第5节 共点力的平衡.docx
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第5节共点力的平衡
第5节 共点力的平衡
核心素养
物理观念
科学思维
科学态度与责任
1.物体的平衡状态及二力平衡条件。
2.理解物体在共点力作用下的平衡条件。
能应用“力的合成法、分解法、正交分解法”等方法解决实际的平衡问题。
能用共点力的平衡条件，分析生产生活中的实际问题。
知识点 共点力平衡的条件
1.平衡状态：
物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态。
我们就说这个物体处于平衡状态。
2.平衡条件：
在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0，即F合＝0。
[思考判断]
（1）共点力一定作用于物体上的同一点。
（×）
（2）作用于同一物体上的所有力都是共点力。
（×）
（3）物体的加速度a＝0，则物体一定处于静止状态。
（×）
（4）物体的速度很大，则F合很大。
（×）
（5）某时刻物体的速度为零时，物体一定处于平衡状态。
（×）
（6）沿光滑斜面下滑的物体处于平衡状态。
（×）
物体瞬时速度为零时，不一定处于平衡状态。
例如，竖直上抛的物体运动到最高点时，这一瞬时速度为零，但这一状态不可能保持，因而不能称为静止。
核心要点
共点力的平衡条件的理解
[观察探究]
如图
所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上，它受哪些力作用？
这些力大小、方向有何关系？
它们的合力有何特点？
答案 受重力和支持力。
重力方向竖直向下、支持力方向竖直向上，二力等大、反向，合力为零。
[探究归纳]
1.两种平衡情形
（1）物体在共点力作用下处于静止状态。
（2）物体在共点力作用下处于匀速直线运动状态。
2.平衡条件的表达式
F合＝0
3.由平衡条件得出的三个结论
[试题案例]
[例1]如图所示，质量为m的物块静止于斜面上，逐渐增大斜面的倾角θ，直到θ等于特定值φ时，物块达到“欲动未动”的临界状态，此时的摩擦力为最大静摩擦力，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求物块与斜面间的动摩擦因数μ。
解析 物块m受力平衡，则有FN－mgcosφ＝0，Fmax－mgsinφ＝0。
又Fmax＝μFN，解得μ＝tanφ。
答案 tanφ
[针对训练1]一建
筑塔吊如图所示向右上方匀速提升建筑物料，若忽略空气阻力，则下列有关物料的受力图正确的是（ ）
解析 由题意可知，物料匀速运动，合力为零，对物料受力分析知，拉力T与重力mg平衡，故选项A、B、C错误，D正确。
答案 D
核心要点
静态平衡问题
[要点归纳]
处理静态平衡问题的方法
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反
效果
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交
分解法
物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件，即Fx合＝0，Fy合＝0
矢量三角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理等数学知识求解未知力
[试题案例]
[例2]在科学研究中，
可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图所示。
仪器中一根轻质金属丝悬挂着一个金属球。
无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度。
风力越大，偏角越大。
通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力。
那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？
（重力加速度为g）
解析 选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示。
金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零。
可用以下四种方法求解。
法一 力的合成法
如图乙所示，风力F和拉力FT的合力与重力等大反向，由平行四边形定则可得F＝mgtanθ。
法二 效果分解法
重力有两个作用效果：
使金属球抵抗风的力和使金属丝拉紧，所以可以将重力沿水平方向和金属丝的方向进行分解，如图丙所示，由几何关系可得F＝F′＝mgtanθ。
