郑州市学年高一上学期期末考试数学试题.docx

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郑州市学年高一上学期期末考试数学试题

郑州市2020・2021学年高一上学期期末考试数学试题

学校:

姓外班级：

考号：

一、单选题

1.已知集合从={2,3},8={«5},若集合AU8中有3个元素，则。

=（）

A.2B.3C.5D.2或3

2.已知点A（2,l）,3（—2,3）,则线段A8的垂直平分线的方程是（）

A.2x-y+2=0B.x+2y-4=0C.2x+y-2=0

D.2x-y+l=0

3.函数J（x）=]+ln（3-2x）的定义域为（）

1

333

A.[1,-）B.（1,-）C.[I,-]

乙乙乙

4.已知且y>0,贝ij（）

D.（-,+co）

11A，彳

A.--->0B.a

c.dr-d）v

D.lgx+lgy>0

5.若直线/：

工一）」1=。

始终平分圆/：

/+/一2四+4）,一3=0的周长，则。

的值

为（）

A.一2

B.-1

C.2

D.4

6.已知函数/（x）=e'—d）x,则下列判断正确的是（）e

A.函数/"）是奇函数，且在R上是增函数

B.函数/"）是偶函数，且在R上是增函数

C.函数/"）是奇函数，且在R上是减函数

D.函数/"）是偶函数，且在R上是减函数

7.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥四个面的面积中最大的是（）

俯视图

A.y/5

B.庄C.36

2

D.3

8.如图，在直角梯形ABC。

中，ABAD=DC=2,CB=",动点P从点A出发，由A-OtC-B沿边运动，点P在AB上的射影为。

设点P运动的路程为x,aAP。

的面积为y,则y=/U）的图象大致是（）

A.

9.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖阳提出了著名的祖胞原理：

“寻势既同，则积不容异”。

“势”即是高，“基”即是而积，意思是：

如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等，如图所示，扇形AO8的半径为3,圆心角为90°，若扇形AO8绕直线08旋转一周，图中阴影部分旋转后所得

几何体与某不规则几何体满足：

“事势同”，则该不规则几何体的体积为（

A.3冗B.67C.9兀D.27〃

八ar—4ci+3,x<2

10.已知函数的值域为R，则实数。

的取值范围是（）

log?

x,x>2

333

A.（OA）B.（OJ]C.（h-）D.（0,-]

422

11.如图，等边三角形ABC的中线A尸与中位线。

石相交于G,已知△A'E。

是

△4瓦）绕。

石旋转过程中的一个图形，给出以下四个命题：

①AC〃平面4。

尸：

②平面A'GP_L平而8CED；③动点4在平面48c上的射影在线段A/上；④异而直线4石与8。

不可能垂直,其中正确命题的个数是（）

Ar

A.1B.2C.3D.4

12.已知点P（x,y）是直线2x—），+4=0上一动点，直线是圆

。

：

/+>2+2），=0的两条切线，A,8为切点，。

为圆心，则四边形PAC3面积的最小值是（）

A.2B.小C.2遥D.4

二、填空题

13.在空间直角坐标系中，己知A（1,-2,1）,B（3,2,5）,P是A3的中点，则点P到坐标原点的距离为.

14.给定集合A={-2,1,2},8={1,2,5,6},定义一种新运算：

A㊉8={xlxeA或8,且xeAcB},试用列举法写出人㊉8=.

15.已知点4（-3,0）,8（1,2）,若圆C：

（x-3>+（y-4尸=M（r>0）与以线段48为直径的圆相外切，则实数r的值是.

16.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：

设R.用[1]表示不超过X的最大整数，则y=[x]

称为高斯函数，例如：

[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数则

函数3="。

）]的值域是

三、解答题

17.已知集合4=*1*一。

）&一〃+1）=。

},3={xl（x-2）（x-〃）=0}

C={xllv2x-3v5}.

（1）若A=3,求。

的值:

（2）若AUC=C，求〃的取值范围.

18.在平面直角坐标系中，已知AABC的三个顶点的坐标分别为4-3⑵,

8（4,3）,。

（一1,一2）.

（1）在AA8C中，求8c边上的高线所在的直线方程；

（2）求AABC的面积.

