自然对数.docx

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自然对数

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自然对数

以常数e为底数的对数叫做自然对数，记作lnN（N>0）。

自然对数在物理学、生物学等自然科学中有重要的意义。

1数学表示方法

自然对数的一般表示方法为

数学中也常见以

表示自然对数。

若为了避免与基为10的常用对数混淆，可用“全写”

2概念

它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值

有关概念

自然对数的底数e是由一个重要极限给出的。

我们定义：

当n趋于无限时，

e是一个无限不循环小数，其值约等于2.718281828459…，它是一个超越数。

对数函数

当自然对数

中真数为连续自变量时，称为对数函数，记作

（x为自变量，y为因变量）.

e的级数展开式

易证明：

函数展开为x的幂级数（Maclaurin级数）是

；

特别地，当x=1时就得到了e的展开式

3意义

物理学意义

在热力学第二定律中，系统的宏观状态所对应的微观态的多少表现为宏观态的无序程度，同时也决定了宏观过程的方向性。

看起来，一个宏观状态对应的微观状态的多少是个很重要的物理量，它标志着这个宏观态的无序程度，从中还可以推知系统将朝什么方向变化。

物理学中用字母Ω表示一个宏观状态所对应的微观状态的数目。

为了研究方便，物理学家们用得更多的是一个与Ω相关的物理量，这就是今天常常听到的——熵（entropy），用字母S表示。

玻尔兹曼在1877年提出了熵与微观态的数目Ω的关系，即S∝lnΩ，后来普朗克把它写成了等式S=klnΩ，式中k叫做玻尔兹曼常量。

如前所述，既然微观态的数目Ω是分子运动无序性的一种量度，由于Ω越大，熵S也越大，那么熵S自然也是系统内分子运动无序性的量度。

在引入熵之后，关于自然过程的方向性就可以表述为：

在任何自然过程中，一个孤立系统的总熵不会减小。

这就是用熵的概念表示的热力学第二定律。

为此，不少人也把热力学第二定律叫做熵增加原理。

由熵的定义可以知道，熵较大的宏观状态就是无序程度较大的宏观状态，也就是出现概率较大的宏观状态。

在自发过程中熵总是增加的，其原因并非因为有序是不可能的，而是因为通向无序的渠道要比通向有序的渠道多得多。

把事情搞得乱糟糟的方式要比把事情做得整整齐齐的方式多得多。

要让操场上的一群学生按班级、按身高，或按任何规则来站队都是比较麻烦的：

每个学生都要找到自己的位置。

但是要让已经站好队的学生解散，那就非常简单：

每个学生随便朝一个方向跑去，队形就乱了。

从微观的角度看，热力学第二定律是一个统计规律：

一个孤立系统总是从熵小的状态向熵大的状态发展，而熵值较大代表着无序，所以自发的宏观过程总是向无序度更大的方向发展。

生物学意义

在连锁交换定律中，重组率或重组值是指双杂合体测交产生的重组型配子的比例，即重组率=重组配字数/总配子数（亲组合+重组和）×100%，重组是交换的结果，所以重组率（recombinationfraction）通常也称作交换率（crossingoverpercentage）或交换值。

可是仔细推敲起来，这两个数值是不尽相同。

如果我们假定，沿染色体纵长的各点上交换的发生大体上是随机的。

那么可以这样认为，如果两个基因座相距很近，由交换而分开较少，重组率就低；如果两基因座离开很远，交换发生的次数较多，重组率就高。

所以可以根据重组率的大小计算有关基因间的相对距离，把基因顺序地排列在染色体上，绘制出基因图。

生物学家就是这样做的。

如果有关的两个基因座在染色体上分开较远，举例说重组率在12%-15%以上，那么进行杂交试验时，其间可能发生双交换或四交换等更高数目的偶数交换，形成的配子却仍然是非重组型的。