法三 正交分解法
以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系，如图丁所示。
由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即
Fx合＝FTsinθ－F＝0
Fy合＝FTcosθ－mg＝0
解得F＝mgtanθ。
法四 矢量三角形法
三个力首尾相连构成一个直角三角形，如图戊所示，由三角函数可求得
F＝mgtanθ。
由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关。
因此，偏角θ的大小就可以指示出风力的大小。
答案 F＝mgtanθ
方法凝炼 分析平衡问题的基本思路
（1）明确平衡状态（合力为零）。
（2）巧选研究对象。
（3）受力分析（画出规范的受力分析图）。
（4）列平衡方程（灵活运用力的合成法、效果分解法、正交分解法、矢量三角形法及数学解析法）。
（5）求解或讨论（解的结果及物理意义）。
[针对训练2]如图所示，光滑半球形容器固
定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点。
设滑块所受支持力为FN，OP与水平方向的夹角为θ。
下列关系正确的是（ ）
A.F＝
B.F＝mgtanθ
C.FN＝
D.FN＝mgtanθ
解析 对小滑块进行受力分析，
如图所示，将FN沿水平方向和竖直方向进行分解，根据平衡条件列方程。
水平方向有FNcosθ＝F
竖直方向有FNsinθ＝mg
联立解得F＝
，FN＝
答案 A
核心要点
动态平衡问题
[要点归纳]
1.动态平衡问题的特点
通过控制某一物理量，使其他物理量发生缓慢变化，而变化过程中的任何一个状态都看成是平衡状态。
2.处理动态平衡问题常用的方法
（1）解析法：
对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出应变量与自变量的一般函数式，然后依据自变量的变化确定应变量的变化（也叫代数法）。
（2）图解法：
就是对研究对象进行受力分析，根据力的平行四边形定则或力的三角形定则画出不同状态时的力的矢量图（画在同一个图中），然后依据有向线段（表示力）的变化判断各个力的变化情况。
[试题案例]
[例3]如图所示，
在倾角为θ的光滑斜面上有一光滑挡板A，在挡板和斜面之间夹一质量为m的重球B，开始板A处于竖直位置，现使其下端绕O沿逆时针方向缓缓转至水平位置，分析重球B对斜面和对挡板压力的变化情况是（ ）
A.对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力也逐渐减小
B.对斜面的压力逐渐变大，对挡板的压力则逐渐减小
C.对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先变小后变大
D.对斜面的压力逐渐减小，对挡板的压力先变大后变小
解析 分析球的受力，
受到重力mg、挡板对球的弹力FA及斜面对球的支持力FB，如图所示，球处于静止状态，弹力FA与FB的合力F的大小等于重力的大小，方向竖直向上。
当挡板下端绕O沿逆时针方向缓慢转至水平位置的过程中，可以看出表示弹力FA的边的长度先变小后变大，即弹力FA
先变小后变大；表示支持力FB的边的长度一直变短，即说明FB一直变小。
由牛顿第三定律可知，球对挡板的压力先变小后变大，对斜面的压力逐渐减小。
选项C正确。
答案 C
方法凝炼 图解法的应用
（1）在合力与两分力构成的三角形中，一个是恒力，大小、方向均不变；另两个是变力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均改变的力。
（2）分析方向变化的力在哪个空间内变化，借助力的矢量三角形，利用图解法判断两个变力大小、方向的变化。
（3）由图解法可知，当大小、方向都可变的分力（设为F1）与方向不变、大小可变的分力垂直时，F1有最小值。
[针对训练3]（多选）如图所示，用一根细线系住重力为G、半径为R的球，其与倾角为α的光滑斜劈接触，处于静止状态，球与斜面的接触面非常小，细线悬点O固定不动，将斜劈从图示位置缓慢水平向左移动直至细线与斜面平行的过程中，下述说法正确的是（ ）
A.细线对球的拉力先减小后增大
B.细线对球的拉力先增大后减小
C.细线对球的拉力一直减小
D.细线对球的拉力最小值等于Gsinα
解析 以球为研究
对象，对其受力分析如图所示，因题中“缓慢”移动，故小球处于动态平衡，由图知在题设的过程中，FT一直减小，当细线与斜面平行时，FT与FN垂直，FT有最小值，且FTmin＝
Gsinα，选项C、D正确。
答案 CD
1.（对共点力的理解）（多选）关于共点力，下列说法中正确的是（ ）