19.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元,每桶水的进价为5元,销售单价与日均销售量的关系如图所示.

销售单价/元

•••

6

6.5

7

7.5

8

8.5

•••

日均销售量/桶

•••

480

460

440

420

400

380

•••

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

20.已知四边形A3CQ和正方形痔所在的平面互相垂直，AD1DC,AB//DC,AB=AD=-DC.

（1）证明：

8c，平而8OE：

（2）M为线段4。

上的点，且N是线段OE上一点，且DN=?

NE,22

求证：

MN//平面BCE.

21.已知函数f（x）=-2一"-2（〃?

七R）.2V+1

（1）当"?

=3时，判断并证明函数f（x）的奇偶性;

（2）当〃?

>1时，判断并证明函数/（X）在R上的单调性.

22.在平面直角坐标系中，已知圆“：

『+）’+”=0（。

>0）,直线

/:

x—7y—2=0,且直线/与圆M相交于不同的两点A8.

（1）若。

=4,求弦A3的长:

（2）设直线0A08的斜率分别为尢,内，若k1+k0=L,求圆M的方程.

6

参考答案

1.D

【解析】

集合A={2,3},3=色,5},

集合A03中有3个元素，所以。

=2或3.

故选D.

2.A

【解析】

点A（2,1）,B（—2,3）的中点为（0,2）,

1-31

48直线的斜率为二一=-士，线段A3的垂直平分线斜率为2,

2+22

线段A8的垂直平分线的方程是：

y=2x+2,整理得2x—y+2=0.

故选A.

3.B

【解析】

（—］〉03

要使函数—=^+山（3—2力有意义，则（二"八,解得

Vx-13-2x>02

故选B.

4.C

【解析】

由x>y>0,易知

所以A.B不正确，C正确，

当x=l,y=:

时，满足x>y>0,但Igx+lgy=lg；<0,故D不正确.乙乙

故选C.

5.B

【解析】

直线/:

不一），-1=。

始终平分圆“：

/+），2-2。

戈+4）,一3=0的周长,

则直线经过圆心（凡-2）.

代入直线得。

+2-1=0,解得。

=一1.

故选B.

6.A

【分析】

求出f（x）的定义域，判断f（x）的奇偶性和单调性，进而可得解.

【详解】

f（x）的定义域为R,Kf（-x）=-^-e'=-f（x）：

e

是奇函数；

又y=e'和y=-（-）x都是R上的增函数：

e

・・.“乂）=。

"一

（1）'是区上的增函数.

e

故选A.

【点睛】

本题考查奇偶性的判断，考查了指数函数的单调性，属于基础题.

7.B

【解析】

【分析】

根据三视图作出三棱锥的直观图，计算四个侧而的面积进行比较即可得结果.

【详解】

作出三棱锥P—ABC的直观图如图所示，

过A作AO_L3C,垂足为。

，连结尸£）,

由三视图可知PA_L平而ABC,

BC=3,PD7PAi+AD?

=下,

AC=yjAD2+CD2=y[5,AB=y12,BCLPD^

•q-,ABC

=LxBCxAD=-,S»Rp=LxABxPA=e,222

S=LxACxPA=y/5,Ssl>H（.=LbCxPD=—，mc2"bc22

，三棱锥P—ABC的四个面中，侧而P8C的面积最大为土，故选B.

2

【点睛】

本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.

8.D

【分析】

结合尸点的运动轨迹以及二次函数，三角形的面积公式判断即可.

【详解】

解：

P点在上时，AAP。

是等腰直角三角形，

此时/•（%）=’・无六走入.=_1总（ovX<2）是二次函数，排除A,B,

2224

户在OC上时，尸。

不变，AQ增加，是递增的一次函数，排除C,

故选O.

【点睛】

本题考查了数形结合思想，考查二次函数以及三角形的面积问题，是一道基础题.

9.C

【解析】

扇形40B绕直线。

8旋转一周，阴影部分的体积为：

半个球减去一个圆锥.

球的半径为3,圆锥的底而半径为3,高为3.

所以V=，x±x;rx3'-，x;rx3;:

x3=187r-97r=97r.

