八年级数学湘教版教材上学期期中复习.docx

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八年级数学湘教版教材上学期期中复习

初中数学

上学期期中复习

编稿老师

刘彤

一校

吕丽娟

二校

林卉

审核

刘敏

微课程1：

三角形

【考点精讲】

一、三角形三边的关系：

三角形两边之和大于第三边；

三角形两边之差小于第三边。

注意：

①这里两边是指任意两边；②三边关系可用作判断三条线段能否构成三角形。

二、三角形的主要线段：

高、中线、角平分线

三角形的高

三角形的中线

三角形的角平分线

图形

表示方法

1.AD是△ABC的BC边上的高线。

2.AD⊥BC于D。

3.∠ADB＝∠ADC＝90°。

1.AD是△ABC的BC边上的中线。

2.BD＝DC＝

BC。

1.AD是△ABC的∠BAC的平分线。

2.∠1＝∠2＝

∠BAC

注意：

①三角形的角平分线、中线和高都是线段；

角的平分线是射线。

②一个三角形有三条角平分线，三条中线，三条高。

③三角形的三条角平分线，三条中线，三条高（或其延长线）都相交于一点。

三、三角形分类：

（1）按角分：

锐角三角形，直角三角形，钝角三角形

（2）按边分：

等腰三角形（等边三角形），不等边三角形

四、三角形内角和定理：

三角形三个内角的和等于180°

注意：

①此定理常常是题目中隐藏的条件，要学会发掘应用。

②这个定理可以做辅助线利用平行线的性质证明，涉及转化思想。

五、三角形的外角的性质：

（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；

（2）三角形的一个外角大于和它不相邻的任一个内角；

注意：

①强调“不相邻的”

②是用来比较角度大小的一种方法。

六、多边形及其内角和与外角和：

（1）多边形内角和等于（n－2）·180°。

（2）多边形的外角和等于360°。

注意：

①内角和公式中是n－2，不是n。

②多边形的外角和是360°，与具体几边形无关。

③多边形内角和公式是把多边形分割成若干个三角形得出的结论，体现转化思想。

【典例精析】

例题1

（1）已知三角形的三边长分别是3，8，x，若x的值为偶数，则x的值有（）

A.6个B.5个C.4个D.3个

（2）已知一个三角形三个角的度数的比为1：

5：

6，则其最大的内角的度数为（）

A.60°B.75°C.90°D.120°

思路导航：

（1）由三角形的三边关系可知5＜x＜11，∵x是偶数∴x的取值可能为6、8、10，故x的值有3个。

（2）设三角形的三个内角依次为x、5x、6x，则x＋5x＋6x＝180°∴x＝15°∴最大的内角6x＝90°故选C。

答案：

（1）D

（2）C

点评：

“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，经常用来确定第三条边的取值范围，有时会与周长相联系，要注意转化。

三角形的三个内角和等于180°，这个隐藏的条件常常是解题的关键，要时刻注意。

例题2下列说法：

（1）等边三角形也是等腰三角形；

（2）三角形的外角等于两个内角的和；（3）三角形中最大的内角不能小于60°；（4）锐角三角形中，任意两内角之和必大于90°，其中错误的个数是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

思路导航：

（1）由等腰三角形与等边三角形的定义可得，

（1）正确；

（2）应强调三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，则

（2）错；（3）三角形中最大的内角若小于60°，则三个角的和就小于180°，不符合三角形内角和定理，故（3）正确；（4）三角形中，任意两内角之和若不大于90°，则另一个内角就大于或等于90°，就不能是锐角三角形，所以只有

（2）错，故选B。

答案：

B

例题3已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形中（）

A.一定有一个内角为45°　　B.一定有一个内角为60°

C.一定是直角三角形　　　　　D.一定是钝角三角形

思路导航：

本题考查三角形的内角和等于180°这一知识点。

∵△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°∴∠B＋∠C＝180°－∠A∵∠B＋∠C＝3∠A∴180°－∠A＝3∠A∴∠A＝45°所以选A，其他三个答案不能确定。

