高考数学真题分类汇编 专题 导数 文.docx
《高考数学真题分类汇编 专题 导数 文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学真题分类汇编 专题 导数 文.docx（25页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
高考数学真题分类汇编专题导数文
20XX年高考数学真题分类汇编专题03导数文
20XX年高考数学真题分类汇编专题03导数文
1、【2015高考福建，文12】“对任意x（0,
2），ksinxcosxx”是“k1”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当k1时，ksinxcosxkksin2x，构造函数f（x）sin2xx，则22
f'（x）kcos2x10．故f（x）在x（0,）单调递增，故f（x）f（）0，则222
1ksinxcosxx；当k1时，不等式ksinxcosxx等价于sin2xx，构造函数2
1g（x）sin2xx，则g'（x）cos2x10，故g（x）在x（0,）递增，故22
g（x）g（）0，则sinxcosxx．综上所述，“对任意x（0,），222
ksinxcosxx”是“k1”的必要不充分条件，选B．
【考点定位】导数的应用．
【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题．
2.【2015高考湖南，文8】设函数f（x）ln（1x）ln（1x），则f（x）是（）
A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数
C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数
【答案】A
【解析】
函数f（x）ln（1x）ln（1x），函数的定义域为（-1，1），函数f（x）ln（1x）ln（1x）f（x）所以函数是奇函数．f'x
在（0,1）上f'x0，所以f（x）在（0,1）上单调递增，故选A.
【考点定位】利用导数研究函数的性质111，21x1x1x
【名师点睛】利用导数研究函数f（x）在（a，b）内的单调性的步骤：
（1）求f'x；
（2）确认f'x在（a，b）内的符号；（3）作出结论：
f'x0时为增函数；f'x0时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.
-1-
3.【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
注：
“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）
A．6升B．8升C．10升D．12升
【答案】B
【解析】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V48升.而这段时间内行驶的里程数S3560035000600千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为
【考点定位】平均变化率.
【名师点晴】本题主要考查的是平均变化率，属于中档题．解题时一定要抓住重要字眼“每100千米”和“平均”，否则很容易出现错误．解此类应用题时一定要万分小心，除了提取必要的信息外，还要运用所学的数学知识进行分析和解决问题．
4.【2015高考新课标1，文14】已知函数fxaxx1的图像在点1,f1的处的切线3481008升，故选B.600过点2,7，则a.
【答案】1
【解析】
2试题分析：
∵f（x）3ax1，∴f
（1）3a1，即切线斜率k3a1，
又∵f
（1）a2，∴切点为（1，a2），∵切线过（2,7），∴a273a1，解得a1.12
考点：
利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；
【名师点睛】对求过某点的切线问题，常设出切点，利用导数求出切线方程，将已知点代入切线方程得到关于切点横坐标的方程，解出切点的横坐标，即可求出切线方程，思路明确，关键是运算要细心.
5.【2015高考天津，文11】已知函数fxaxlnx,x0,,其中a为实数,fx为-2-
fx的导函数,若f13,则a的值为．
【答案】3
【解析】因为fxa1lnx,所以f1a3.
【考点定位】本题主要考查导数的运算法则.
【名师点睛】本题考查内容单一,求出fxa1lnx由,再由f13可直接求得a的值,因此可以说本题是一道基础题,但要注意运算的准确性,由于填空题没有中间分,一步出错,就得零分,故运算要特别细心.
6.【2015高考陕西，文15】函数yxe在其极值点处的切线方程为____________.【答案】yx1e
xx【解析】yf（x）xef（x）（1x）e，令f（x）0x1，此时f
（1）
函数yxe在其极值点处的切线方程为y
【考点定位】：
导数的几何意义.x1e1e
【名师点睛】1.本题考查导数的几何意义，利用导数研究曲线上某点处切线方程等基础知识，
1切点在考查运算求解能力.2.解决导数几何意义的问题时要注意抓住切点的三重作用：
○
2切点在切线上；○3切点处导函数值等于切线斜率.曲线上；○
7.【2015高考安徽，文21】已知函数f（x）ax（a0,r0）2（xr）
（Ⅰ）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若a400，求f（x）在（0,）内的极值.r
【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r）和（r，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.
rr，.【解析】（Ⅰ）由题意可知xr所求的定义域为，
f（x）axax，（xr）2x22xrr2
a（x22xrr2）ax（2x2r）a（rx）（xr）f（x）2224（x2xrr）（xr）
所以当xr或xr时，f（x）0，当rxr时，f（x）0
-3-
因此，f（x）单调递减区间为（,r）,（r,）；f（x）的单调递增区间为r,r.
（Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知f'（r）0f（x）在0,r上单调递增，在r,上单调递减.因此xr是f（x）的极大值点，所以f（x）在（0,）内的极大值为f（r）ara400内无极小值；100，f（x）在（0,）22r4r4
综上，f（x）在（0,）内极大值为100，无极小值.
【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.
【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求f（x）0和f（x）0时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.
x2
8.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数fxklnx，k0．2
（I）求fx的单调区间和极值；
（II）证明：
若fx存在零点，则fx
在区间上仅有一个零点．【答案】（I
）单调递减区间是
，单调递增区间是
）；极小值
fk（1lnk）；（II
）证明详见解析.2
-4-
kx2k.f（x）xxx'
由f'（x）
0解得x.
f（x）与f'（x）在区间（0,）上的情况如下：
所以，f（x
）的单调递减区间是
，单调递增区间是）；
f（x
）在x
处取得极小值fk（1lnk）.2
k（1lnk）.2（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在区间（0,
）上的最小值为f
因为f（x）存在零点，所以k（1lnk）0，从而ke.2
当ke时，f（x
）在区间
上单调递减，且f0，
所以x是f（x
）在区间上的唯一零点.
1ek
0，f0，22当ke时，f（x
）在区间上单调递减，且f
（1）
所以f（x
）在区间上仅有一个零点.
综上可知，若f（x）存在零点，则f（x
）在区间上仅有一个零点.
考点：
导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.
【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数fx的单调性与极值的步骤：
①确定函数fx的定义域；②对fx求导；③求方程fx0的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：
①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．
-5-
（x1）2
9.【2015高考福建，文22】已知函数f（x）lnx．2
（Ⅰ）求函数fx的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：
当x1时，fxx1；
（Ⅲ）确定实数k的所有可能取值，使得存在x01，当x（1,x0）时，恒有fxkx1．
【答案】（Ⅰ
）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）,1．
1x2x1【解析】（I）fxx1，x0,．xx
由fx0得x0
2
xx10解得0x．故fx
的单调递增区间是．（II）令Fxfxx1，x0,．
1x2
则有Fx．x
当x1,时，Fx0，
所以Fx在1,上单调递减，
故当x1时，FxF10，即当x1时，fxx1．
（III）由（II）知，当k1时，不存在x01满足题意．
当k1时，对于x1，有fxx1kx1，则fxkx1，从而不存在x01满足题意．
当k1时，令Gxfxkx1，x0,，
x21kx11则有Gxx1k．xx
由Gx0得，x1kx10．2
-6-
解得
x10，
x21．
当x1,x2时，Gx0，故Gx在1,x2内单调递增．
从而当x1,x2时，GxG10，即fxkx1，
综上，k的取值范围是,1．
【考点定位】导数的综合应用．
【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式f（x）0或f（x）0求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意f（x）g（x）与f（x）ming（x）max不等价，''f（x）ming（x）max只是f（x）g（x）的特例，但是也可以利用它来证明，在20XX年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究基本初等函数方法所不具备的，而是其延续．
10.【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设a为实数，函数fxxaxaaa1．
（1）若f01，求a的取值范围；
（2）讨论fx的单调性；
（3）当a2时，讨论fx24在区间0,内的零点个数．x
【答案】
（1）,；
（2）f（x）在（a,）上单调递增，在（,a）上单调递减；（3）当a221
时，fx
【解析】44有一个零点x2；当a2时，fx有两个零点．xx
试题分析：
（1）先由f01可得aa1，再对a的取值范围进行讨论可得aa1的解，进而可得a的取值范围；
（2）先写函数fx的解析式，再对a的取值范围进行讨论确定-7-
函数fx的单调性；（3）先由
（2）得函数fx的最小值，再对a的取值范围进行讨论确定fx4在区间0,内的零点个数．x
22试题解析：
（1）f（0）aaaaaa，因为f01，所以aa1，
当a0时，01，显然成立；当a0，则有2a1，所以a
综上所述，a的取值范围是,.211.所以0a.221
2x2a1x,xa
（2）f（x）2x（2a1）x2a,xa
对于u1x2a1x，其对称轴为x22a11aa，开口向上，22
所以f（x）在（a,）上单调递增；
对于u1x2a1x2a，其对称轴为x22a11aa，开口向上，22
所以f（x）在（,a）上单调递减.