233

故选C.

10.B

【解析】

依一4。

+3,工<2

log2x,x>2

当xN2时,/（x）=log2xe[L+oo）；

当x<2时，f（x）=ax-4a+39.

a>0

qx-4a_

根据题意知函数〃x）=〈，—二一的值域为R，则<

log,x,x>2

0

故选B.

11.C

【解析】

•“看为边直,杷的中点，・・.467/。

/，4c为平面4。

方外的直线，所以4c〃平而

A'DF^故①正确：

•.•ATH4E所以动点4在平而4BC上的射影到点D,E的距离相等,即在NA的角平分线上,

.♦.A'在平而ABC上的射影在线段AE上，故③正确：

由③知，平面A'GF一定过平面BCED的垂线，，恒有平面4GF_L平面BCED,故②正确；

当（1石户+七产=（4F）2时,而直线AE与BD垂直，故④不正确.

故正确答案①②③.

故选C.

点睛：

证明线面平行，常用的方法是在平面内找一直线与已知直线平行,找直线的方法一是，

平行四边形平移进平面，二是相似形平移，三是，平面的延伸找到交线.第二种方法就是通

过证明而而平行，而证明线而平行。

（2）证明线而垂直，需转化为证明线线垂直.

12.A

【解析】

圆C:

/+V+2y=。

即/+（y+1）2=1,表示以C（O,-1）为圆心，以1为半径的圆.

由于四边形用C8而积等于2x'xPAxAC=PA,而弘=信2-1.

故当PC最小时，四边形朋C8面积最小.

离这几种情况.判断两圆的位置关系时的常用方法是找两圆心距和两半径之和或差的关系.常考的题型是已知位置关系求参或者找公切线的条数.

16.{-1,0,1}

【解析】

2㈤12（211）-2152

f（x）===・

'71+2”31+21331+2”

l+2ve（l,-Ko）,-A_€（0,2）,―—―e（-2,0）,-――

'，1+2、'）1+2、I，31+2XI23）

［可表示不超过x的最大整数，所以故答案为{—1,0,1}.

17.

（1）I或3：

（2）（3,4）

【解析】

试题分析：

（1）解方程得集合A，B,若A=B，则两集合元素相同，可得Z?

的值:

（2）由A=C=C,得AqC,从而得〈八.“，即可得解.

试题解析：

A={a,a-1},3={2力},

（1）若〃=2,则4={1,2},

A=B^b=a—\=\.

若。

一1=2,则。

=3,A={2,3},・・"=3.

综上,b的值为1或3.

（2）VC={xl2

2va<4

2

：

.3

•••a的取值范围是（3,4）

18.

（1）x+y+l=O：

（2）15

【解析】

试题分析：

（1）先求直线8C的斜率须。

，得搞得斜率，再由点斜式即可得方程：

（2）先由两点间距离公式得求怛。

，再求A到直线8C的距离4,即可得AA3C的面积.试题解析：

（1）直线BC的斜率kBC=—=1.

4+1

・♦.8c边上的高线斜率k=—1,

•••8C边上的高线方程为：

y—2=—（x+3）

即：

x+y+l=O,

（2）・・・3（4,3）,。

（-1,-2）

:

.\BC\=^（-2-3）2+（-1-4）2=5"

由B（4,3）,C（-l,-2）得直线BC的方程为：

x-y-l=O.

A到直线BC的距离d=卜二一"=3JW

V2

SX.XBC=Lx5应x3>/2=15.

2

19.11.5

【解析】

试题分析：

利用表格数据，可得涨价x元后，日销售的桶数，利用销售收入减去固定成本,即可得到利润函数，利用配方法，即可得到最大利润.

试题解析：

根据上表销售单价每增加1元日均销售量就减少40桶，设在进价基础上增加x元后，日均

销售利润为y元，而在此情况下的日均销售量就为480—40（x—l）=520—40x，

由于x>0,且520—40x>0,即0

于是，可得y=（520-40x）%-200=-40x2+520x-200,0

易知，当x=6.5时，）'有最大值,

所以，只需将销售单价定为1L5元，就可获得最大的利润.

20.

