初中数学最值问题典型例题含答案分析.docx
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初中数学最值问题典型例题含答案分析
中考数学最值问题总结
考查知识点：
1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。
（2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题）
问题原型：
饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）
出题背景变式：
角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
解题总思路：
找点关于线的对称点实现“折”转“直”
几何基本模型：
条件：
如下左图，、是直线同旁的两个定点．
B
AB
l
A
l
问题：
在直线上确定一点，使的值最小．
P
PAPB
l
A
l
A
方法：
作点关于直线的对称点，连结交于
ABl
P
P
点，则
PAPBAB
的值最小
A
例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三
′
角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，
连接EN、AM、CM．
（1）求证：
△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为
时，求正方形的边长。
2
例2、如图13，抛物线y=ax＋bx＋c（a≠0的）顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，
其中B点的坐标为（3,0）
（1）求抛物线的解析式
（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，
若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、
F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请
说明理由.
（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线
MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存
在，说明理由.
例3、如图1，四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b（b≥2a且）,点F在
AD上（以下问题的结果可用a,b表示）
（1）求S△DBF
;
（2）把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转45得图2,求图2中的S△DBF;
0
（3）把正方形AEFG绕点A旋转任意角度,在旋转过程中,S△DBF是否存在最大值,最小值?
如果存在,试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。
1
y=x+1
y=ax2+bx3
交于A，B两点，
例4、如图，在平面直角坐标系中，直线
与抛物线
2
点A在x轴上，点B的纵坐标为3。
点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A，B重
合），过点P作x轴的垂线交直线AB与点C，作PD⊥AB于点D
（1）求a，b及sinACP的值
（2）设点P的横坐标为m
①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；
②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的m值，使这两个
三角形的面积之比为9：
10？
若存在，直接写出m值；若不存在，说明理由.
3
axbx
经过点A（4,0）
例5、如图，⊙C的内接△AOB中，AB=AO=4，tan∠AOB=,抛物线y
2
4
与点（-2,6）.
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）直线m与⊙C相切于点A，交y于点D.动点P在线段OB上，从点O出发向点B运
动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单
位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ⊥AD时，求运动时间t的值；
（3）点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当△ROB面积最大时，求点R的坐标.
例1、证明：
（1）∵△ABE是等边三角形，
∴BA=BE，∠ABE=60°．
∵∠MBN=60°，∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN．即∠MBA=∠NBE．
又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS）．（5分）
解：
（2）①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．（7分）
②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．（9分）
理由如下：
连接MN，由
（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM=EN，
∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形．∴BM=MN．
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．（10分）
根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．（11
