一元一次方程的经典考题docx.docx
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一元一次方程的经典考题
［教学目标］
1.经历从具体问题中的数量相等关系，列出方程的过程，体会并认识到方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
2.了解方程、一元一次方程以及方程的解等基本概念，了解方程的基本变形及其在解方程中的作用。
3.会解一元一次方程，并经历和体会解方程中“转化”的过程和思想，了解一元一次方程解法的一般步骤，并能正确、灵活运用。
4.会根据具体问题中的数量关系列出一元一次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所得结果是否合理。
5.通过实践与探索过程，体会数学建模思想，提高分析和解决实际问题的能力。
【典型例题】
例1.已知（加+3）十"1二2003是关于兀的一元一次方程，求m的值。
解：
由一元一次方程的定义可知：
|旳一2=1,冃-加+3H0
rll1777）-2=1,得|加|=3,则m=±3
又由刃+3H0,4导血工—3
m=3
小结：
方程仮+"=且Q、"为已矢口数）是关于x的一元一次方程，这里包
含有
（1）未知数只有一个，且未知数的最高次数是“1”。
（2）未知数的系数合并后不能为零。
（3）它必须是等式。
233
x=—3（m——x）+—x=5m
例2.已知3是一元一次方程42的解，则m的值是多少？
233
x=—3（mx）+—x=5m
解：
因为3是方程42的解，
3232
3（/77一一X—）+—X—=5加
所以4323
3/7：
-—+1=5m
即2
1
m=——
解得4
2
X——
小结：
方程的解是指满足方程两边相等的未知数的值，3是原方程的解，则把原方
程屮的X换成亍后等式仍然成立。
从而可以得到另一个关于m的方程求解。
例3.解下列方程：
（1）5x+2=6x—3
（2）0.4x—0.8=6—L3x
zox30%x+70%（x+4）=-40%x
（4）
古（厂―
9327
—x+—=—x
⑸7575
2113
—（x-3）+-（3-x）=-（x-3）+6
（6）424
兀+4%-3i/
=-1.6
（7）0.205
解：
（1）5x+2=6x-3
移项得：
2+3=6兀一5兀
合并同类项得：
5=x
x=5
（2）由方程04x-0.8=6-13%两边同时乘以10得:
4x—8=60—13%
4x4-13^=60+8
17x=68
x=4
（3）30%兀+70%（x+4）=-40%x
方程两边都乘以100得：
30x+70（x+4）=T0x
3x+7（x+4）=-4x
3x+7x+28+4x=0
14x=—28
x=—2
32x
⑷古「7*2
去中括号得：
X
（——l）-3-x=2
4
9HZI—H寸
9HQIX）寸
寸Z寸
9—141x）7141x）^1
CLLc
寸z寸
9+（EIX）mH（XIE）T+（E—Y）E
8—2
6r-
X9IH6I「寸◎寸IX2H6IY9S寸—HEI&E
。
一}§00
e・6—HH
97Z—役
9」IH9+xe—0e+x「
soxez.ox「
（Tx）zI（寸+x）「
36=4x
x=9
3n-—=3（%+ri）一2n
由题意可知x=9是方程4的解
3n-—=3（9+n）一2n则：
4
3n=27+3/2一2n
4
2/?
