六年级数学期末知识点.docx
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六年级数学期末知识点
基本概念
一、整数和小数
1、整数：
像…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…这样的数叫做整数。
自然数和0都是整数。
2、自然数：
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫做自然数。
一个物体也没有，用0表示。
0也是自然数。
3、小数：
把整数1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。
一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几……
一个小数由整数部分、小数部分和小数点组成。
【小数的性质：
在小数的末尾添上零或者去掉零，小数的大小不变。
】
4、小数的分类
纯小数：
整数部分是零的小数，叫做纯小数。
例如：
0.25、0.368都是纯小数。
带小数：
整数部分不是零的小数，叫做带小数。
（也叫混小数）例如：
3.25，5.26都是带小数。
有限小数：
小数部分的数位是有限的小数，叫做有限小数。
例如：
41.7，25.3，0.23都是有限小数。
无限小数：
小数部分的数位是无限的小数，叫做无限小数。
例如：
4.33……，3.1415926……
无限不循环小数：
一个数的小数部分，数字排列无规律且位数无限，这样的小数叫做无限不循环小数。
例如：
π
循环小数：
一个数的小数部分，有一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这个数叫做循环小数。
例如：
3.555……0.0333……12.109109……【循环小数一定是无限小数。
（√）】
一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
例如：
3.99……的循环节是“9”，0.5454……的循环节是“54”。
写循环小数的时候，为了简便，小数的循环部分只需写出一个循环节，并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。
如果循环节只有一个数字，就只在它的上面点一个点。
例如：
3.777……简写作
，0.5302302……简写作
。
5、数位顺序表（数位、数级、计数单位）
每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
这样的计数法叫做十进制计数法。
4、数的读法和写法
读法：
整数部分从高位到低位，一级一级地读。
读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加一个“亿”或“万”字。
每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零。
小数点读作“点”，小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
写法：
整数部分从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。
小数点写在个位右下角，小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
5、数的改写
一个较大的多位数，为了读写方便，常常把它改写成用“万”或“亿”作单位的数。
有时还可以根据需要，省略这个数某一位后面的数，写成近似数。
（1）准确数：
在实际生活中，为了计数的简便，可以把一个较大的数改写成以万或亿为单位的数。
改写后的数是原数的准确数。
例如把1254300000改写成以万做单位的数是125430万；改写成以亿做单位的数12.543亿。
（2）近似数：
根据实际需要，我们还可以把一个较大的数，省略某一位后面的尾数，用一个近似数来表示。
例如：
1302490015省略亿后面的尾数是13亿。
6、四舍五入法：
要省略的尾数的最高位上的数是4或者比4小，就把尾数去掉（四舍）；如果尾数的最高位上的数是5或者比5大，就把尾数舍去，并向它的前一位进1（五入）。
例如：
省略345900万后面的尾数约是35万。
省略4725097420亿后面的尾数约是47亿。
【保留哪一位就看那一位右边一位。
】
7、大小比较
（1）比较整数大小：
比较整数的大小，位数多的那个数就大，如果位数相同，就看最高位，最高位上的数大，那个数就大；最高位上的数相同，就看下一位，哪一位上的数大那个数就大。
（2）比较小数的大小：
先看它们的整数部分，，整数部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百分位上的数大的那个数就大……
（3）比较分数的大小:
分母相同的分数，分子大的分数比较大；分子相同的数，分母小的分数大。
分数的分母和分子都不相同的，先通分，再比较两个数的大小。
8、数的整除、因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数
整除：
整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
因数、倍数：
如果数a能被数b（b≠0）整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（也叫约数）。
倍数和因数是相互依存的。
【因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。
】
（1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。
例如：
10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。
（2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
3的倍数有：
3、6、9、12……其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。
质数：
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数），100以内的质数有：
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
合数：
一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数，例如4、6、8、9、12都是合数。
短除法分解质因数
3
所以18＝2×3×3
【1不是质数也不是合数】11个因数【1】