综上所述，f（x）在（a,）上单调递增，在（,a）上单调递减.
（3）由
（2）得f（x）在（a,）上单调递增，在（0,a）上单调递减，所以f（x）minf（a）aa2.
（i）当a2时，f（x）min
令fx2x3x,x2f
（2）2，f（x）2x5x4,x2440，即f（x）（x0）.xx
因为f（x）在（0,2）上单调递减，所以f（x）f
（2）244在（0,2）上单调递增，yf
（2）2，所以yf（x）与y在（0,2）无交点.xx
4当x2时，f（x）x23x，即x33x240，所以x32x2x240，所x
42以x2（x1）0，因为x2，所以x2，即当a2时，fx有一个零点x2.x而y
（ii）当a2时，f（x）minf（a）aa，2
-8-
当x（0,a）时，f（0）2a4，f（a）aa，而y
当xa时，y
224在x（0,a）上单调递增，x442.下面比较f（a）aa与的大小aa4（a3a24）（a2）（a2a2）因为aa（）0aaa
所以f（a）
aa24a
结合图象不难得当a2时，yf（x）与y
综上所述，当a2时，fx4有两个交点.x44有一个零点x2；当a2时，fx有两个零点.xx
考点：
1、绝对值不等式；2、函数的单调性；3、函数的最值；4、函数的零点.
【名师点晴】本题主要考查的是绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值和函数的零点，属于难题．零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间，去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每段结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．判断函数的单调性的方法：
①基本初等函数的单调性；②导数法．判断函数零点的个数的方法：
①解方程法；②图象法．
11.【2015高考湖北，文21】设函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
f（x）g（x）ex，其中e为自然对数的底数.
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式，并证明：
当x0时，f（x）0，g（x）1；
（Ⅱ）设a0，b1，证明：
当x0时，ag（x）（1a）f（x）bg（x）（1b）.x
11【答案】（Ⅰ）f（x）（exex），g（x）（exex）.证明：
当x0时，ex1，0ex1，22
-9-
故f（x）0.
1又由基本不等式，
有g（x）（exex）1，即g（x）1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得2
1x11xex1f（x）（ex）（e2x）（exex）g（x）2e2e2
1x11xex1g（x）（ex）（e2x）（exex）f（x）⑥2e2e2
当x0时，⑤f（x）f（x）ag（x）（1a）等价于f（x）axg（x）（1a）x⑦bg（x）（1b）等价xx
于f（x）bxg（x）（1b）x.⑧于是设函数h（x）f（x）cxg（x）（1c）x，由⑤⑥，有
（1）若c0，由③④，h（x）g（x）cg（x）cxf（x）（1c）（1c）[g（x）1]cxf（x）.当x0时，
得h（x）0，故h（x）在[0,）上为增函数，从而h（x）h（0）0，即f（x）cxg（x）（1c）x，故⑦成立.
（2）若c1，由③④，得h（x）0，故h（x）在[0,）上为减函数，从而h（x）h（0）0，即f（x）cxg（x）（1c）x，故⑧成立.综合⑦⑧，得ag（x）（1a）f（x）bg（x）（1
b）.x
【考点定位】本题考查函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用，属高档题.-10-
【名师点睛】将函数的奇偶性和导数在研究函数的单调性与极值中的应用联系在一起，重点考查函数的综合性，体现了函数在高中数学的重要地位，其解题的关键是第一问需运用奇函数与偶函数的定义及性质建立方程组进行求解；第二问属于函数的恒成立问题，需借助导数求解函数最值来解决.
12.【2015高考山东，文20】设函数
处的切线与直线
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在自然数k，使得方程错误！
未找到引用源。
在（k,k1）内存在唯一的根？
如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；
（Ⅲ）设函数错误！
未找到引用源。
（min{p,q}表示，p,q中的较小值），求mx的最大值.