A.作用在一个物体上的两个力，如果大小相等，方向相反，这两个力是共点力
B.作用在一个物体上的两个力，如果是一对平衡力，则这两个力是共点力
C.作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用点不在同一点上，则这几个力可能是共点力
D.作用在一个物体上的几个力，如果它们的作用线可以交于一点，则这几个力是共点力
解析 作用在一个物体上的几个力，如果作用在物体的同一点，或者虽不作用在物体的同一点，但力的作用线交于一点，则这几个力是共点力，所以选项C、D均正确；大小相等、方向相反的力不一定是共点力，但一对平衡力必在同一条直线上，是共点力，选项A错误，B正确。
答案 BCD
2.（共点力的平衡）如图所示的几种情况中，不计绳、弹簧测力计、各滑轮的质量，不计一切摩擦，物体质量都为m，且均处于静止状态，有关角度如图所示。
弹簧测力计的示数FA、FB、FC、FD由大到小的排列顺序是（ ）
A.FB＞FD＞FA＞FCB.FD＞FC＞FB＞FA
C.FD＞FB＞FA＞FCD.FC＞FD＞FB＞FA
解析 由平衡条件知FA＝mgsin45°＝
mg，FB＝mg，FC＝mgsin30°＝
，
FD＞mg，所以FD＞FB＞FA＞FC，选项C正确。
答案 C
3.（共点力的平衡）
一质量为m的物块静止在倾角为θ的斜面上，现对物块施加一个垂直于斜面向下的恒力F，如图所示，物块仍保持静止。
则物块（ ）
A.受到的支持力不变B.受到的支持力减小
C.受到的摩擦力不变D.受到的摩擦力减小
解析 以物块为研究对象，在未施加F之前，处于静止状态，根据力的正交分解可得物块受到的支持力FN＝mgcosθ，物块受到的摩擦力Ff＝mgsinθ；在施加F之后，物块仍处于静止状态，根据共点力平衡以及力的正交分解可得：
物块受到的支持力FN′＝mgcosθ＋F，受到的摩擦力Ff′＝mgsinθ，故物块受到的支持力增大，受到的摩擦力不变，C正确。
答案 C
4.（共点力的动态平衡）
（多选）如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态。
把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则（ ）
A.B对墙的压力增大
B.A与B之间的作用力减小
C.地面对A的摩擦力减小
D.A对地面的压力减小
解析 对圆球B受力分析，作出受力的平行四边形如图所示。
A滑动前，圆球B受墙及A的弹力的合力G′与重力大小相等，方向相反，如图中实线所示；而将A向右平移少许后，B受A的弹力FAB的方向将顺时针转动，如图中虚线所示，但B仍受力平衡，由图可知A对圆球B的弹力及墙对圆球B的弹力均减小，故A错误，B正确；以A、B为整体分析，水平方向上受墙的弹力和地面的摩擦力而处于平衡状态，弹力减小，故摩擦力减小，故C正确；竖直方向上受重力及地面的支持力，A和B的重力均不变，故A对地面的压力不变，故D错误。
答案 BC
基础过关
1.物体在共点力作用下，下列说法中正确的是（ ）
A.物体的速度在某一时刻等于零，物体就一定处于平衡状态
B.物体相对另一物体保持静止时，物体一定处于平衡状态
C.物体所受合力为零，就一定处于平衡状态
D.物体做匀加速直线运动时处于平衡状态
解析 某一时刻速度为零的物体，受力不一定为零，故不一定处于平衡状态，选项A错误；物体相对于另一物体静止时，该物体不一定静止，如当另一物体做变速运动时，该物体也做变速运动，此物体处于非平衡状态，故选项B错误；选项C符合平衡条件的判断，故选项C正确；物体做匀加速直线运动，不是处于平衡状态，选项D错误。
答案 C
2.长木板上有一木块，如图所示，当长木板的倾角θ逐渐增大时（ ）
A.如果木块一直静止于长木板上，则木块所受重力和支持力的合力逐渐增大
B.如果木块一直静止于长木板上，则木块所受重力、支持力和静摩擦力的合力逐渐增大
C.如果木块一直静止于长木板上，则木块所受重力和静摩擦力的合力逐渐增大
D.如果θ从0°一直增大到90°，则木块所受的摩擦力一直增大
解析 如果木块一直静止于长木板上，木块所受重力和支持力的合力等于摩擦力的大小，合力为零，摩擦力Ff＝mgsinθ，θ增大时，Ff逐渐增大，A正确，B错误；木块所受重力和静摩擦力的合力等于支持力的大小，支持力FN＝mgcosθ，故逐渐变小，C错误；如果θ从0°一直增大到90°，则木块所受的静摩擦力增大，当木块开始运动后变为滑动摩擦力，由于正压力减小，故滑动摩擦力减小，D错误。
答案 A
3.某物体受到四个力的作用而处于静止状态，保持其中三个力的大小和方向均不变，使另一个大小为F的力方向逆时针转过90°，则欲使物体仍能保持静止状态，必须再加上力的大小为（ ）
A.FB.