非0自然数按照因数的个数可以分作三类：
质数2个因数【1和本身】
合数超过2个因数
质因数：
每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。
其中每个质数都是这个合数的因数，
叫做这个合数的质因数，例如15=3×5，3和5叫做15的质因数。
【质因数必须是质数。
】
分解质因数：
把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
【短除法】
公因数：
几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个，叫做这几个数的最大公因数。
例如12的因数有1、2、3、4、6、12；18的因数有1、2、3、6、9、18。
其中，1、2、3、6是12和18的公因数，6是它们的最大公因数。
【如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。
】
互质数：
公因数只有1的两个数，叫做互质数。
【如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
】
如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
成互质关系的两个数，有下列几种情况：
（1）1和任何非0自然数互质。
（2）相邻的两个非0自然数互质。
（3）两个不同的质数互质。
（4）当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
公倍数：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……，3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。
【如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
】
短除法求最大公因数与最小公倍数
23
最大公因数：
2×3＝6
最小公倍数：
2×3×2×3＝36
【几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
】
个位上是0、2、4、6、8的数，都能被2整除，例如：
202、480、304，都能被2整除。
。
个位上是0或5的数，都能被5整除，例如：
5、30、405都能被5整除。
。
一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除，例如：
108、204都能被3整除。
偶数：
能被2整除的数叫做偶数。
【0也是偶数。
】
奇数：
不能被2整除的数叫做奇数。
自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
二、分数和百分数
1、分数：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
约分的方法：
用分子和分母的公因数（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法：
先求出原来的几个分数分母的最小公倍数，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
在分数里，中间的横线叫做分数线；分数线下面的数，叫做分母，表示把单位“1”平均分成多少份；分数线上面的数叫做分子，表示有这样的多少份。
分数单位：
把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的数，叫做分数单位。
例如
2、分数的分类
真分数：
分子比分母小的分数叫做真分数。
【真分数小于1。
】
假分数：
分子比分母大或者分子和分母相等的分数，叫做假分数。
【假分数大于或等于1。
】
带分数：
假分数可以写成整数与真分数合成的数，通常叫做带分数。
3、约分和通分
约分：
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数，叫做约分。
通分：
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
最简分数：
分子分母是互质数的分数，叫做最简分数。
【约分要把分数变成最简分数。
】
4、百分数：
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。
（也叫做百分率或百分比）百分数通常用“%”来表示。
5、数的互化
6、倒数：
乘积是1的两个数互为倒数。
【1的倒数是它本身，0没有倒数。
】
求倒数：
只需将分子、分母交换位置。
【整数可以看作分母为1的假分数。
】
7、常见的百分率：
出勤率＝
×100%合格率＝
×100%出米率＝
×100%
出油率＝
×100%【一般情况下，这些百分率都是把总量作为单位“1”，当做除数。
】
8、与百分数有关几个问题：
（1）折扣：
80%——八折；65%——六五折。
【成数：
80%——八成；65%——六成五。
】
折扣问题：
现价＝原价×折扣
（2）利息：
存入银行的钱叫做本金。
取款时银行多支付的钱叫做利息。
利息与本金的比值叫做利率。
利息＝本金×时间×利率【时间和利率要对应，例如是年利率，时间也要按年算。
】
利息税＝利息×税率【利息税是上缴给国家的，因此要从利息中减掉。
】
本息＝本金＋利息【如果有利息税则还要减掉利息税。
】
（3）纳税：
纳税就是把根据国家各种税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。
缴纳的税款叫应纳税款。
应纳税额与各种收入（销售额、营业额、应纳税所得额……）的比率叫做税率。
应纳税额＝收入×税率
运算和规律
1、四则运算顺序：
1、有括号先算括号内的；（先小括号，再中括号，最后大括号。
）
2、先乘除后加减（乘、除都是二级运算，加、减都是一级运算）；
3、从左到右按顺序计算（只有加减或者只有乘除）。
【例：
①327－20×12＋77先算×，再算－，最后算＋；②50×（27＋57）先算括号内的＋，再算×。
】
2、运算律：
加法交换律a＋b＝b＋a
加法结合律﹙a＋b﹚＋c＝a＋﹙b＋c﹚
连减规律a－b－c＝a－﹙b＋c﹚
乘法交换律a×b＝b×a
乘法结合律﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚
乘法分配律a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c或a×﹙b－c﹚＝a×b－a×c
a×b＋a×c＝a×﹙b＋c﹚a×b－a×c＝a×﹙b－c﹚
连除规律a÷b÷c＝a÷﹙b×c﹚
3、简便计算：
