二重积分部分练习题.docx

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二重积分部分练习题

题目部分，（卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分）一、选择（16小题,共53.0分）（2分）［1］

（3分）［2］二重积分xydxdy（其中D：

0≤y≤x,0≤x≤1）的值为D

（A）1（B）1（C）1（D）1

61224

答（）（3分）[3]若区域D为0≤y≤x2,|x|≤2,则xy2dxdy=

A）0；（B）32（C）64（D）256

答（）

f是区域D：

|x|+|y|

（3分）［4］设D1是由ox轴，oy轴及直线x+y=1所圈成的有界闭域，≤1上的连续函数，则二重积分

f（x2,y2）dxdyf（x2,y2）dxdy

DD1

（A）2（B）4（C）8（D）1

答（）

（3分）[5]设f（x,y）是连续函数，则二次积分

1y12y21

（A）0dy1f（x,y）dx1dy1f（x,y）dx

1y1

（B）0dy1f（x,y）dx

精心整理

次积分为

0x20x2

（A）1dxxf（x,y）dy（B）1dxxf（x,y）dy1y21y2

（C）0dyyf（x,y）dx（D）0dyyf（x,y）dx答（）

（3分）[7]设f（x,y）为连续函数，则二次积分1dy132yf（x,y）dx可交换积分次序为02y

12x33x

（A）0dx0f（x,y）dy1dx0f（x,y）dy

12x2133x2

（B）02dx0f（x,y）dy1dx0f（x,y）dy2dx0f（x,y）dy

002020

13x2

（C）0dx2xf（x,y）dy

（D）2d2cosf（rcos,rsin）rdr

0sin2

答（）

（3分）[8]设f（x,y）为连续函数，则积分可交换积分次序为

1y22y

（A）0dy0f（x,y）dx1dy0f（x,y）dx

1x222x

（B）0dy0f（x,y）dx1dy0f（x,y）dx

12y

（C）0dyyf（x,y）dx

12x

（D）0dyx2f（x,y）dx

答（）

（4分）[9]若区域D为（x－1）2+y2≤1,则二重积分f（x,y）dxdy化成累次积分为

2cos2cos

（A）0d0F（r,）dr（B）d0F（r,）dr

2cos2cos

（C）2d0F（r,）dr（D）202d0F（r,）dr

其中F（r,θ）=f（rcosθ,rsinθ）r.精心整理

精心整理

答（）

（3分）[10]若区域D为x+y2≤2x，则二重积分（xy）x2y2dxdy化成累次积分为

2cos

（A）2d（cossin）2rcosrdr

2cos3

（B）（cossin）drdr

2cos

（C）2（cossin）drdr

2cos

（D）2（cossin）dr3dr

答（）

（4分）[11]设I1[ln（xy）]dxdy,I2（xy）7dxdy,I3sin7（xy）dxdy其中D是由

DDD

x=0,y=0,xy1,x+y=1所围成的区域，则I1，I2，I3的大小顺序是（A）I1

（C）I1

答（）

（5分）[12]设Id2xdy2，则I满足

xy11cosxsiny

精心整理

（3分）[14]设有界闭域D1与D2关于oy轴对称，且D1∩D2=,f（x,y）是定义在D1∪D2上的连续函数，则二重积分

（A）2f（x2,y）dxdy（B）4f（x2,y）dxdy

D1D2

212

（C）4f（x2,y）dxdy（D）2f（x2,y）dxdy

D12D2

答（）

（3分）[15]若区域D为|x|≤1,|y|≤1,则xecos（xy）sin（xy）dxdy

－1

（A）e;（B）e－1;

（C）0;（D）π.

答（）

（4分）[16]设D：

x2+y2≤a2（a>0）,当a=时，a2x2y2dxdy.

3331

（C）4（D）2

答（）

二、填空（6小题,共21.0分）

（4分）[1]设函数f（x,y）在有界闭区域D上有界，把D任意分成n个小区域Δσi（i=1,2,⋯,n）,在每一个小区域Δσi任意选取一点（ξi,ηi）,如果极限

lim0f（i,i）i（其中入是Δσi（i=1,2,⋯,n）的最大直径）存在，则称此极限值为

的二重积分。

（4分）[2]若D是以（0，0），（1，0）及（0，1）为顶点的三角形区域，由二重积分的几何意义知（1xy）=.

