二元一次方程组应用题的常见类型归纳.docx

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二元一次方程组应用题的常见类型归纳

二元一次方程组应用题的常见类型归纳

二元一次方程组经典题型归纳

二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：

一、数字问题

例1一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．

分析：

设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：

十位上的数

个位上的数

对应的两位数

相等关系

原两位数

x

y

10x+y

10x+y=x+y+9

新两位数

y

ｘ

10y+x

10y+x=10x+y+27

解方程组

，得

，因此，所求的两位数是14．

点评：

由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．

二、利润问题

例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？

分析：

商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利（0.9x-y）元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程0.8x-y=10.

解方程组

，解得

，

车的速度各是多少？

【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则

，整理，得

，解得

，

因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．

点评：

“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：

“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；

“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离．

五、货运问题

典例5某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨？

分析：

“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则

，整理，得

，解得

，

因此，甲、乙两重货物应各装150吨．

点评：

由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．

六、工程问题

例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的

；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？

要求的期限是几天？

分析：

设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得

，解得

.

点评：

工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．

《二元一次方程组实际问题》赏析

【知识链接】

列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：

通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：

找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：

根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：

解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：

在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

【典题精析】

例1（2006年南京市）某停车场的收费标准如下：

中型汽车的停车费为6元/辆，小型汽车的停车费为4元/辆.现在停车场有50辆中、小型汽车，这些车共缴纳停车费230元，问中、小型汽车各有多少辆？

解析：

设中型汽车有x辆，小型汽车有y辆.由题意，得

解得，

故中型汽车有15辆，小型汽车有35辆.

例2（2006年四川省眉山市）某蔬菜公司收购蔬菜进行销售的获利情况如下表所示：

销售方式

直接销售

粗加工后销售

精加工后销售

每吨获利（元）

100

250

450

现在该公司收购了140吨蔬菜，已知该公司每天能精加工蔬菜6吨或粗加工蔬菜16吨（两种加工不能同时进行）．

（1）如果要求在18天内全部销售完这140吨蔬菜，请完成下列表格：

销售方式

全部直接销售

全部粗加工后销售

尽量精加工，剩余部分直接销售

获利（元）

（2）如果先进行精加工，然后进行粗加工，要求在15天内刚好加工完140吨蔬菜，则应如何分配加工时间？

解：

（1）全部直接销售获利为：

100×140=14000（元）；

全部粗加工后销售获利为：

250×140=35000（元）；

尽量精加工，剩余部分直接销售获利为：

450×（6×18）＋100×（140－6×18）=51800（元）.

（2）设应安排x天进行精加工，y天进行粗加工.

由题意，得

解得，

故应安排10天进行精加工，5天进行粗加工.

【跟踪练习】

为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改变办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需80元，建新校舍每平方米需700元.计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共7200平方米，在实施中为扩大绿地面积，新建校舍只完成了计划的80%，而拆除旧校舍则超过了计划的10%，结果恰好完成了原计划的拆、建总面积.

（1）求：

原计划拆、建面积各是多少平方米？

（2）若绿化1平方米需200元，那么在实际完成的拆、建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？

答案：

（1）原计划拆、建面积各是4800平方米、2400平方米；

（2）可绿化面积为1488平方米.