答案：

A

点评：

会灵活运用三角形内角和等于180°这一定理是解决本题的关键。

在本题中要能得出∠B＋∠C＝180°－∠A，再结合∠B＋∠C＝3∠A，利用整体代换思想求出∠A的度数。

例题4如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是__________。

思路导航：

∵等边三角形的三边都相等∴设蓝色等边三角形的边长为x∴绿色等边三角形的边长为2x，黑色等边三角形的边长为a＋x，红色等边三角形的边长为a＋x＋a＝2a＋x，而绿色等边三角形的边长又等于2a＋x＋a＝3a＋x∴3a＋x＝2x∴x＝3a∴蓝色等边三角形的边长是3a，黑色等边三角形的边长是4a，红色等边三角形的边长是5a，绿色等边三角形的边长是6a∴六边形的周长是3a＋3a＋4a＋4a＋5a＋5a＋6a＝30a

答案：

30a

点评：

方程思想就是通过设未知数，建立方程来求解问题。

它首先应用未知数表示出其他的量，并根据等量关系列出方程进行解答。

【总结提升】

数形结合思想

本学期中所学的三角形性质、角平分线性质、三角形边或角之间的关系、多边形的内角和与外角和等，都是在结合图形的基础上，求线段或角的度数，证明线段或角相等。

在几何学习中，应学会把几何图形转换成代数计算解决实际问题。

要掌握数形结合思想，数形结合是通过“数”与“形”的相互转化，使复杂问题简单化、抽象问题具体化；数形结合是初中数学基本思想之一，是用来解决数学问题的重要思想。

例：

现有两根木棒，它们的长分别是20cm和30cm，若不改变木棒的长度，要钉成一个三角形木架，则应在下列四根木棒中选取（）

A.10cm的木棒B.20cm的木棒C.50cm的木棒D.60cm的木棒

这类试题就是把几何图形，转化为长度计算，只需根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”就可解决。

微课程2：

全等三角形

【考点精讲】

1.定义：

能完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

注意：

完全重合意味着形状、大小都相等。

2.性质：

（1）对应边相等

（2）对应角相等

（3）对应角的平分线、对应边的中线和高相等

（4）周长、面积相等

注意：

字母的对应性、顺序性。

3.三角形全等的判定思路

注意：

①判定三角形全等至少必须有一组对应边相等。

②在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

③时刻注意图形中的隐含条件，如公共边、公共角、对顶角等。

【典例精析】

例题1如图，已知AB＝CD＝AE＝BC＋DE＝2，∠ABC＝∠AED＝90°，求五边形ABCDE的面积。

思路导航：

五边形求面积我们没学过，肯定要转化为学过的能直接求面积的四边形或三角形。

看到直角要充分利用，所以下意识的连接AC与AD，当发觉仍然不好求出最后结果时，开始转移三角形，延长DE至F，使EF＝BC，连接AF，可证明出Rt△ABC≌Rt△AEF，然后再证明出△ACD≌△AFD，就可以找到五边形与三角形的面积关系，通过求出三角形面积进而求出五边形ABCDE的面积。

答案：

延长DE至F，使EF＝BC，连接AC、AD、AF

∵AB＝AE，EF＝BC，∠ABC＝∠AEF＝90°

∴Rt△ABC≌Rt△AEF

∴AC＝AF

∵CD＝BC＋DE

∴CD＝EF＋DE＝DF

∵AC＝AF，CD＝DF，AD＝AD

∴△ACD≌△AFD

∴S五边形ABCDE＝2S△ADF

∵AB＝CD＝AE＝DF＝2，∠AED＝90°

∴S△ADF＝

DF·AE＝

×2×2＝2

∴S五边形ABCDE＝2×2＝4

点评：

添加辅助线对于解答此类题目很重要，但是除按照常规添加的辅助线外，还要考虑到题目中的另一条件“BC＋DE＝2”，只有延长DE至F，使EF＝BC，才能利用题目中所给的数字2，这一辅助线的添加是解决本题的关键。

例题2如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：

AC＝AE＋CD

思路导航：

这道题看起来较为复杂，考虑到是线段加减等量关系问题，所以第一反应应该就是做辅助线，“截长”或“补短”。

我们在AC边上取点F，使AE＝AF，连接OF，可以证明出△AOE≌△AOF，但是想证明△COD≌△COF比较难，缺少条件，所以这时候∠ABC＝60°开始起作用了，利用这个条件根据三角形的性质把角度互相转换后，可以得出∠6＝∠4＝∠5＝∠3，此时可证明△COD≌△COF，从而证出最终结论。

