面对高考案例二次函数yax2bxc在给定区间上的最大小值问题Word文档下载推荐.doc

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而且利用函数的单调性，可以解决许多的问题，尤其是求函数在某区间上的最值问题。

学生在初中阶段接触最多，而且他们觉得比较难以理解的函数便是二次函数。

在初中阶段，学生熟记二次函数的最值计算公式，可以较快地求出二次函数在定义域R上的最大值或最小值。

但是当函数的定义域改变之后，学生往往对此熟视无睹，不知道定义域发生变化之后对值域会带到什么样的变化。

这说明学生对所背的公式并没有真正意义上的理解，从本质上讲是缺乏一种数形结合的思考问题的方法。

为了培养学生的数形结合的解题意识，也为了学生更好地理解函数单调性的作用，我在上完函数的单调性之后，补充了这样一节探究性的课。

一方面起到扩充知识的作用，提高学生对知识的应用意识；

另一方面重在培养学生的探究意识，培养学生数形结合的思维方法。

[案例]

一、复习函数单调性的概念

①复述函数单调性的概念（学生完成）

②画图并结合你所画出的图象分别说明在某一个闭区间[a、b]（b>

a）上单调的函数其图象变化的趋势。

（分别画出在某一区间[a、b]上递增（减）的函数图象，指出图象的变化趋势）

③结合图象，请指出函数值变化的趋势，你能从中得到一些你认为有价值的结论吗？

从图

（1），f（x）在[a,b]上是增函数，则。

从图

（2），g（x）在[a,b]上是减函数，则。

注：

从图

（1），f（x）在[a,b]上是增函数，则f（a）<

f（b）。

从图

（2），g（x）在[a,b]上是减函数，则g（a）>

g（b）。

从图

（1）可知f（x）在区间[a,b]上的最大值为f（b）,最小值为f（a）;

从图

（2）可知g（x）在区间[a,b]上的最大值为g（a）,最小值为g（b）

所以，学习函数的单调性可以研究函数在某区间上的最大值和最小值。

设计意图：

温故而知新。

在复习旧知识的同时，引导学生思考并发现所学的知识函数单调性的意义和作用，提高学生的求知欲望和知识的应用意识。

二、复习二次函数y=ax2+bx+c在R上的最值

三、数学的应用

例1、求函数y=2x2-3x+5在[-2，2]上的最大值和最小值。

分析：

该问题表述的函数一定区间一定，引

导学生数形结合解决

解:

函数y=2x2-3x+5的

对称轴x=在区间[-2,2]内且靠近区间的右端点,

所以:

当x=时函数有最小值

Ymin=

当x=-2时函数有最大值

Ymax=19

例2、求函数y=-x2-4x+1在[-1,3]上的最大值和最小值。

该问题表述的函数一定区间一定，引导学

生数形结合解决

解：

函数y=-x2-4x+1的对称轴

x=-2在区间[-1，3]的左侧。

因此：

函数在[-1，3]上是单调减函数。

所以：

当x=-1时函数取最大值4，

当x=3时取最小值-20

例3、求函数y=x2+tx（-1的最小值

解题分析：

函数的解析式中含有参数t，而函数图象的对称轴是x=-t/2，对称轴相对于区间[-1,1]位置不定，因此应对t的不同取值进行讨论。

函数y=x2+tx的对称轴是x=-

（1）当对称轴x=-在区间[-1,1]的左侧时,

则-<

-1即t>

2时，

函数在区间[-1,1]上是增

函数。

所以，当x=-1时

y=1–t

（2）当对称轴x=-在区间[-1,1]上时,

则-1-1即

-2t2时，

所以，当x=-时y=-

当对称轴x=-在区间[-1,1]的右侧时,则->

1即t<

-2时，

函数在区间[-1,1]上是减函数。

所以，当x=1时y=1+t

例4求函数y=2x2+x-1在区间[t,t+2]上的最小值

题设所给的函数不变，但区间[t,t+2]含有参数t，函数图象对称轴相对区间[t,t+2]位置不定，因此要对t的取值不同进行讨论。

（利用几何和画板展示各种变化.）

函数y=2x2+x-1的对称轴是x=

（1）当对称轴x=在区间[t,t+2]的左侧时,则t>

此时函数y=2x2+x-1在区间[t,t+2]上是增函数。

所以，当x=t时y=2t2+t-1

（2）当对称轴x=在区间[t,t+2]上时,则tt+2

即t时，

所以，当x=时y=

（3）当对称轴x=在区间

[t,t+2]的右侧时,则t+2<

即t<

时，函数在区间[t,t+2]