分）
a（x1）4
例2、解：
（1）设所求抛物线的解析式为：
y
，依题意，将点B（3，0）代
2
（31）40
y（x1）4
入，得：
a
解得：
a＝－1∴所求抛物线的解析式为：
2
2
（2）如图6，在y轴的负半轴上取一点I，使得点F与点I关于x轴对称，
在x轴上取一点H，连接HF、HI、HG、GD、GE，则HF＝HI…………………①
设过A、E两点的一次函数解析式为：
y＝kx＋b（k≠0），
（x1）4
∵点E在抛物线上且点E的横坐标为2，将x＝2代入抛物线y
，得
2
y（21）43
2
∴点E坐标为（2，3）
（x1）4
又∵抛物线y
图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D
2
（x1）40
，∴x＝－1或x＝3
∴当y＝0时，
2
当x＝0时，y＝－1＋4＝3,
∴点A（－1，0），点B（3，0），点D（0，3）
又∵抛物线的对称轴为：
直线x＝1，
∴点D与点E关于PQ对称，GD＝GE…………………②
分别将点A（－1，0）、点E（2，3）代入y＝kx＋b，得：
kb
0
k1
解得：
2kb3
b1
过A、E两点的一次函数解析式为：
y＝x＋1
∴当x＝0时，y＝1∴点F坐标为（0，1）
∴
=2………………………………………③
DF
又∵点F与点I关于x轴对称，
∴点I坐标为（0，－1）
DEDI2425
………④
∴EI
2
2
2
2
又∵要使四边形DFHG的周长最小，由于DF是一个定值，
∴只要使DG＋GH＋HI最小即可
由图形的对称性和①、②、③，可知，
DG＋GH＋HF＝EG＋GH＋HI
只有当EI为一条直线时，EG＋GH＋HI最小
kxb（k0）
设过E（2，3）、I（0，－1）两点的函数解析式为：
y
，
1
1
1
kxb
分别将点E（2，3）、点I（0，－1）代入y
，得：
1
1
2kb3
1
1
b1
1
k
2
解得：
1
b1
1
过A、E两点的一次函数解析式为：
y＝2x－1
1
∴当x＝1时，y＝1；当y＝0时，x＝；
2
1
∴点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）
2
∴四边形DFHG的周长最小为：
DF＋DG＋GH＋HF＝DF＋EI
由③和④，可知：
225
DF＋EI＝
∴四边形DFHG的周长最小为225
。
（3）如图7，由题意可知，∠NMD＝∠MDB，
NMMD
MDBD
要使，△DNM∽△BMD，只要使
即可，
NMBD
………………………………⑤
即：
MD
2
设点M的坐标为（a，0），由MN∥BD，可得
△AMN∽△ABD，
NMAM
∴
BD
AB
再由
（1）、
（2）可知，AM＝1＋a，BD＝32
，AB＝4
AMBD（1a）3232
（1a）
∴MN
AB
ODOMa9
，
4
4
∵MD
2
2
2
2
32
4
∴⑤式可写成：
a2
9
（1a）32
3
或a
3（不合题意，舍去）
解得：
a
2
3
∴点M的坐标为（，0）
2
又∵点T在抛物线y
（x1）24图像上，
3
15
∴当x＝时，y＝
2
2
315
∴点T的坐标为（，）.
22
例3、
解：
（1）∵点F在AD上，∴AF2=a2＋a2，即AF=2a。
∴DFb2a。
1
1
1
3
∴S
DFAB（b2a）bb
ab。
2
2
2
2
2
DBF
（2）连接DF，AF，由题意易知AF∥BD，
∴四边形AFDB是梯形。
∴△DBF与△ABD等高同底，即BD为两三角形的底。
由AF∥BD，得到平行线间的距离相等，即高相等，
1
∴S
S
b。
2
2
DBF
ABD
（3）正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点A为圆心，AF为半径的圆。
第一种情况：
当b＞2a时，存在最大值及最小值，
∵△BFD的边BD=2b，
∴当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S△BFD取得最大、最小值。
1
2
b2ab
2
DF⊥BD时，S△BFD的最大值=2b（
b2a）
，
如图，当
2
2
2
1
2
b2ab
2
S△BFD的最小值=2b（
b2a）
。
2
2
2
第二种情况：
当b=2a时，存在最大值，不存在最小值，
b22ab
S△BFD的最大值=
。
2
1
2
例4、解：
（1）由
x+1=0
，得到x=－2，∴（－，）。
A
20
1
由
x+1=3，得到x=4
，∴（，）。
B43
2
∵y=ax
2+bx3
经过A、B两点，
1
a=
4a2b3=0
2
∴
，解得
。
16a+4b3=3
1
2
b=
设直线AB与y轴交于点E，则E（0，1）。
∴根据勾股定理，得AE=5。
∵PC∥y轴，∴∠ACP=∠AEO。
OA
AE
2
25
5
∴sinACP=sinAEO=
。
5
1
1
y=x2x3
（2）①由
（1）可知抛物线的解析式为
。
2
2
1
1
1
m，m2m3
m，m+1
由点P的横坐标为m，得P
，C
。
2
2
2
1
2
1
1
1
m+1m2m3m2+m+4
∴PC=
。
2
2
2
1
25
5
5
95
5
Rt△PCD中，PDPCsinACP=m2+m+4
=
m1
2+
，
在
2
5
5
95
5
∵
<0，∴当m=1时，PD有最大值
。
5
532
m=或
②存在满足条件的m值，
。
2
9
16a+4b=0
=ax+bx
2
例5、解：
（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入y
中，得方程组
，
4a-2b=6
1
=
1
a
=x-2x
2
解之，得
2.∴抛物线的解析式为y
.
2
b=-2
（2）连接AC交OB于E.
∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m，∵弦AB=AO，∴ABAO
.∴AC⊥OB，∴m∥OB.
3
3
∴∠OAD=∠AOB，∵OA=4tan∠AOB=，∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.