答案：

证明：

在AC边上取点F，使AE＝AF，连接OF

∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB

∴∠1＝∠OAB＝

∠BAC，∠2＝∠OCB＝

∠ACB

∴∠3＝∠4＝∠1＋∠2＝

∠BAC＋

∠ACB＝

（∠BAC＋∠ACB）＝

（180°－∠ABC）＝

×120°＝60°

∴∠AOC＝180°－∠3＝120°

∵AE＝AF，AO＝AO，∠1＝∠OAB

∴△AOE≌△AOF（SAS）

∴∠5＝∠3＝60°

∴∠6＝∠AOC－∠5＝60°

∴∠6＝∠5

∴∠6＝∠4＝60°

∵CO＝CO，∠2＝∠OCB，∠6＝∠4

∴△COD≌△COF（ASA）

∴CD＝CF

∵AC＝AF＋CF

∴AC＝AE＋CD

点评：

解决本题的关键是作辅助线，添加辅助线的灵感来源于求证的线段加减等量关系，题目要证“AC＝AE＋CD”，我们首先想到利用“截长”或“补短”法，进而结合三角形全等进行证明。

例题3已知：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线。

求证：

CD＝

AB。

思路导航：

这道题要求证CD＝

AB，直接做很难找到突破点，所以要添加辅助线，运用“截长补短”的思想。

延长CD到E，使ED＝CD，连接AE，由SAS可以证明出△ADE≌△BDC，得出∠EAD＝∠B，AE＝BC，由∠B＋∠BAC＝90º，得出∠EAD＋∠BAC＝90º，即∠EAC＝∠ACB＝90°，再加上AE＝BC，AC＝CA，可证明出△ABC≌△CEA，得到AB＝CE，从而得到CD＝

AB。

答案：

延长CD到E，使ED＝CD，连接AE，

∵DE＝CD，∠ADE＝∠CDB，AD＝BD

∴△ADE≌△BDC（SAS）

∴∠EAD＝∠B，AE＝BC

∵∠ACB＝90º

∴∠B＋∠BAC＝90º

∴∠EAD＋∠BAC＝90º

即∠EAC＝∠ACB＝90°

又∵AE＝BC，AC＝CA

∴△ABC≌△CEA（SAS）

∴AB＝CE

∴CD＝

AB

点评：

证明线段相等或倍数关系，可以考虑“等角对等边”或“全等”，但这道题目用“等角对等边”不容易做下去。

所以要学会应变，适当的添加辅助线，利用“截长补短”法，换成全等去做。

【总结提升】

化归与转化思想——“截长补短”法

在利用三角形的基础知识解决计算、证明问题时，需要通过做辅助线、利用所学知识进行准确推理等转化手段，将其归结为另一个相对较容易解决的或者已经有解决模式的问题。

当已知或求证中涉及线段的和或差时，一般采用“截长补短”法。

具体作法是：

在较长的线段上截取一条线段等于一条较短的线段，再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段，称为“截长”；或者将一条较短的线段延长，使其等于另外的较短线段，然后证明这两条线段之和等于较长线段，称为“补短”。

例：

如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2，求证：

AB＝AC＋CD

解析：

截长法，如图，在AB上截取AE＝AC，连结DE

补短法：

延长AC至E，使AE＝AB，连结DE

当给定的题设条件及图形并不具有明显的全等条件时，需要我们认真观察、分析，根据图形的结构特点，挖掘潜在因素，通过添加适当的辅助线，巧妙构造全等三角形，借助全等三角形的有关性质，就可迅速找到证题的途径。

（答题时间：

60分钟）

一、选择题

1.（广西桂林）下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为轴对称图形的是（）

A.B.C.D.

2.三角形的三边分别为3、1－2a、8，则a的取值范围是（）　　

A.－6＜a＜－3B.－5＜a＜－2　　　

C.2＜a＜5　　　D.a＜－5或a＞－2

3.有五根细木棒，长度分别为1cm、3cm、5cm、7cm、9cm，现任取其中的三根木棒，组成一个三角形，问有几种可能（）

A.1种　　　B.2种　　　C.3种　　　D.4种

4.两个三角形有以下三对元素对应相等，则不能判定全等的是（）

A.一边和任意两个角　　　　　　B.两边和它们的夹角

C.两个角和它们一角的对边　　D.三角对应相等

5.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A，则此三角形中（）

A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°

C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形

6.如果三角形的一个内角等于其他两个内角的和，则这个三角形是（）

A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定

7.（山西）将一个矩形纸片依次按图

（1）、图

（2）的方式对折，然后沿图（3）中的虚线裁剪，最后将图（4）的纸再展开铺平，所得到的图案是（）

8.下列说法中，正确的是（）

A.周长相等的锐角三角形都全等B.周长相等的直角三角形都全等

C.周长相等的钝角三角形都全等D.周长相等的等腰直角三角形都全等

9.如图所示，直线

、

、

表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）

A.一处B.二处C.三处D.四处

二、填空题

10.在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝50°，BD∥AC，则∠CBD的度数是______。