F
C.2FD.3F
解析 物体受到四个力的作用而处于静止状态，由物体的平衡条件可知，力F与另三个力的合力一定等大反向，当力F转过90°时，力F与另三个力的合力大小为
F，因此，欲使物体仍能保持静止状态，必须再加一个大小为
F的力，故B项正确。
答案 B
4.用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示。
已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为（ ）
A.
mg，
mg
B.
mg，
mg
C.
mg，
mg
D.
mg，
mg
解析 分析结点c的受力情况如图，
设ac绳受到的拉力为F1，bc绳受到的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得F1＝Fcos30°＝
mg
F2＝Fsin30°＝
mg
选项A正确。
答案 A
5.重型自卸车利用液压装置使车厢缓慢倾斜到一定角度，车厢上的石块就会自动滑下。
以下说法正确的是（ ）
A.在石块下滑前后自卸车与石块整体的重心位置不变
B.自卸车车厢倾角越大，石块与车厢的动摩擦因数越小
C.自卸车车厢倾角变大，车厢与石块间的正压力减小
D.石块开始下滑时，受到的摩擦力大于重力沿斜面方向的分力
解析 物体的重心的位置跟形状和质量分布有关，石块下滑前后，质量分布变化，形状变化，所以重心改变，选项A错误；石块与车厢间的动摩擦因数与车厢倾角无关，选项B错误；对石块受力分析如图所示，FN＝mgcosθ，车厢的倾角变大，所以车厢与石块间的正压力减小，选项C正确；石块下滑时，重力的分力大于受到的摩擦力，选项D错误。
答案 C
6.如图所示，一质量为m的光滑小球，在细线和竖直墙壁的共同作用下处于静止状态。
如果细线再加长一些，则细线对小球的拉力大小FT和墙壁对小球的支持力大小FN将（ ）
A.FT和FN都减小
B.FT和FN都增大
C.FT增大，FN减小
D.FT减小，FN增大
解析 对小球受力分析如图所示，设细线与墙壁之间的夹角为α。
根据力的平衡条件可得FT＝
，墙壁对球的支持力大小FN＝mgtanα，如果细线再长一些，则α会减小，所以FT和FN都减小。
选项A正确。
答案 A
7.质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上。
用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图所示。
用T表示绳OA段拉力的大小，在O点向左移动的过程中（ ）
A.F逐渐变大，T逐渐变大
B.F逐渐变大，T逐渐变小
C.F逐渐变小，T逐渐变大
D.F逐渐变小，T逐渐变小
解析 对O点受力分析如图所示，F与T的变化情况如图，由图可知在O点向左移动的过程中，F逐渐变大，T逐渐变大，故选项A正确。
答案 A
8.如图所示，A、B两物体均处于静止状态，关于B物体受力情况，下列说法中正确的是（ ）
A.B物体一定受到四个力
B.B物体可能不受地面的支持力作用
C.B物体可能不受地面的静摩擦力作用
D.B物体可能受三个力，也可能受四个力
解析 因为绳作用在B上的力不为零，所以绳对B的拉力在水平方向向左的分力不为零，而B又处于静止状态，根据共点力的平衡条件，水平面对B一定有向右的静摩擦力。
由于摩擦力的存在，水平面对B一定有支持力。
综上所述，B物体一定会受到四个力的作用（重力、绳子的拉力、水平面的支持力和摩擦力），选项A正确。
答案 A
9.如图，用一绳子a把物体挂起来，再用另一根水平的绳子b把物体拉向一旁固定起来。
物体的重力是60N，绳子a与竖直方向的夹角θ＝37°，绳子a与b对物体的拉力分别是多大？
（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