上是减函数。

所以，当x=t+2时y=2t2+9t+9

在这个环节设计了两种变化，一种是区间变化，函数图象不变（即对称轴不变）第二种是区间不变，函数图象变化（即对称轴变化）的最值问题。

一开始学生对这两种变化可能无从着手，一下子找不到解题的突破口。

在此我结合现代教育媒体，利用几何画板软件，将这两种变化清晰地反应出来，以启发学生的思考。

最后，在解答完毕之时，就是要让学生意识到这样一点,二次函数在某区间（不管区间是静止也好，变化的区间也好）上的单调性是由它相对于对称轴的位置决定的。

[按例点评]

几何画板能动态地保持图形内在的、恒定不变的关系和规律，在这节课中发挥了很大的作用，我将含参变量a的二次函数用几何画板画出它的图象，给出需要观察的区间，并用移动、跟踪轨迹等功能演示不同a值下的函数图象的连续变化，图象的直观性丰富了学生的想象，通过演示图形的变化得到分类的方法就顺理成章了。

使用计算机辅助教学，因其形象、运算快、图形准确，使传统教学极难突破的教学难点显得轻而易举。

再将问题引申、提高，给学生留下思维的空间，由他们独立解决，也就不难了。

（后附几何画板制作二次函数图象说明）

[教学研究]利用几何画板画二次函数的图象

----1.新建一个绘图，选择菜单栏里的“图表”，鼠标单击“建立坐标轴”。

----2.选择工具栏里的“画点”工具，鼠标指针变成十字形，在坐标轴的横轴上点击一下，画出一个点，确保该点处在被选中状态，选择工具栏里的“标出文本&

标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“C”）。

确保C点处于被选中状态，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“坐标”，得到C点的坐标。

----3.选择工具栏里的“选择&

平移”工具，鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，再选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算…”，出现“计算器”窗口，用鼠标单击“数值”按钮，把鼠标放在“点C”上，选择x，然后用鼠标单击“计算器”窗口里“确定”按钮，这样我们就得到了C点的横坐标的度量值。

如果用鼠标拖动点C的话，你会发现它的横坐标的度量值在随之变化。

----4.下面我们把界面稍微整理一下，用鼠标单击C点的坐标，使它处于被选中状态，然后同时按下Ctrl和H键，把C点的坐标隐藏掉。

再选择工具栏里的“标出文本&

标签”工具，用鼠标双击C点横坐标的度量值，在出现的“度量值格式”窗口里选择“文本格式”，出现两个文本框，将左面文本框内的“X[C]=”改成“x=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。

经过上面的工作，我们已经把二次函数的自变量构造出来了，下面我们再来构造二次函数的系数a、b、c。

系数a、b、c的构造过程是完全一样的，故我们只详细介绍系数a的构造过程。

----5.选择工具栏里的“画点”工具，在坐标轴的横轴上画一个点，选择工具栏里的“标出文本&

标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“D”）。

然后选择工具栏里的“选择&

平移”按钮，按住Shift键，鼠标单击坐标轴的横轴，使D点和坐标轴的横轴同时处于选中状态（如果要选择多个对象，要先按住Shift键，再用鼠标进行选择。

若要取消对某个对象的选择，只需用鼠标再次单击该对象即可），选择菜单栏里的“作图”，鼠标单击“垂线”，这时一条垂直于坐标轴横轴且过D点的直线便被画了出来。

在这条直线上画出一个点，选择工具栏里的“标出文本&

标签”工具，鼠标单击刚画出的点，将显示出该点的“标签”（假设为“E”），鼠标双击该点标签（字母“E”）,在出现的“重设标签”窗口里，将“E”改为“a”，按下“重设标签”窗口的“确定”按钮。