11.如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，连接BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C。

若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为__________。

12.（黑龙江黑河）如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，请添加一个适当的条件：

__________，使得AC＝DF。

13.等腰三角形中两条边长分别为3、4，则三角形的周长是_________。

14.若一个三角形的两个内角分别为50°、80°，则这个三角形是_________三角形。

15.（四川自贡）如图是4×4正方形网络，其中已有3个小方格涂成了黑色。

现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，新的4个黑方格构成的图形为轴对称图形，这样的白色小方格有_______个。

三、解答题

16.

（1）如图1，△ABC中，∠A＝60°，∠B：

∠C＝1：

5，求∠B的度数。

（2）如图2，点M为正方形ABCD对角线BD上一点，分别连接AM、CM。

求证：

AM＝CM。

17.已知等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝2∠A，且BD⊥AC，垂足为D，求∠DBC的度数。

18.已知：

AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，你能判定BC∥EF吗？

说说你的理由.

19.如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，AD是△ABC的角平分线，∠1＝∠B。

求证：

AB＝AC＋CD。

20.（福建三明）如图，AC＝AD，∠BAC＝∠BAD，点E在AB上。

（1）你能找出　　对全等的三角形；

（2）请写出一对全等三角形，并证明。

21.有一个三角形，它的内角分别是30°、60°、90°。

（1）你能将它分成两个等腰三角形吗？

（2）观察你所得的图形，你能得出比较短的直角边和斜边有什么关系吗？

说明理由。

22.（青海）认真阅读下面的探究片段，完成所提出的问题。

探究1：

如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC＝90°＋

，理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线

∴∠1＝

∠ABC，∠2＝

∠ACB

∴∠1＋∠2＝

（∠ABC＋∠ACB）

又∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A

∴∠1＋∠2＝

（180°－∠A）＝90°－

∠A

∴∠BOC＝180°－（∠1＋∠2）＝180°－（90°－

∠A）

＝90°＋

∠A

探究2：

如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？

请说明理由。

探究3：

如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？

（只写结论，不需证明）

结论：

。

23.（山西）如图

（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，

（1）求证：

CE＝CF。

（2）将图

（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图

（2）所示，试猜：

BE′与CF有怎样的数量关系？

请证明你的结论。

24.如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合）分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC。

（1）求证：

△ACE≌△DCB；

（2）求证：

∠APC＝∠BPC。

一、选择题

1.D解析：

D是轴对称图形，对称轴在中间，其余三个图没有对称轴。

2.B解析：

根据三角形三边关系得：

8－3＜1－2a＜8＋3，解得－5＜a＜－2，应选B。

3.C解析：

只有3、5、7或3、7、9或5、7、9三种，应选C。

4.D解析：

A的判定方法为ASA或AAS；B的判定方法为SAS；C的判定方法为AAS；要判定三角形全等必须有一个元素是边，所以D不能判定。

故选D。

5.A解析：

∵△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－∠A。

∵∠B＋∠C＝3∠A，∴180°－∠A＝3∠A，∴∠A＝45°，∴选A，其他三个答案不能确定。

6.C解析：

若△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C中，∠A＋∠B＝∠C，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以2∠C＝180°，可得∠C＝90°，所以选C。

7.A解析：

如果根据轴对称能想出来很好，但是动手操作一下、体会一下更好。

8.D解析：

等腰直角三角形已经确定了三个角对应相等，分别是45°、45°、90°，此时周长相等意味着对应边都相等，所以可以推出全等。

9.D到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点，故可在①②③④区域选址，此题用角平分线的性质对实际问题建模，是中考的热点问题。