4
4
3
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
5
t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP=t.DF=DQ－FQ=t.
⊿ODF中，t=DF=OD2OF2
=1.8秒.
1
（3）令R（x,x－2x）（0＜x＜4）.
2
2
1
作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x，OG=x+2x.
2
2
3
4
Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB，∴tan∠GIR=.∴IG=xIR=
5
3
x,
4
3
4
1
1
2
Rt⊿OIH中，OI=IG－OG=x－（x+2x）=x－x.HI=（x－x）.
41
2
2
2
2
3
2
2
3
52
2
3
5
41
x－（x－
2
3
2
33
15x=－5
112
x+x=－（x－
于是RH=IR－IH=3
x）=－5
x+
2
2
2
52
5
5
11121
）+
2
4
40
11
1
1
11
11
当x=时，RH最大.S最大.这时x－2x=×（）－2×=－
55
32
11
.∴点R（,
2
2
4
2
2
4
4
4
⊿ROB
55
－32）
16a+4b=0
=ax+bx
2
例5、解：
（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入y
中，得方程组
，
4a-2b=6
1
=
1
a
=x-2x
2
解之，得
2.∴抛物线的解析式为y
.
2
b=-2
（2）连接AC交OB于E.
∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m，∵弦AB=AO，∴ABAO
.∴AC⊥OB，∴m∥OB.
3
3
∴∠OAD=∠AOB，∵OA=4tan∠AOB=，∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.
4
4
3
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
5
t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP=t.DF=DQ－FQ=t.
⊿ODF中，t=DF=OD2OF2
=1.8秒.
1
（3）令R（x,x－2x）（0＜x＜4）.
2
2
1
作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x，OG=x+2x.
2
2
3
4
Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB，∴tan∠GIR=.∴IG=xIR=
5
3
x,
4
3
4
1
1
2
Rt⊿OIH中，OI=IG－OG=x－（x+2x）=x－x.HI=（x－x）.
41
2
2
2
2
3
2
2
3
52
2
3
5
41
x－（x－
2
3
2
33
15x=－5
112
x+x=－（x－
于是RH=IR－IH=3
x）=－5
x+
2
2
2
52
5
5
11121
）+
2
4
40
11
1
1
11
11
当x=时，RH最大.S最大.这时x－2x=×（）－2×=－
55
32
11
.∴点R（,
2
2
4
2
2
4
4
4
⊿ROB
55
－32）
16a+4b=0
=ax+bx
2
例5、解：
（1）将点A（4，0）和点（-2，6）的坐标代入y
中，得方程组
，
4a-2b=6
1
=
1
a
=x-2x
2
解之，得
2.∴抛物线的解析式为y
.
2
b=-2
（2）连接AC交OB于E.
∵直线m切⊙C于A∴AC⊥m，∵弦AB=AO，∴ABAO
.∴AC⊥OB，∴m∥OB.
3
3
∴∠OAD=∠AOB，∵OA=4tan∠AOB=，∴OD=OA·tan∠OAD=4×=3.
4
4
3
作OF⊥AD于F.则OF=OA·sin∠OAD=4×=2.4.
5
t秒时，OP=t,DQ=2t，若PQ⊥AD，则FQ=OP=t.DF=DQ－FQ=t.
⊿ODF中，t=DF=OD2OF2
=1.8秒.
1
（3）令R（x,x－2x）（0＜x＜4）.
2
2
1
作RG⊥y轴于G作RH⊥OB于H交y轴于I.则RG=x，OG=x+2x.
2
2
3
4
Rt⊿RIG中，∵∠GIR=∠AOB，∴tan∠GIR=.∴IG=xIR=
5
3
x,
4
3
4
1
1
2
Rt⊿OIH中，OI=IG－OG=x－（x+2x）=x－x.HI=（x－x）.
41
2
2
2
2
3
2
2
3
52
2
3
5
41
x－（x－
2
3
2
33
15x=－5
112
x+x=－（x－
于是RH=IR－IH=3
x）=－5
x+
2
2
2
52
5
5
11121
）+
2
4
40
11
1
1
11
11
当x=时，RH最大.S最大.这时x－2x=×（）－2×=－
55
32
11
.∴点R（,
2
2
4
2
2
4
4
4
⊿ROB
55
－32）
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