（3分）[3]设D:

0ya2x2,0x0，由二重积分的几何意义知精心整理

精心整理

a2x2y2dxdy.

（3分）[4]设D：

x2+y2≤4,y≥0,则二重积分

sin（x3y2）d。

（4分）[5]设区域D是x2+y2≤1与x2+y2≤2x的公共部分，试写出f（x,y）dxdy在极坐标

系下先对r积分的累次积分_3d2cosF（r,）dr3d1F（r,）dr2d2cosF（r,）dr_.

20303

（3分）［6］设D：

0≤x≤1,0≤y≤2（1－x）,由二重积分的几何意义知

三、计算（78小题,共331.0分）

（3分）［1］设f（x,y）为连续函数，交换二次积分的积分次序。

（3分）［2］设f（x,y）为连续函数，交换二次积分的积分次序。

（3分）［3］设f（x,y）为连续函数，交换二次积分的积分次序。

（3分）［4］设f（x,y）为连续函数，交换二次积分的积分次序。

（4分）［5］计算二重积分其中D：

0≤y≤sinx,0≤x≤π.

（3分）［6］计算二重积分

其中D是由曲线y=x2,直线y=0,x=2所围成区域

（3分）［7］计算二重积分

其中D为由y=x,y=2x,x=4所围成的区域。

精心整理

（3分）［8］计算二重积分其中D：

x≤y≤x,1≤x≤2.

（3分）［9］计算二重积分

其中D是由直线x=0,y=π和y=x围成的区域。

（4分）［10］计算二重积分

其中D是由直线y=x,y=x+1,y=1及y=3所围成的区域。

（3分）［11］计算二重积分

其中D:

0x,1y1

（3分）［12］计算二重积分

其中D为由y=x,x=0,y=1所围成的区域。

（3分）［13］计算二重积分

其中D是由直线y=x,y=5x及x=1所围成的区域。

（3分）［14］计算二重积分

其中D是由双曲线y1，直线y=x及x=2所围成的区域x

（3分）［15］计算二重积分

其中D是由直线y=2x,y=x,x=2及x=4所围成的区域。

（3分）［16］计算二重积分其中D：

|x|+|y|≤1.

（3分）［17］计算二重积分其中D：

|x|+|y|≤1.

（4分）［18］计算二重积分其中D:

1yx,1x2

（4分）［19］计算二重积分精心整理

精心整理

其中D是由直线y=x,y=x+a,y=a及y=3a（a>0）所围成的区域。

（4分）［20］计算二次积分

（4分）［21］计算二重积分其中D是由y=x,xy=1,x=3所围成的区域。

（4分）［22］计算二重积分其中D是由y=2,y=x,y=2x所围成的区域。

（4分）［23］计算二重积分

其中D是由曲线x1y,y=1－x及y=1所围成的区域。

（4分）［24］计算二重积分

其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。

（4分）［25］计算二重积分其中D为与x=0所围成的区域。

（4分）［26］计算二重积分

其中D是由抛物线y21x2及直线y=x+4所围成的区域。

（4分）［27］计算二重积分其中D为由y=x,y=0,x=1所围成的区域。

（4分）［28］计算二重积分其中D是由曲线xy=1,y=x2与直线x=2所围成的区域。

（5分）［29］计算二重积分

其中D是由x=0,y2,y=x所围成的区域。

（4分）［30］计算二重积分其中D：

0≤y≤sinx,.

精心整理

（5分）［31］计算二重积分其中D：

0≤y≤2.

（4分）［32］计算二重积分

其中D是由抛物线yx及y=x2所围成的区域。

（4分）［33］计算二重积分

其中D:

x2y21

a2b2

（4分）［34］计算二重积分

其中D:

2xy11x2,0x1

（5分）［35］计算二重积分

其中D:

acosra,0（a0）

24x2

（4分）［36］利用极坐标计算二次积分2dx0x2y2dy

（5分）［37］利用极坐标计算二重积分其中D：

1≤x2+y2≤4,y≥0,y≤x.

（4分）［38］利用极坐标计算二重积分

其中D：

a2≤x2+y2≤1,x≥0,y≥0,a>0,x=0处广义。

（5分）［39］试求函数f（x,y）=2x+y在由坐标轴与直线x+y=3所围成三角形内的平均值。

（6分）［40］试求函数f（x,y）=x+6y在由直线y=x,y=5x和x=1所围成三角形内的平均值。

（4分）［41］由二重积分的几何意义，求

（4分）［42］计算二重积分其中D：

x2+y2≤2及x≥y2.

