1+2+3+4+…+n=

n（n+1）=

n（n+1）；

1+3+6+10+…+

n（n+1）=

n（n+1）（n+2）=

n（n+1）（n+2）；

1+4+10+20+…+

n（n+1）（n+2）=

n（n+1）（n+2）（n+3）=

n（n+1）（n+2）（n+3），

∴1+5+15+35+…

n（n+1）（n+2）（n+3）=

n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）=

n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），

故答案为：

n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）．

【点评】本题主要考查数字的变化规律，由已知等式发现变化部分的变化规律及不变的部分是解题的关键．

14．（2016•西宁）已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为　2　．

【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式=x2+x﹣3，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：

原式=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4

=x2+x﹣3，

因为x2+x﹣5=0，

所以x2+x=5，

所以原式=5﹣3=2．

故答案为2．

【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值：

先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．

15．若（7x﹣a）2=49x2﹣bx+9，则|a+b|=　45　．

【分析】先将原式化为49x2﹣14ax+a2=49x2﹣bx+9，再根据各未知数的系数对应相等列出关于a、b的方程组，求出a、b的值代入即可．

【解答】解：

∵（7x﹣a）2=49x2﹣bx+9，

∴49x2﹣14ax+a2=49x2﹣bx+9，

∴﹣14a=﹣b，a2=9，

解得a=3，b=42或a=﹣3，b=﹣42．

当a=3，b=42时，|a+b|=|3+42|=45；

当a=﹣3，b=﹣42时，|a+b|=|﹣3﹣42|=45．

故答案为45．

【点评】本题是一个基础题，考查了完全平方公式以及代数式的求值，要熟练进行计算是解此题的关键．

16．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，则ab的值为　

　．

【分析】分别展开两个式子，然后相减，即可求出ab的值．

【解答】解：

（a+b）2=a2+2ab+b2=7，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2=4，

则（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab=3，

ab=

．

故答案为：

．

【点评】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对解题大有帮助．

17．已知2a2+2b2=10，a+b=3，则ab=　2　．

【分析】根据完全平方公式，即可解答．

【解答】解：

∵2a2+2b2=10，

∴a2+b2=5，

∵a+b=3，

∴（a+b）2=9，

∴a2+2ab+b2=9，

∴5+2ab=9，

∴2ab=4，

∴ab=2，

故答案为：

2．

【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．

18．若（m﹣2）2=3，则m2﹣4m+6的值为　5　．

【分析】原式配方变形后，将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】解：

∵（m﹣2）2=3，

∴原式=m2﹣4m+4+2=（m﹣2）2+2=3+2=5，

故答案为：

5

【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

19．观察下列各式及其展开式：

（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2

（a﹣b）3=a3﹣3a2b+3ab2﹣b3

（a﹣b）4=a4﹣4a3b+6a2b2﹣4ab3+b4

（a﹣b）5=a5﹣5a4b+10a3b2﹣10a2b3+5ab4﹣b5…

请你猜想（a﹣b）10的展开式第三项的系数是　45　．

【分析】根据各式与展开式系数规律，确定出所求展开式第三项系数即可．

【解答】解：

根据题意得：

第五个式子系数为1，6，15，20，15，6，1，

第六个式子系数为1，7，21，35，35，21，7，1，

第七个式子系数为1，8，28，56，70，56，28，8，1，

第八个式子系数为1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，

第九个式子系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，

则（a﹣b）10的展开式第三项的系数是45，

故答案为：

45．

【点评】此题考查了完全平方公式，弄清题中的规律是解本题的关键．

20．图

（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图

（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是　（a﹣b）2　．

【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．

【解答】解：

∵图

（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，

∴正方形的边长为：

a+b，

∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），

∴正方形的面积为（a+b）2，

∵原矩形的面积为4ab，

∴中间空的部分的面积=（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2．

故答案为（a﹣b）2．

【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．

21．如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网格线的交点上，若灰色三角形面积为

，则方格纸的面积为　12　．

【分析】设每个方格的边长为x，根据题意表示出灰色三角形面积，将已知面积代入求出x的值，即可确定出方格纸面积．

【解答】解：

可设每个方格的边长为x，

根据题意得：

（4x）2﹣

•2x•3x﹣

•x•4x﹣

•2x•4x=

，

整理得：

x2=

，

则方格纸的面积为

×16=12．

故答案为：

12．

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出（a+b）4展开式所缺的系数：

（a+b）=a+b

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

（a+b）4=a4+4a3b+　6　a2b2+4ab3+b4．

【分析】根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可．

【解答】解：

∵（a+b）=a+b

（a+b）2=a2+2ab+b2

（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

∴（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．

故答案为：

6．

【点评】本题考查了完全平方公式，能发现（a+b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a+b）n﹣1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．

23．（2016秋•大石桥市校级期末）已知（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，则（2017﹣a）（2016﹣a）=　0　．

【分析】将已知等式根据x2+y2=（x﹣y）2+2xy变形可得．

【解答】解：

∵（2017﹣a）2+（2016﹣a）2=1，

∴[（2017﹣a）﹣（2016﹣a）]2+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，

即1+2（2017﹣a）（2016﹣a）=1，

∴2（2017﹣a）（2016﹣a）=0，

∴（2017﹣a）（2016﹣a）=0，

故答案为：

0．

【点评】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．

24．（2016春•怀柔区期末）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．

例如：

（a+b）0=1，它只有一项，系数为1；系数和为1；

（a+b）1=a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；

（a+b）2=a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；

（a+b）3=a3+3a2b+2ab2+b3，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；…，

则（a+b）n的展开式共有　n+1　项，系数和为　2n　．

【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：

首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n﹣1相邻两项的系数和．

【解答】解：

展开式共有n+1项，系数和为2n．

故答案为：

n+1，2n．

【点评】本题考查了完