二、填空题

10.40°/140°解析：

如图，△ABC中，∠C＝180°－∠ABC－∠A＝90°－50°＝40°。

又∵BD∥AC∴∠CBD＝∠C＝40°/140°。

11.4解析：

由∠A＝90°，BD⊥CD可知∠BDC＝∠A＝90°，又因为∠ADB＝∠C，所以根据等式性质知道∠ABD＝∠DBC，所以BD是∠ABC的平分线，所以DP⊥BC时最小，此时DP＝AD＝4。

12.AB＝DE或∠A＝∠D或∠BCA＝∠EFD等解析：

此题答案很多，但必须有根据，能凑成全等三角形判定的条件。

发掘题目条件可知∠B＝∠E，BC＝FE，所以添加AB＝DE，可用SAS，添加∠A＝∠D可用AAS，添加∠BCA＝∠EFD，可用ASA。

13.10或11解析：

（1）当腰为3时，周长＝3＋3＋4＝10；

（2）当腰为4时，周长＝3＋4＋4＝11，所以答案为10或11。

14.等腰解析：

三角形的两个内角分别为50°、80°，则另一个内角为50°，这个三角形有两个角相等，所以是等腰三角形。

15.3解析：

如图，红色的三个。

三、解答题

16.解析：

解：

设∠B＝x°，则∠C＝5x°，∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴60°＋x°＋5x°＝180°，∴6x°＝120°，∴x＝20，即∠B＝20°。

（2）由题意得：

BD是正方形ABCD的对称轴，

∴∠ABD＝∠CBD，AB＝BC。

∵BM＝BM，

∴△ABM≌△CBM。

∴AM＝CM。

17.解析：

证明：

∵等腰△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝2∠A，∠ABC＋∠C＋∠A＝180°

∴∠C＝72°，∵BD⊥AC，∴∠DBC＋∠C＝90°，∴∠DBC＝90°－72°＝18°。

18.能解析：

证明：

∵AD＝BE∴AD＋DB＝BE＋DB即AB＝ED

∵AC＝DF，BC＝EF∴△ABC≌△DEF（SSS）

∴∠E＝∠CBA，∴BC∥EF。

19.解析：

证明：

∵∠1＝∠B∴∠AED＝2∠B，DE＝BE∴∠C＝∠AED

在△ACD和△AED中

∴△ACD≌△AED

∴AC＝AE，CD＝DE，

∴CD＝BE。

∴AB＝AE＋EB＝AC＋CD。

20.解析：

（1）3

（2）△ABC≌△ABD

证明：

在△ABC和△ABD中

∴△ABC≌△ABD（SAS）

21.解析：

（1）能。

如图所示：

（2）BC＝

AB。

由等角对等边和等量代换得到AD＝CD＝BD＝BC。

∴2BC＝AD＋DB＝AB即BC＝

AB。

22.解析：

探究2结论：

∠BOC＝

理由如下：

∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线

（2）探究3：

结论∠BOC＝90°－

23.解析：

（1）证明：

∵AF平分∠CAB，∴∠CAF＝∠EAD，

∵∠ACB＝90°，∴∠CAF＋∠CFA＝90°，

又∵CD⊥AB，∴∠EAD＋∠AED＝90°，∴∠CFA＝∠AED，

∵∠AED＝∠CEF，∴∠CFA＝∠CEF，∴CE＝CF。

（2）证明：

BE＇＝CF，如图，过点E作EG⊥AC于点G，

∵AF平分∠CAB，ED⊥AB，∴ED＝EG，

由平移的性质可知：

D′E′＝DE，∴E′D′＝EG，

∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠DCB＝90°，

∵CD⊥AB，∴∠B＋∠DCB＝90°，∴∠ACD＝∠B。

在Rt△CEG与Rt△BE′D′中，

，

∴△CEG≌△BE′D′，∴CE＝BE′，

由

（1）可知CE＝CF，∴BE′＝CF。

24.解析：

（1）证明：

∵△ACD和△BCE都是等腰三角形，

∴AC＝DC，BC＝EC。

∵∠ACD＝∠BCE，

∴∠ACE＝∠DCB。

在△ACE和△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB（SAS）。

（2）证明：

在DB上截取DF＝AP，连接CF，由

（1）知△ACE≌△DCB，

∴∠CAE＝∠CDB。

又∵CA＝CD，DF＝AP，

∴△ACP≌△DCF，

∴∠APC＝∠DFC，CP＝CF。

∴∠BPC＝∠DFC，

∴∠APC＝∠BPC。