原式=

精心整理

其中D是第一象限中由y=x和y=x3所围成的区域。

（4分）［44］计算二重积分

其中D：

x2+（y－1）2≥1,x2+（y－2）2≤4,y≤2,x≥0.

（5分）［45］计算二重积分

其中D：

x2+y2≤5,x－1≥y2.

（5分）［46］计算二重积分

其中D是由（x－2）2+y2=1的上半圆和x轴所围成的区域

（4分）［47］计算二重积分

其中D是由直线x=0,y=1及y=x所围成的区域。

（3分）［48］计算二重积分

其中D：

x2+y2≤R2.

（5分）［49］计算二重积分

其中区域D1x2,xyx

（4分）［50］计算二重积分

其中D是由直线x=2,y=x和双曲线xy=1所围成的区域。

（4分）［51］计算二重积分

其中D：

x2+y2≤a2,y≥0.

（5分）［52］计算二重积分

其中D：

x2y21

（5分）［53］计算二重积分

其中D为由y=0,x=1,y=2x围成的区域。

精心整理

其中D是由y=ln2,y=ln3,x=2,x=4所围成的区域。

（5分）［55］计算二重积分

其中D是由抛物线y2=2px和直线x=p（p>0）所围成的区域。

（6分）［56］计算二重积分

D是由抛物线y=x2和y2=x所围成的区域。

（6分）［57］计算二重积分

其中D是由抛物线y=（x≥1）和直线y=x,y=2所围成的区域。

（5分）［58］计算二重积分

其中D是以O（0，0），A（10，1）和B（1，1）为顶点的三角形区域。

（5分）［59］计算二重积分

其中D是由x=1,y=x3,y=所围成的区域。

（8分）［60］计算二重积分

其中D是以O（0，0），A（1，－1）和B（1,1）为顶点的三角形区域。

（3分）［61］计算二重积分

其中D是由y=x,y=0,x=1所围成的区域。

（4分）［62］计算二重积分

其中D是由y=x2,y=0,x=1所围成的区域。

（5分）［63］计算二重积分

其中D：

x2+y2≤4,x≥0,y≥0.

（5分）［64］计算二重积分

其中D：

x2+y2≥2x,x2+y2≤4x.

（5分）［65］计算二重积分

其中D：

x2+y2≤2x.

精心整理

（4分）［66］利用极坐标计算二重积分其中D：

π2≤x2+y2≤4π2（4分）［67］计算二重积分其中D：

x2+y2≤1,x≥0,y≥0.

（7分）［68］设区域D：

x2+y2≤a2（a>0）,计算二重积分

当x0,y0

其它点

22ex2y2其中f（x,y）e0

（4分）［69］利用极坐标计算二重积分其中D：

x2+y2≤a2,x≥0,y≥0.（a>0）

（3分）［70］利用极坐标计算二重积分其中D：

1≤x2+y2≤8.

（3分）［71］计算二重积分其中D：

x2+y2≤4.

（5分）［72］计算二重积分其中D：

x2+y2≥1,x2+y2≤2x,y≥0.

（5分）［73］计算二重积分xyex2y2d，其中区域D为x2+y2≤1在第一象限部分。

（5分）［74］将二重积分f（x,y）d化为在极坐标系中先对r积分的累次积分，其中D：

≤x≤,0≤y≤1.

（6分）［75］利用极坐标计算二重积分其中D：

x2+y2≤2x,x2+y2≥x.

（5分）［76］计算二重积分

其中D：

y≤x≤16y2,0≤y≤22,y≥0.

（6分）［77］计算二重积分

精心整理

其中D：

x2+y2≤R2（R>0）,x≥0,y≥0.

（5分）［78］利用极坐标计算二重积分

其中D：

1≤x2+y2≤4,x≥0,y≥0.

====================答案====================答案部分，（卷面共有100题,405.0分,各大题标有题量和总分）

一、选择（16小题,共53.0分）

（2分）［1］［答案］

（3分）［2］［答案］

（3分）［3］［答案］

（3分）［4］［答案］

（B）.

（3分）［5］［答案］

（C）.

（3分）［6］［答案］

（3分）［7］［答案］

（3分）［8］［答案］

（4分）［9］［答案］

精心整理

（3分）［10］［答案］

（4分）［11］［答案］

（5分）［12］［答案］

（4分）［13］［答案］

（3分）［14］［答案］（A）.