【答案】（I）a1；（II）k1；（III）
【解析】
（I）由题意知，曲线
又f'（x）lnx在点（1,f
（1））处的切线斜率为2，所以f'
（1）2，平行..已知曲线在点（1,f
（1））4.2ea1,所以a1.x
（II）k1时，方程f（x）g（x）在（1,2）内存在唯一的根.x2
设h（x）f（x）g（x）（x1）lnxx,e
当x（0,1]时，h（x）0.又h
（2）3ln244ln8110,e2e2
所以存在x0（1,2），使h（x0）0.因为h'（x）lnx1x（x2）1所以当时，当x（2,）时，1,h'（x）10，x（1,2）xxee
h'（x）0，
所以当x（1,）时，h（x）单调递增.
所以k1时，方程f（x）g（x）在（k,k1）内存在唯一的根.
-11-
（III）由（II）知，方程f（x）g（x）在（1,2）内存在唯一的根x0，且x（0,x0）时，
（x1）lnx,x（0,x0].f（x）g（x），x（x0,）时，f（x）g（x），所以m（x）x2
,x（x0,）ex
当x（0,x0）时，若x（0,1],m（x）0;
110,可知0m（x）m（x0）;故m（x）m（x0）.x
x（2x）当x（x0,）时，由m'（x）,可得x（x0,2）时，m'（x）0,m（x）单调递增；xe若x（1,x0）,由m'（x）lnx
x（2,）时，m'（x）0,m（x）单调递减；4,且m（x0）m
（2）.e2
4综上可得函数m（x）的最大值为2.e可知m（x）m
（2）
【考点定位】1.导数的几何意义；2.应用导数研究函数的单调性、最值；3.函数零点存在性定理.
【名师点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等，解答本题的主要困难是（II）（III）两小题，首先是通过构造函数，利用函数零点存在性定理，作出判断，并进一步证明函数在给定区间的单调性，明确方程f（x）g（x）在（k,k1）内存在唯一的根.其次是根据（II）的结论，确定得到m（x）的表达式，并进一步利用分类讨论思想，应用导数研究函数的单调性、最值.
本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的性质、函数零点存在性定理等基础知识的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力及分类讨论思想.本题是教辅材料的常见题型，有利于优生正常发挥.
13.【2015高考四川，文21】已知函数f（x）＝－2lnx＋x－2ax＋a，其中a>0.
（Ⅰ）设g（x）为f（x）的导函数，讨论g（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：
存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，＋∞）内有唯一解.
【解析】（Ⅰ）由已知，函数f（x）的定义域为（0，＋∞）22
g（x）＝f'（x）＝2（x－1－lnx－a）
所以g'（x）＝2－22（x1）xx
-12-
当x∈（0，1）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减
当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增
（Ⅱ）由f'（x）＝2（x－1－lnx－a）＝0，解得a＝x－1－lnx
令Φ（x）＝－2xlnx＋x－2x（x－1－lnx）＋（x－1－lnx）＝（1＋lnx）－2xlnx
则Φ
（1）＝1＞0，Φ（e）＝2（2－e）＜0
于是存在x0∈（1，e），使得Φ（x0）＝0
令a0＝x0－1－lnx0＝u（x0），其中u（x）＝x－1－lnx（x≥1）
由u'（x）＝1－2221≥0知，函数u（x）在区间（1，＋∞）上单调递增x
故0＝u
（1）＜a0＝u（x0）＜u（e）＝e－2＜1
即a0∈（0，1）
当a＝a0时，有f'（x0）＝0，f（x0）＝Φ（x0）＝0
再由（Ⅰ）知，f'（x）在区间（1，＋∞）上单调递增
当x∈（1，x0）时，f'（x）＜0，从而f（x）＞f（x0）＝0
当x∈（x0，＋∞）时，f'（x）＞0，从而f（x）＞f（x0）＝0
又当x∈（0，1]时，f（x）＝（x－a0）－2xlnx＞0
故x∈（0，＋∞）时，f（x）≥0
综上所述，存在a∈（0，1），使得f（x）≥0恒成立，且f（x）＝0在区间（1，＋∞）内有唯一解.
【考点定位】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.
【名师点睛】本题第（Ⅰ）问隐藏二阶导数知识点，由于连续两次求导
升级会员 