考研数三真题与答案解析完整版0001.docx
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考研数三真题与答案解析完整版0001
2013年考研数三真题及答案解析
、选择题1—8小题.每小题4分，共32分.、
1.当x0时，用o（x）表示比x高阶的无穷小，贝y下列式子中错误的是（）
2ox2ox
=33
（A）（）（）
xox（B）o（x）o（x）（）
（Co（x2）o（x2）o（x2）（Do（x）o（x2）o（x2）
2xoxgxxox
332
如当x0时（）（）,（）（）
2
o（x）故应该选
xx0
x
x1xlnx
limf（x）limlimx1x（x1）lnx2ln1xx
所以所以x1不是函数f（x）的
limf（x）limlimx
（1）ln
1x（x1）lnxxx1x1
可去间断点.故应该选（C.
3.设
D是圆域D（x,y）|x1k
2y2
的第k象限的部分，记
lk（yx）dxdy，则Dk
（A）0
I（BI20（CI30（DI401
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
k1
1=ff
k（yx）dxdy2d（sincosrdr（sinsin）
21
-J
0）_
——n
（k1）3
D2|=
sincos
4,
所以I1I0,I2,I
H3
V
|
21乂
」*
22=
应该选（B）.
33
4.设a为正项数列，贝y下列选择项正确的是（）
1）n
n1
D正确，故应选（D）.
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（
此小题的（A（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A）,但少
条件limaO，显然错误.而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件丿
n
n
则可知（1,2,,）一一一
ibi1bibinnin，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的
122
列向量组线性表示.同时由于B可逆，即
ACB同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵
C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价.应该选（B）.
1a1200
6.矩阵abaObO相似的充分必要条件是与矩阵
lalOOO
（A）a0,b2（B）aO,b为任意常数
（Ca2占0（Da2,b为任意常数
2001a1200
与矩阵
【详解】注意矩阵0b0是对角矩阵，所以矩阵A=aba0b0相
0001a1000
似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等./.--
1a1
=7'2bba十‘上
（2）22
z.
EAaba（
1a1
从而可知2b2a22b，即a0,b为任意常数，故选择（B）.
22
PP2X2,贝y
PRR,B）P2PR
7
PP13
（1）23
（1）0.
2
.*-
3
尸—
故选择（A）.
8设随机变量X和丫相
X0123P
扌互独立，且X和丫的概率
莖分布分别为
{*P1/21/4^/81/8
Y-101
P1/31/31/3
贝yPXY2（）
12
（B）1
8
（C1
6
（D）1
2
【详解】
1224246
PXY2RX1,YJPX2YOpX3,Y1
故选择（0.
、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把
答案填在题中横线上）
nn2
limnFlim2f+n2n
；.n
10.设函数zzx,y是由方程zyxy
【详解】
设Fxyzzyxy
，，（）
n22n
x
z
确定，则|（1,2）
x
xx1
FxX,yzzyzyyFxyzxzy,
I,（）l）,（,n,）（）（二
当x1,y2时，z0，所以|（1,2）22ln2
lnx
■*-_<亠一匚
•+
11.dx
1
（1）
ri
x
【详解】
l1ln2
Inx1lnx1
dxlnxd|dxln
12x
（1x1x1x1（x（1J）1x）
12.微分方程0yyy的通解为.
1
r，两个特征根分别为
【详解】方程的特征方程为0
解为2
y（CiCx）e，其中
2
13.设Aa是三阶非零矩阵，A为其行列式，Aj为元素aij的代数余子式，且满足ij
Aaij0（i,j1,23），贝UA=
【详解】由条件
+—
Aja0（i,j1,2,3）
AA其
T
4-
可知*0
中A*为A的伴随矩阵，从ij
而可知
A
*AAA
*T31
所以
A可能为1或_0.
n,r（A）n
r（A）1,r（A）n1可知，AA*0可知r（A）r（A*），伴随矩阵的秩只
==0,r（A）n1
能为3,所以A1.
14.设随机变量
X服从标准正分布X~N（0,1），则
EX『.
【详解】匸
1xe=2x2I'广Vxeeedx（x22）e
2dx
、解答题
15.（本题满分10分）
当x0时，1cosxcos2xcos3x十与
丄
ax
n
是等价无穷小，求常数
a,n.
【分析】主要是考查
x0时常见函数的马克劳林展开式.
2ox2
【详解】当
cxo1sx,
x0时,
（）
cos2
2
2oxxox
x1（2x）（）12（）
2
19
2ox2x2ox
cos3x1（3x）（）1（）
22
所以
1cosxcos2xcos3x1（1
1
22ox2xoxxoxxox
222222
由于1cosxcos2xcos3x与
16.（本题满分10分）
x（））（12（））（1（））7（
n
ax是等价无穷小，所以
a7,n2.