（1）见解析；

（2）见解析

【解析】

试题分析：

（1）只需证得ED_L3c和。

即可证得BC_L平面3。

石：

DP1

（2）取OC的中点G,连接4G,在0c上取点P使——=一,连接NP,先证A8CG为平

DC3

行四边形，可得MP//BC,进而可证得平而肠VP//平而8CE,即可得证.

试题解析：

（1）•••平而ABCQ_L平面CQM,平面ABCDc平面COEF=CD.

在正方形CDEF中七。

_LDC、

EO_L平面A3CO..・.EOJ_3C.

取DC的中点G连接3G,OG=1oC,在四边形ABC。

中，

2

vAB//DC,AB=-DC,2

二.四边形A3G。

为平行四边形，

•/AB=AD./.BG=-DC

2

所以，点8在以。

。

为直径的圆上，所以DB上BC,

又yEDcBD=D,

所以8C_L平面8。

七，

（2）如图，

DP1DNDP1

取。

。

的中点G,连接4G,在。

C上取点夕使——=—,连接NP-/——=——=—,

DC3DEDC3

:

.PN/IEC,：

.PN//^BCE,

连接MP，•••G为点，.=21=2,MPHAG.

DADG3

又AB//CG,AB=CG,：

.ABCG为平行四边形,/.AGIIBC,:

.MPIIBC,:

.MP//面BCE,

又•.•MPcNP=P,:

.平面MNP//平面BCE.

MNu平面MNP，所以MN〃平面BCE.

点睛：

（1）证明线而平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行.但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内.

（2）辅助线（面）是解（证）线而平行的关键，为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线（面）.

21.

（1）见解析；

（2）单调递减

【解析】

\一2'

试题分析：

（1）由/（x）=称1=—/（x）,即可得函数为奇函数：

（2）利用单调性的定义任取凡且王〈士，判断了（%）—/（々）的正负即可.

试题解析：

（1）当m=3时，f（x）为R上的奇函数

71一2”

证明如下：

/（x）=—l+^^=L三，定义域为R「、72X+12r+l

1—or-11__or,、

〃川=品=三5T=-〃X）♦所以，函数为奇函数・

（2）当加＞1时，函数/（X）在R上单调递减,

证明如下：

任取为,当七尺且不＜々，则

/⑺一/㈤+I+"卜卜+黑》

m-1

2*+1

吁1_（〃1乂2-2』）

2'2+1-（2r,+1）（2V2+1）,

因为所以2"2上＞0，（2。

+1）（2*+1）＞。

，又团一1＞0所以/（为）一/（修）＞。

即/（为）＞/（々）.所以，函数/（x）在R上单调递减.

点睛：

本题主要考查判断函数的奇偶性以及函数的单调性的证明.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：

（1）在已知区间上任取々＞玉：

（2）作差/（/）—/（%）：

（3）判断

/（电）一/（为）的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），/（々）―/（再）＞°可得/（x）在已知区间上是增函数，/（x2）-/（xl）＜0可得/（x）在已知区间上是减函数.

22.

（1）里：

（2）x2+y2+2y=0

【解析】试题分析：

（1）通过求圆心到直线的距离，利用垂径定理即可得弦长:

（2）直线/与圆联立得50y2+（28+〃）y+4=0,设A（x238（&，乃），

—色色舒敲端，利用韦达定理代入求解即可.

试题解析:

（1）由题意知,a=4时圆心M坐标为（0.-2）,半径为2,

圆心到直线距离1=l（）/-14-2l=—，

V1+495

所以弦.耳=2斤三=誓；

（2）设4（玉,耳），3（々,为），

x-7y-2=0

<

X1+y1+ay=0

联立得50y2+（28+a）y+4=0.

•/A=（28+«）~-16x50>0,「.〃>20>/2-28,

-（28+6/）±a/（28+«7-8OO

100

ril28+a4

则…=-hy

于nk+kI/_）'也+必内_（7）'2+2）-+（7y+2）），2

工12X&中2（7^+2）（7>'2+2）

14yly2+2山+为）__2aJ

49y|V2+14（y+%）+4—14。

+46

所以圆的方程为x2+y2+2），=0.