1、观察数字，能否凑整，有没有特殊数字（25、125、101、99、199等等）；
2、观察运算符号，看看是否符合运算定律的要求，如不符合则不能使用运算定律。
4、规律：
（1）商不变规律：
被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。
【例：
7.89÷3.3＝78.9÷33】
（2）商的变化规律：
①除数不变，被除数扩大（或缩小）几倍，商也扩大（或缩小）相同的倍数。
【例：
1.44÷12＝0.12；144÷12＝12】
②被除数不变，除数扩大（或缩小）几倍，商则缩小（或扩大）相同的倍数。
【例：
1.44÷12＝0.12；1.44÷1.2＝1.2】
（3）积不变规律：
一个因数扩大（或缩小）几倍，另一个因数缩小（或扩大）相同的倍数，积不变。
【例：
35×2.7＝0.35×270；6.52×300＝652×3】
（4）积的变化规律：
一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。
【例：
35×2＝70；35×200＝7000】
简易方程
1、用字母表示数：
字母与数字相乘，数字写前面（数字是1则省略不写）【如a×3＝3a；1×b＝b】
平方：
a2＝a×a【注意跟2a区分，2a＝a＋a两者不同】
2、方程：
含有未知数的等式叫做方程。
【方程一定是等式，等式不一定是方程】
3、方程的解：
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
4、解方程：
求方程的解的过程叫做解方程。
5、用方程解决问题的一般步骤：
（1）仔细审题，确定题目中的未知数，写出解设；【直接设、间接设】
（2）找出题目中的等量关系；【找含有相等意思的句子并将它化成等量关系式。
】
（3）根据等量关系列出方程并解方程；
（4）验算，并观察求出的结果是否符合题目要求，最后写答。
常用单位换算
长度单位换算
1千米=1000米1米=10分米1分米=10厘米1厘米=10毫米1米=100厘米
面积单位换算
1平方千米=100公顷1公顷=10000平方米1平方千米=1000000平方米
1平方米=100平方分米1平方分米=100平方厘米1平方厘米=100平方毫米1平方米=10000平方厘米
体（容）积单位换算
1立方米=1000立方分米1立方分米=1000立方厘米1立方厘米=1000立方毫米
1立方分米=1升1立方厘米=1毫升1立方米=1000升
重量单位换算
1吨=1000千克1千克=1000克1千克=1公斤=2市斤
人民币单位换算
1元=10角1角=10分1元=100分
时间单位换算
1世纪=100年大月（31天）有:
1\3\5\7\8\10\12月小月（30天）的有:
4\6\9\11月平年2月28天,闰年2月29天
平年全年365天,闰年全年366天1日=24小时1时=60分1分=60秒1时=3600秒
【能被4整除且不能被100整除的为闰年。
如果年份是世纪年（整百年），能被400整除的才是闰年。
如2000年是闰年，1900年不是闰年。
】
常用的数量关系式
四则运算法则：
加法：
加数＋加数＝和可以推出：
和－一个加数＝另一个加数
减法：
被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数
乘法：
因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数
除法：
被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数
推导公式
每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数
一倍数×倍数＝几倍数几倍数÷一倍数＝倍数几倍数÷倍数＝一倍数
速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度
单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价
工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率
比和比例
1、比的意义：
两个数相除又叫做两个数的比。
“：
”是比号，读作“比”。
比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。
比的前项除以后项所得的商，叫做比值。
【通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。
】【比的后项不能是0。
】
2、比的2种写法：
（1）比号形式：
如3∶4
（2）分数形式：
如
【仍读作“3比4”。
】
3、比的基本性质：
比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。
4、比、除法、分数之间的关系：
名称
联系
比
前项
：
（比号）
后项
比值
除法
被除数
÷（除号）
除数
商
分数
分子
──（分数线）
分母
分数值
5、比的计算：
（1）求比值：
前项除以后项。
【结果一般用分数表示】
（2）化简比：
将一个比化作前、后项互质的整数比。
①整数比（前后项都是整数）：
把比的前后项同时除以它们的最大公因数。
②分数比（前后项都是分数）：
把比的前后项同时乘上它们分母的最小公倍数，约分去掉分母，变成整数比。
【如果化成整数比后还不是最简比，还要按整数比的化简方法继续化简。
】
③小数比（前后项都是小数）：
把比的前后项同时乘上一个相同的数（一般是10、100…，看小数的位数）变成整数比，再按整数比化简的方法化成最简整数比。
④混合比（比的前后项是整数、小数和分数的混合）：
先化作前3种类型再做。
【注意：
如果比是带有单位的单位比，化简前应先将单位统一。
】
【写比的时候一般都要化简成最简整数比，即使题目没有要求也应该习惯这样做。
】
6、比例的意义：
表示两个比相等的式子叫做比例。
组成比例的四个数，叫做比例的项。
两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。
7、比例的基本性质：
在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积，这叫做比例的基本性质。
【外项积＝内项积】
8、解比例：
根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。
求比例中的未知项，叫做解比例。
0
5km
0
15km
9、比例尺：
比例尺＝
比例尺的分类：
数值比例尺（100000∶1不带单位）；线段比例尺：
（1cm代表5km）
10、按比例分配
在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。