Vx,Vy分别是D绕x3x
设D是由曲线y，—直线xa（a0）及x轴所转成的平面图形,
~3^
-二1aa二江（
25
•32*
33
Vxydxxdxa;
00
=7TJ=
4i
■k
5
47
Vaa-
33
【详解】由微元法可知
:
T
y2xf（x）dx2xdxa
07
=0
由条件10VV知a77.y
416
18.（本题满分10分）
1000
【详解】
是单价，单位：
元，Q是销量，单位：
件），已知产销平衡，求:
（1）该的边际利润润-—
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义.
（3）使得利润最大的定价
【详解】
（1）设利润为y,则6000yPQ（600020Q）40Q,
li
边际利润为y'40.
500
（2）当P=50时，Q=10000,边际利润为20.
经济意义为：
当P=50时，销量每增加一个，利润增加
20000
（3）令y'0，得40.
Q20000,P60
证明
1000019.（本题满分10分）
设函数fx在［0,）上可导，fOO，且limf（x）2
（1）存在aO,使得fa1;
（2）对
（1）中的a,存在（0,a），使得
1
f'（）•
a
【详解】
证明
（1）由于limf（x）2，所以存在XP，当xX时，有
又由于fx（在*0,）上连续，且f00，由介值定理，存在a0，使得fa1;"
（2）函数fx■在\0,a]上可导，由拉格朗日中值定理，
所有矩阵C.
【详解】
程组的增广矩阵进行初等行变换如下
01a0010111
a10a101a00
A|b,
1011100001a
0Ja0b0000b
10111
所以，当a1,b0时，线性方程组有解，即存在矩阵C使得ACCAB
（H
01100
此时，A|b，
00000
00000
x010
3
x001
4
1GCC+一
121
G1,C2为任意常数...
GG
12
21.（本题满分
11分）
设二次型
22
f（x1,X,x）2（axaxax）（bxbxbx）
23112233112233
.记
3=a
1
a
2
a
3
b
1
b
2
b
3
（1）证明二次型
f对应的矩阵为
2Tt;
（2）若,正交且为单位向量，证明
f在正交变换下的标准形为
22
2yy2
【详解】证明：
（1）
f（x.x,x）3=2（ax11
2x,x
12
a）x
22
a
1-
xa
32
t矽
3
ax
33
a,a,a1
23
r
）鋼1W2x2
x
1
x
2
x
3
x,x,
1
X，1
X，2
X，1
X1
X2
cTT
证明
（2）设A
P=（act
aaTTPP
2.
TTT+昭，由于=10a2T
TT
则222
A,所以为矩阵对应特征值12
的特征
向量;
A22,所以为矩阵对应特征值21
的特征向
量;
bjx）（
3『3
b
1
xb
32
b
3
x
1
Gt
b1
x
1
bx
232
x
3
x
2
x
3
TTrrT
而矩阵A的秩（）
（2）
（2）（）2
rAr，所以30也是矩阵的
个特征值.
故f在正交变换下的标准形为
22
2%
22.（本题满分11分）
2x
设X,丫是二维随机变量，X的边缘概率密度为
=<3x,01fx（x）,在给定
0,
Xx（0x1）的条件下，丫的条件概率密度为
其他
<<
Oyx,
（1）求X,丫
的联合概率密度fx,y;
（2）丫的的边缘概率密度f（y）
【详解】
（1）X,Y的联合概率密度fx,y:
fx,yf（y/x）f$X
丫
lX
=<*
（x）
-C
（2）丫的的边缘概率密度
f（y）
Y:
fY（y）f（x,y）dxy
91
9y
2如9卫
y>-ln
23.（本题满分11分）
6
设总体X的概率密度为
f（x；）3
h
II
f^y/x）.
（3
0,
其他
2
9y
x
0,
y,o
0
x1,0y
卓他
x
0,
X1X2,X为来自总体X的简单随机样本.
（1）求的矩估计量
x
e,x0
0,
其他
其他
，其中为为未知参数且大于零，
（2）求的极大似然估计量.
【详解】
（1）先求出总体的数学期望
E（X）
x,E（X）xf（x）dxedx
i1Xi
令
E（X）XX，得的矩估计量
n
n1
（2）当xO（i12n）
i时，似然函数为
取对数，e
（）2nln3lnx
n22n
L0二n一
（）ee,
nn
1
33
x
x
■
i
i1
n
-6J1
i1i
dlnL（）
令0
d
2n1
，得0
xi1ii1n
解得的极大似然估计量为.
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