（3分）［15］［答案］

（4分）［16］［答案］B.

二、填空（6小题,共21.0分）

（4分）［1］［答案］函数f（x,y）在D上

（4分）［2］［答案］（3分）［3］［答案］

πa（3分）［4］［答案］0.精心整理

精心整理

（4分）[5][答案]

记F（r,θ）=f（rcosθ,rsinθ）r,

（3分）[6][答案]

三、计算（78小题,共331.0分）（3分）[1][答案]原式=0dxxf（x,y）dy1dxxf（x,y）dy

（3分）[2][答案]

2y42原式=dy1f（x,y）dxdy1f（x,y）dx

02y22y

（3分）[3][答案]

0x2

原式=1dxx22f（x,y）dy

（3分）[4][答案]

1ey原式=0dy1yf（x,y）dx

（4分）[5][答案]原式（3分）［6］［答案］原式

（3分）［7］［答案］原式

（3分）［8］［答案］原式

（3分）［9］［答案］原式

（4分）［10］［答案］

精心整理

原式

（3分）［11］［答案］

原式

（3分）［12］［答案］

原式

或解原式

（3分）［13］［答案］

原式

（3分）［14］［答案］

原式

（3分）［15］［答案］

原式

（3分）［16］［答案］

原式

（3分）［17］［答案］

原式

（4分）［18］［答案］

原式

（4分）［19］［答案］

原式

（4分）［20］［答案］原式

（4分）［21］［答案］精心整理

精心整理

原式（4分）[22][答案]

原式

（4分）[23][答案]

原式

（4分）[24][答案]

原式

（4分）[25][答案]

原式

（4分）[26][答案]

原式

（4分）[27][答案]

原式

（4分）[28][答案]

交点为（1,1）2,1（2,4）

原式

（5分）[29][答案]

原式

（4分）[30][答案]

原式

（5分）[31][答案]

原式

精心整理

（4分）[32][答案]

交点为（0，0），（1，1）

原式

（4分）[33][答案]

由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上积分的4倍，在第一象限|y|=y.

原式

（4分）[34][答案]

原式

（5分）[35][答案]

原式

（4分）[36][答案]

原式

（5分）[37][答案]

原式

（4分）[38][答案]

原式

（5分）[39][答案]

而D的面积=9

∴所求平均值=3.

（6分）[40][答案]

精心整理

15x

f（x,y）dxdydx（xby）dyD

122

∵（4x272x2）dx

3而D的面积∴所求平均值=122

（4分）[41][答案]

原式=1x2y2dxdy

x2y21x2y21

（4分）[42][答案]

（3分）[43][答案]

（4分）[44][答案]

（5分）[45][答案]交点为（2，1）与（2，－1）（5分）[46][答案]

（4分）[47][答案]

（3分）[48][答案]原式=Ry2dyR2y2x3dx

∴积分为零故原式=0.

（5分）[49][答案]

精心整理

2xx

1dxx222dy

12xy

原式=

1（arctan）dxarctan1ln8

254

（4分）[50][答案]

（4分）[51][答案]

（5分）[52][答案]

由对称性知，此积分等于D域位于第一象限中的部分D1上的积分的4倍，在第一象限|x|=x.

（5分）[53][答案]

（5分）[54][答案]

（5分）[55][答案]

（6分）[56][答案]（6分）[57][答案]

（5分）[58][答案]

（5分）[59][答案]

（8分）[60][答案]

（3分）[61][答案]

（4分）[62][答案]

（5分）[63][答案]

（5分）[64][答案]（5分）[65][答案]

（4分）[66][答案]

精心整理

原式=dsinr2rdr

22=π（cosπ2－cos4π2）.

（4分）[67][答案]

（7分）[68][答案]

（4分）[69][答案]

（3分）[70][答案]

（3分）[71][答案]

（5分）[72][答案]

（5分）[73][答案]

（5分）[74][答案]

3secces

原式=6df（rcos,rsin）rdr2df（rcos,rsin）rdr

（6分）[75][答案]

（5分）[76][答案]

（6分）[77][答案]

（5分）[78][答案]

用直线xi,yj（i,j=0,1,2,⋯,n－1,n）把矩形D：

0≤x≤1,0≤y≤1分割成一系列小正nn

方形，则二重积分xydxdy

答（）

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