这种分配的方法通常叫做按比例分配。
方法：
首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。
【例：
将糖和水按1：
4的比例配置成糖水，如果要配出500克糖水需要多少克糖？
分析题目可以看出糖占糖水的
，即糖＝糖水×
500×
＝100（克）答：
需要100克糖。
】
11、正比例和反比例
（1）成正比例的量：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
用字母表示
（2）成反比例的量：
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
用字母表示
空间与图形
1、直线：
没有端点；可以向两端无限延伸。
【过一点可以画无数条，过两点只能画一条直线。
】
射线：
只有一个端点；可以向一端无限延伸。
线段：
有两个端点；可以度量。
【两点的连线中，线段最短。
】
2、平行线：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
垂线：
两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线,相交的点叫做垂足。
从直线外一点到这条直线所画的垂线的长叫做这点到直线的距离。
【两条平行线之间的距离处处相等。
】
3、角：
从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。
这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
角的分类：
锐角：
小于90°的角叫做锐角。
直角：
等于90°的角叫做直角。
钝角：
大于90°而小于180°的角叫做钝角。
平角：
角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角。
平角180°。
周角：
角的一边旋转一周，与另一边重合。
周角是360°。
3、三角形：
由三条线段围成的图形。
【三角形有三条高。
】
三角形具有稳定性。
内角和是180度。
三角形任意两边的和大于第三边。
【一般用最短两边之和与第三边比较就可以判断是否能组成三角形。
】
三角形的分类：
按角分
锐角三角形：
最大的角是锐角。
直角三角形：
最大的角是直角。
【等腰直角三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
】
钝角三角形：
最大的角是钝角。
按边分
一般三角形：
三条边长度不相等。
等腰三角形：
有两条边长度相等；两个底角相等；有一条对称轴。
等边三角形：
三条边长度都相等；三个内角都是60度；有三条对称轴。
【是特殊的等腰三角形。
】
4、平行四边形：
两组对边分别平行的四边形。
【相对的边平行且相等。
对角相等，相邻的两个角的度数和是180°。
】平行四边形容易变形。
长方形：
对边相等，4个角都是直角的四边形。
有两条对称轴。
【是特殊的平行四边形。
】
正方形：
四条边都相等，4个角都是直角的四边形。
有4条对称轴。
【是特殊的长方形。
】
5、梯形：
只有一组对边平行的四边形。
【等腰梯形有一条对称轴。
】
圆的画法：
1、定半径：
把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；
2、定圆心：
把有针尖的一只脚固定在一点（即圆心）上；
3、画圆：
把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
【旋转时有针尖的脚不能移动，两脚间的距离也不能改变；如果出现这些问题，请回到第一步重新开始。
】
6、圆：
圆中心的一点叫做圆心。
一般用字母O表示。
半径：
连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用r表示。
直径：
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用d表示。
【在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
】
【同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
】
【同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
】
【圆的大小由半径决定。
圆的位置由圆心决定。
】
【圆有无数条对称轴。
】
7、轴对称图形：
如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。
折痕所在的这条直线叫做对称轴。
。
8、长方体：
8个顶点，12条棱，6个面且都是长方形（有时有两个相对的面是正方形）。
相对的面，面积相等；相对的4条棱长度相等。
正方体：
8个顶点，12条棱，6个面且都是正方形。
每条棱的长度都相等，每个面的面积都相等。
【是特殊的长方体。
】
9、圆柱：
圆柱的上下两个面叫做底面。
圆柱有一个曲面叫做侧面。
【侧面展开是一个长方形（正方形）。
】
圆柱两个底面之间的距离叫做高。
圆锥：
圆锥的底面是个圆。
圆锥的侧面是个曲面。
【侧面展开是一个扇形。
】
从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
10、平面图形的周长和面积：
（周长用C表示，面积用S表示。
）
长方形：
周长＝（长＋宽）×2C＝2（a＋b）
面积＝长×宽S＝a×b
正方形：
周长＝边长×4C＝4a
面积＝边长×边长S＝a2
平行四边形：
面积＝底×高S＝ah
三角形：
面积＝底×高÷2S＝
ah或S＝ah÷2
梯形：
面积＝（上底＋下底）×高÷2S＝
（a＋b）h或S＝（a＋b）h÷2
圆：
周长＝圆周率×直径C＝πd
周长＝圆周率×半径×2C＝2πr
面积＝圆周率×半径×半径S＝πr2
圆环：
面积＝大圆面积－小圆面积S＝πR2－πr2【R表示大圆半径，r表示小圆半径。
】
＝π（R2－r2）
11、立体图形的表面积和体积：
（面积用S表示，体积用V表示。
）
长方体：
表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2【相对的面相等，所以只需算出3个不同的面的和，再乘以2】
体积＝长×宽×高V＝abh
正方体：
表面积＝棱长×棱长×6S＝6a2
体积＝棱长×棱长×棱长V＝a3
圆柱：
侧面积＝周长×高S侧＝Ch或S侧＝πdh或S侧＝2πrh
底面积就是圆的面积S底＝πr2
表面积＝侧面积＋底面积×2S表＝S侧＋2S底
体积＝底面积×高V＝S底h或V＝πr
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