=27+-
4
109
n=
8
当"罟时心沽（罟-3討“0—00
（n-3-y=100即8
2r-32
竺二=兰兀_3得：
x=9解法
（2）：
解方程53
3n=3（x+斤）一2n解方程4
3/1—=3x+3n—2/1
4
21
x=—n
・・・312
又因为两个方程的解相同
021
9=—n
所以：
312
2109
—YI=
312
109n=
8
（n-3-）2=100
8
例5.已知关于x的方程恋-4=（）的解为整数，求整数k的取值。
解：
由恋-4=0可知，当k=0时，原方程无解，不符合题意，所以kHO
则由d-4=0,得：
4
x=—
k
因为原方程的解为整数，故整数k为4的约数，所以k=±l,±2,±4都满足题意。
即：
k=±l,±2,±4
例6.已知，=5,不解方程求代数式3F—5兀+21的值，
解法
（1）：
因为/=5
所以X’——5x+21
=X1•x-3•x2-5x+21
=5x—3X5—5兀+21
=21-15=6
即—3x~—5x+21=6
解法
（2）：
因为十=5，贝lJ5=x_
所以——5x+21
—兀‘—3%2—x~•x+21
=x3-3x2-x3+2\
=-3x2+21
=-3X5+21
=6
解法（3）：
由/=5得
%2-5=0
所以—3x~—5x+21
=x3-5x-3x2+21
=x（x2-5）-3x2+21
=x•0-3x2+21
=21—3/
=21-3X5
=6
—（x+72）=—（x+m）例7.解关于x的方程：
34
分析：
对于方程ax=b
bX——
（1）当aHO时，方程有唯一解：
ao
（2）当a=0,且bHO时，方程无解。
（3）当a=0,且b=0时，方程有无数个解。
%+心（十）
解：
由34可得：
4m（x+n）=3（兀+ni）
4twc+4mn=3尢+3m（4m一3）x=3m一4m/?
4加一3H0,当
3m-4mn
3亠3
m=—n壬一当4,4时，方程无解。
33
m=—，n=—当44时，方程有无数解。
例&某校初一年级甲、乙两个班，决定到市森林公园去搞一次野外写生活动，森林公
园的门票价格如下表：
购票人数
1~50人
51〜100人
100人以上
每人门票价
4.57G
4元
甲、乙两班共103人，（其中甲班人数多于乙班人数），如果两班都以班为单位分别购票,则一共需付486元
（1）如果两班联合起來，作为一个团体购票，则可节约多少钱？
（2）两班各有多少学生？
解:
（1）V103>100
・・・两班联合购票的门票价为4元
・••总票额为103X4=412元，可节省486-412=74（元）
即可节约74元钱。
（2）・・・甲、乙两班共103人，甲班人数多于乙班人数
・・・甲班人数多于50人
乙班人数有两种情况：
1若乙班少于或等于50人，设乙班有x名学生，
则甲班有（1°3-兀）名学生，则
5x+4.5（103-%）=486
解得兀=45,103—45=58
经检验，符合题意
・・・甲班有58人，乙班有45人。
2若乙班人数超过50人，设乙班有y人，贝IJ甲班有（1°3一刃人，贝IJ：
45^+45（103-y）=486
•・•此等式不成立
・・・这种情况不存在，
・・・甲班有58人，乙班有45人。
例9.如果eix2-^hx+c=px2-}-qx+r是恒等式，那么必有a=P，b=q,c=r
求b、c的值，使下面的恒等式成立：
x~+3x+2=（x—1）~+b（x—1）+c
解：
因为兀2+3兀+2=（无一1）2+/?
（%—l）+c是恒等式
所以对X的任意数值，等式都成立，
设兀=1代入恒等式，得
r+3X1+2=（1—1）2+/?
（l-l）+c
解得c=6
再设x=2代入恒等式，得
22+3X2+2=（2-1）2+级2-l）+c
即b+c=11
又因为c=6,所•以b=5
即b=5,c=6
7、有粗细不同的两支蜡烛，细蜡烛Z长为粗蜡烛Z长的2倍，细蜡烛点完需1小时，粗蜡烛点完需2小时.有一次停电，将这样的两支未使用过的蜡烛同时点燃，来电时，发现两支蜡烛所剩的长度一样，问停电的时间有多长？
8.关于x的方程2（兀一幻=兀+4与2x+l=x+3的解⑴相等，
（2）互为相反数，（3）
互为倒数，求k的值。
9.关于x的方程4x+2m二2x+l与3x-l=2（x+m）的解
（1）相等，
（2）互为相反数，（3）互为倒数，（4）第一个方程的解比第二个方程的解大2•求k的值
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