再选择工具栏里的“选择&

平移”工具，鼠标单击刚画出的那条直线，然后同时按下Ctrl和H键，把直线隐藏掉。

选中a点，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“坐标”，得到a点的坐标。

选中a点的坐标，选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算…”，出现“计算器”窗口，用鼠标单击“数值”按钮，把鼠标放在“点a”上，选择y，然后用鼠标单击“计算器”窗口里的“确定”按钮，这样我们就得到了a点的纵坐标的度量值，我们用它作为二次函数的系数a。

----6.下面我们把界面稍微整理一下，把a点的坐标隐藏掉，选择工具栏里的“标出文本&

标签”工具，用鼠标双击a点的纵坐标的度量值，在出现的“度量值格式”窗口里选择文本格式，出现两个文本框，将左面文本框内的“Y[a]=”改成“a=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。

平移”按钮，按住Shift键，鼠标单击a点和D点，使a、D点同时处于选中状态，选择菜单栏里的“作图”，鼠标单击“线段”。

----7.重复5、6步我们可以把系数b、c构造出来。

----8.选择工具栏里的“选择&

平移”按钮，按住Shift键，鼠标单击度量值x、a、b、c（确保别的对象不处于选中状态），选择菜单栏里的“度量”，鼠标单击“计算…”，在出现的“计算器”窗口里，鼠标单击“数值”按钮，选择“a”，鼠标单击“*”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“x”，鼠标单击“^”号按钮，鼠标单击“2”按钮，鼠标单击“+”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“b”，鼠标单击“*”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“x”，鼠标单击“+”号按钮，鼠标单击“数值”按钮，选择“c”，最后按下确定按钮，得到一个新的度量值。

选择工具栏里的“标出文本&

标签”工具，用鼠标双击刚刚得到的度量值，出现“度量值格式”窗口，将左面文本框内的“a*x^2+b*x+c=”改成“y=”，按下“度量值格式”窗口里的“确定”按钮。

----9.选择工具栏里的“选择&

平移”工具，按住Shift键，鼠标单击度量值x、y（注意顺序），选择菜单栏里的“图表”，鼠标单击“绘出（x,y）”，这样构造出一个新的点（如果该点没有出现在屏幕上，可以通过改变C点、a点、b点、c点的位置使它可见），选择工具栏里的“标出文本&

标签”工具，用鼠标单击刚构造出的点，将显示出它的标签（假设为“J”）。

按住Shift键，选中J点和C点，选择菜单栏里的“作图”，鼠标单击“轨迹”后，二次函数的图象便会出现在屏幕上，可以试着拖动a点、b点、c点，观察一下二次函数的图象的变化情况。

如果图象不是很光滑的话，你可以选择菜单栏里的“显示”，然后鼠标单击“参数设置”，在出现的“对象参数选择”窗口里，鼠标单击“其他…”按钮，出现“高级参数选择”窗口，设置“轨迹上的样点数目”为100（最大值为999。

值越大，图象越光滑，但计算机的速度将变慢），按下“高级参数选择”窗口里的“继续”按钮，再按下“对象参数选择”窗口里的“确定”按钮，然后再重新构造轨迹。

----10.下面我们再把界面稍微美化一下，你可以把C点、J点隐藏掉，把D、F、H的标签也隐藏掉。

再选中二次函数的图象，单击鼠标右键，设置它的“线型”为“粗线”，“颜色”为“红色”。

最后你可以用一个画图软件（如Winxp带的“画图”）为你的几何画板程序设计一个标题和操作提示，用剪切板把它们贴到你的几何画板程序中去。

完成的课件如下图所示：

Inthemoderntime,mainlyinsmallandmedium-sizedenterprises,Foshansteelindustryisthespeeddevelopmentbyleapsandbounds,andhavemaderemarkableachievementsinupstream,butalsofacefactorsofproductionsuchasenergy,rawmaterialcost,continuouslyhighindirectlyleadtocostpressuresinironandsteel