这时如简单地把重组率看作数交换率，那么交换率就要被低估了。

因为遗传图是以1%交换率作为图距单位的，所以如交换率低估了，图距自然也随之缩小了，这就需要校正。

校正的公式较多，可根据自己得出的连锁与交换试验的结果，提出单是适用于某一生物的校正公式。

一般来说，一个合适的校正公式应该满足下列两个条件：

①最大的重组率不超过0.5或50%，因为这数值说明两个基因之间遵循自由组合定律；②较小的重组率应该大致上是加性的。

常用的的较简单的公式是Haldane推导的作图函数R=[1-e^（-2x）]/2，式中R代表重组率，x代表交换率。

这公式表示重组率与图距的关系，而图距的单位是1%交换率。

说明一下Haldane曲线的几点性质：

①曲线的起始一小段基本上是直线，斜率接近于1，重组率可以直接看作是图距，所以重组率是加性的。

②在曲线的曲度较大的区域，重组率就不是加性的了。

当图距比较大，两端的基因的重组率就要小于相邻两个重组率之和，即Rab+Rbc>Rac，例如abc是三个连锁基因，两两间的重组率R值是非加性的，0.23+0.32>0.40。

吧Haldane公式加以改写：

x=-ln（1-2R）/2，把上面R值代入公式，求得x值如下：

在0.31+0.51，稍大于0.81，x值大致上成为加性的了。

③标记基因间的图距很大时，重组率与图距无关，接近或等于1/2。

所以重组率大致代表交换率，但当重组率逐渐增大时，重组率往往小于交换率，需要加以校正。

在实际应用时，要看研究的生物而定。

像黑腹果蝇那样，各染色体上定位的基因已经很多，标记的区域已划分得很细，就无需用作图函数来校正了。

但对一种新的生物开始进行连锁研究，可供利用的标记基因很少，这是最好用作图函数来加以校正，以得到更接近实际的图距。

4历史

约翰·纳皮尔在1614年以及JostBürgi（英语：

JostBürgi）在6年后，分别发表了独立编制的对数表，当时通过对接近1的底数的大量乘幂运算，来找到指定范围和精度的对数和所对应的真数，当时还没出现有理数幂的概念，1742年WilliamJones（英语：

WilliamJones（mathematician））才发表了幂指数概念。

按后来人的观点，JostBürgi的底数1.0001相当接近自然对数的底数e，而约翰·纳皮尔的底数0.99999999相当接近1/e。

实际上不需要做开高次方这种艰难运算，约翰·纳皮尔用了20年时间进行相当于数百万次乘法的计算，HenryBriggs（英语：

HenryBriggs（mathematician））建议纳皮尔改用10为底数未果，他用自己的方法于1624年部份完成了常用对数表的编制。

形如f（x）=x的曲线都有一个代数反导数，除了特殊情况p=−1对应于双曲线的弓形面积（英语：

Quadrature（mathematics）），即双曲线扇形；其他情况都由1635年发表的卡瓦列里弓形面积公式（英语：

Cavalieri'squadratureformula）给出，其中抛物线的弓形面积由公元前3世纪的阿基米德完成（抛物线的弓形面积（英语：

TheQuadratureoftheParabola）），双曲线的弓形面积需要发明一个新函数。

1647年GrégoiredeSaint-Vincent（英语：

GrégoiredeSaint-Vincent）将对数联系于双曲线xy=1的弓形面积，他发现x轴上[a,b]两点对应的双曲线线段与原点围成的双曲线扇形同[c,d]对应的扇形，在a/b=c/d时面积相同，这指出了双曲线从x=1到x=t的积分f（t）满足：

1649年，AlphonseAntoniodeSarasa（英语：

AlphonseAntoniodeSarasa）将双曲线下的面积解释为对数。

大约1665年，伊萨克·牛顿推广了二项式定理，他将1/（1+x）展开并逐项积分，得到了自然对数的无穷级数。

“自然对数”最早描述见于尼古拉斯·麦卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也独立发现了同样的级数，即自然对数的麦卡托级数。