解析 对物体受力分析如图所示，物体受重力、绳a、b的拉力，将重力分解到沿a、b绳的方向上，则由力的平衡条件可得：
Ta＝Ga＝
＝
N＝75N
Tb＝Gb＝Gtan37°＝60×
N＝45N
答案 75N 45N
能力提升
10.如图所示，质量为m的滑块静止置于倾角为30°的粗糙斜面上，一根轻弹簧一端固定在竖直墙上的P点，另一端系在滑块上，弹簧与竖直方向的夹角为30°，则（ ）
A.滑块一定受到三个力作用
B.弹簧一定处于压缩状态
C.斜面对滑块的支持力大小可能为零
D.斜面对滑块的摩擦力大小一定等于
mg
解析 由题意知弹簧垂直于斜面，因不知弹簧是否被拉伸或被压缩，故不能确定弹簧弹力的有无及方向，所以滑块受力的个数也就不能确定，选项A、B错误；若斜面对滑块的支持力为零，则斜面对滑块的摩擦力必为零，且弹簧一定有拉力，滑块受竖直向下的重力和弹簧垂直于斜面向上的拉力不在同一直线上，滑块受力不平衡，不能静止在斜面上，故选项C错误；无论弹簧有无弹力的作用，但弹力的方向垂直于斜面，以滑块为原点，沿斜面方向和垂直于斜面方向建立直角坐标系，将不在坐标轴上的重力分解到坐标轴上，其中沿斜面向下的分力G1＝
mgsin30°＝
mg，根据平衡条件得斜面对滑块的摩擦力大小为Ff＝G1＝
mg，选项D正确。
答案 D
11.如图所示，三段不可伸长的细绳，OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，其中OB是水平的，A端、B端固定在水平天花板上和竖直墙上。
若逐渐增加C端所挂重物的质量，则最先断的绳是（ ）
A.必定是OAB.必定是OB
C.必定是OCD.可能是OB，也可能是OC
解析 OC下悬挂重物，它对O点的拉力等于重物的重力G。
OC绳的拉力产生两个效果：
拉紧BO绳的水平向左的力F1，拉紧AO绳的沿绳子方向斜向下的力F2，F1、F2是G的两个分力。
由平行四边形定则可作出力的分解图如图所示，当逐渐增大所挂重物的质量时，哪根绳受的拉力最大则哪根绳最先断。
从图中可知：
表示F2的有向线段最长，F2最大，故OA绳最先断。
答案 A
12.如图所示，质量为m1的物体甲通过三段轻绳悬挂，三段轻绳的结点为O，轻绳OB水平且B端与站在水平面上的质量为m2的人相连，轻绳OA与竖直方向的夹角θ＝37°，物体甲及人均处于静止状态（已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。
g取10m/s2。
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。
求：
（1）轻绳OA、OB中的张力分别是多大？
（2）人受到的摩擦力是多大？
方向如何？
（3）若人的质量m2＝60kg，人与水平面之间的动摩擦因数为μ＝0.3，欲使人在水平面上不滑动，则物体甲的质量m1最大不能超过多少？
解析
（1）以结点O为研究对象，受三段轻绳的拉力作用，且竖直绳上的拉力大小等于m1g。
如图所示，根据共点力平衡条件有：
FOB－FOAsinθ＝0
FOAcosθ－m1g＝0
联立以上两式解得：
FOA＝
＝
m1g，
FOB＝m1gtanθ＝
m1g。
（2）人在水平方向仅受绳OB的拉力FOB和地面的摩擦力Ff作用，根据平衡条件有：
Ff＝FOB＝
m1g，方向水平向左。
（3）人在竖直方向上受重力m2g和地面的支持力FN作用，因此有：
FN＝m2g
要使人不滑动，需满足：
Ff≤Fmax＝μFN
联立以上各式解得：
m1≤
μm2＝24kg。
答案
（1）
m1g
m1g
（2）
m1g 方向水平向左
（3）24kg
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