大约1730年，欧拉定义互为逆函数的指数函数和自然对数为：

5历史

e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。

以e为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。

我们可以从自然对数最早是怎么来的来说明其有多“自然”。

以前人们做乘法就用乘法，很麻烦，发明了对数这个工具后，乘法可以化成加法，即：

log（ab）=loga+logb。

但是能够这么做的前提是，我要有一张对数表，能够知道loga和logb是多少，然后求和，能够知道log多少等于这个和。

虽然编对数表很麻烦，但是编好了就是一劳永逸的事情，因此有个大数学家开始编对数表。

但他遇到了一个麻烦，就是这个对数表取多少作为底数最合适？

10吗？

或是2？

为了决定这个底数，他做了如下考虑：

1．所有乘数/被乘数都可以化到0-1之内的数乘以一个10的几次方，这个用科学记数法就行了。

2．那么只考虑做一个0-1之间的数的对数表了，那么我们自然用一个0-1之间的数做底数（如果用大于1的数做底数，那么取完对数就是负数，不好看）。

3．这个0-1间的底数不能太小，比如0.1就太小了，这会导致很多数的对数都是零点几；而且“相差很大的两个数的对数值却相差很小”，比如0.1做底数时，两个数相差10倍时，对数值才相差1。

换句话说，像0.5和0.55这种相差不大的数，如果用0.1做底数，那么必须把对数表做到精确到小数点以后很多位才能看出他们对数的差别。

4．为了避免这种缺点，底数一定要接近于1，比如0.99就很好，0.9999就更好了。

总的来说就是1-1/X，X越大越好。

在选了一个足够大的X（X越大，对数表越精确，但是算出这个对数表就越复杂）后，你就可以算

（1-1/X）1=P1，

（1-1/X）2=P2，

……

那么对数表上就可以写上P1的对数值是1，P2的对数值是2……（以1-1/X作为底数）。

而且如果X很大，那么P1,P2,P3……间都靠得很紧，基本可以满足均匀地覆盖了0.1-1之间的区间。

5．最后他再调整了一下，用（1-1/X）X作为底，这样P1的对数值就是1/X，P2的对数值就是2/X，……PX的对数值就是1，这样不至于让一些对数值变得太大，比如若X=10000,有些数的对数值就要到几万，这样调整之后，各个数的对数值基本在0-1之间。

两个值之间最小的差为1/X。

6．让对数表更精确，那么X就要更大，数学家算了很多次，1000，1万，十万，最后他发现，X变大时，这个底数（1-1/X）X趋近于一个值。

这个值就是1/e，自然对数底的倒数（虽然那个时候还没有给它取名字）。

其实如果我们第一步不是把所有值放缩到0.1-1之间，而是放缩到1-10之间，那么同样的讨论，最后的出来的结果就是e了---这个大数学家就是著名的欧拉（Euler），自然对数的名字e也就来源于欧拉的姓名。

当然后来数学家对这个数做了无数研究，发现其各种神奇之处，出现在对数表中并非偶然，而是相当自然或必然的。

因此就叫它自然对数底了。

6自然律

螺线

涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式，比如：

一缕袅袅升上蓝天的炊烟，一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪，数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……螺线表达自然律。

螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：

φkρ=αe。

其中，α和k为常数，φ是极角，ρ是极径，e是自然对数的底。

为了讨论方便，我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”。

因此，“自然律”的核心是e，其值为2.71828……，是一个无限不循环数。

自然律之美

“自然律”是e及由e经过一定变换和复合的形式。

e是“自然律”的精髓，在数学上它是函数：

（1+1/x）x

当X趋近无穷时的极限。

人们在研究一些实际问题，如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时，都要研究（1+1/x）x，当X趋近无穷时的极限。

正是这种从无限变化中获得的有限，从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时，上式的极限等于e=2.71828……，当X趋向负无穷大时候，上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式，充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西。

渊源及发展

1.宇宙与生命

现代宇宙学表明，宇宙起源于“大爆炸”，熵定律，即热力学第二定律相吻合。

熵定律指出，物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向，逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程。

退化的极限就是无序的平衡，即熵最大的状态，一种无为的死寂状态。

这过程看起来像什么？

只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解。

如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因，那么，可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织，或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条，历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程。

生命体的进化却与之有相反的特点，它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同，它使生命物质能避免趋向与环境衰退。

任何生命都是耗散结构系统，它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态，就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵。

新陈代谢中本质的东西，乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵。

2.自然律的价值

“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。

正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，“自然律”才在美学上有重要价值。

如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态，那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构。

因此，大漠使人感到肃穆、苍茫，令人沉思，让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃，让人感到生命的欢乐和幸福。

3.自然律的表达

e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达。

“自然律”的形象表达是螺线。

螺线的数学表达式通常有下面五种：

（1）对数螺线；

（2）阿基米德螺线；（3）连锁螺线；（4）双曲螺线；（5）回旋螺线。

对数螺线在自然界中最为普遍存在，其它螺线也与对数螺线有一定的关系，不过我们仍未找到螺线的通式。

对数螺线是1638年经笛卡尔引进的，后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它，发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线，极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线，等等。

伯努利对这些有趣的性质惊叹不止，竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上。

4.螺线的哲学

英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：

旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心，都是美的形状。

事实上，我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线。

为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢？

这难道不意味着我们的精神，我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗？

我们知道，作为生命现象的基础物质蛋白质，在生命物体内参与着生命过程的整个工作，它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷，是同其结构紧密相关的。

化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的，决定遗传的物质——核酸结构也是螺旋状的。

古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器，当它的琴弦在风中振动时，能产生优美悦耳的音调。

这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”。

让人深思的是，人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状。

这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗？

还有我们的指纹、发旋等等，这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应，也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础。

有人说数学美是“一”的光辉，它具有尽可能多的变换群作用下的不变性，也即是拥有自然普通规律的表现，是“多”与“一”的统一，那么“自然律”也同样闪烁着“一”的光辉。

谁能说清e=2.71828……给数学家带来多少方便和成功？

人们赞扬直线的刚劲、明朗和坦率，欣赏曲线的优美、变化与含蓄，殊不知任何直线和曲线都可以从螺线中取出足够的部分来组成。

有人说美是主体和客体的同一，是内在精神世界同外在物质世界的统一，那么“自然律”也同样有这种统一。

人类的认识是按否定之否定规律发展的，社会、自然的历史也遵循着这种辩证发展规律，是什么给予这种形式以生动形象的表达呢？

螺线！

5.自然律的哲学

有人说美在于事物的节奏，“自然律”也具有这种节奏；有人说美是动态的平衡、变化中的永恒，那么“自然律”也同样是动态的平衡、变化中的永恒；有人说美在于事物的力动结构，那么“自然律”也同样具有这种结构——如表的游丝、机械中的弹簧等等。

“自然律”是形式因与动力因的统一，是事物的形象显现，也是具象和抽象的共同表达。

有限的生命植根于无限的自然之中，生命的脉搏无不按照宇宙的旋律自觉地调整着运动和节奏……有机的和无机的，内在的和外在的，社会的和自然的，一切都合而为一。

这就是“自然律”揭示的全部美学奥秘吗？

不！

“自然律”永远具有不能穷尽的美学内涵，因为它象征着广袤深邃的大自然。

正因为如此，它才吸引并且值得人们进行不懈的探索，从而显示人类不断进化的本质力量。

（原载《科学之春》杂志1984年第4期，原题为：

《自然律——美学家和艺术家的瑰宝》）

7近似值

用计算机可以计算出e的近似值，如下：

0~500

e=2.71828182845904523536028747135266249775724709369995

95749669676277240766303535475945713821785251664274

27466391932003059921817413596629043572900334295260

59563073813232862794349076323382988075319525101901

15738341879307021540891499348841675092447614606680

82264800168477411853742345442437107539077744992069

55170276183860626133138458300075204493382656029760

67371132007093287091274437470472306969772093101416

92836819025515108657463772111252389784425056953696

77078544996996794686445490598793163688923009879312

500~1000

77361782154249992295763514822082698951936680331825

28869398496465105820939239829488793320362509443117

30123819706841614039701983767932068328237646480429

53118023287825098194558153017567173613320698112509

96181881593041690351598888519345807273866738589422

87922849989208680582574927961048419844436346324496

84875602336248270419786232090021609902353043699418

49146314093431738143640546253152096183690888707016

76839642437814059271456354906130310720851038375051

01157477041718986106873969655212671546889570350354

1000后

02123407849819334321068170121005627880235193033224

74501585390473041995777709350366041699732972508868

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