九年级下册教案doc.docx
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九年级下册教案doc
初三下册数学知识点总结
第一章直角三角形边的关系
一，锐角三角函数
1,正弦：
定义：
在RtAABC中，锐角ZA的放边与魁边的比叫做ZA的正弦,记作血A，即
.人ZA的对边
2,余弦：
定义：
在RtZABC中，锐角虫的邻边与斜边的比叫做虫的余弦，记作他韭，
即cosA=
ZA的邻边
斜边
3,正切：
定义:
在RtAABC'|＞，锐角ZA的对边与邻边的比叫做ZA的正切,记作tanA,
4,余切：
定义：
在RtAABC^,锐角ZA的邻边少对.边的比叫做ZA的余切，记作ggtA，即
cotA=
★①tanA是一个完整的符号，它表示ZA的正切，记号里习惯省去角的符号2”；
2kmA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中ZA的对边与邻边的比；
3tanA不表示“tarT乘以“A”；
4初中阶段，我们只学习直角三角形小，ZA是锐角的正切；
5（anA的值越大，梯子越陡，ZA越大；ZA越大，梯子越陡，tanA的值越大。
★—个锐角的正弦、余弦、正切、余切分别等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。
（通常我们称正弦、余弦互为余函数。
同样，也称正切、余切互为余函数，可以概括为:
一个锐角的三角函数等于它的余角的余函数）用等式表达：
若ZA为锐角，则
★利用特殊角的三角函数值表，可以看出，
（1）当角度在0°〜90°间变化吋，正弦值、正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值、余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）。
（2）0WsinciWl,OWcosciWl。
※同角的三角函数间的关系：
倒数关系:
商的关系:
平方关系:
tgCl•CtgU=1o
sinacosa
tga=,ctga=—
cosasince
an2Q+cos2Q=1.
二,仰角，俯角
1,仰角：
当从低处观测高处的目标时,
2,俯角：
当从高处观测低处的目标时,
h
3,坡角：
如图2,坡而与水平面的夹角叫做坡角（或叫做坡比）。
用字母i表示，即/=y=tanA
I
4,方位角：
从某点的指北方向按顺吋针转到F1标方向的水平角，叫做方位角。
如图3,0A、OB、0C的方位角分别为45°、135°、225°。
5,方向角：
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4,0A、OB、0C、0D的方向角分别是；北偏东30°,南偏东45°（东南方向）、南偏四为60°,北偏四60°o
三,解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和二个锐角。
1,解直角三角形：
由肯角三角形屮除肓•角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三和形。
2,边角关系：
在AABC中，ZC为直角，ZA、ZB、ZC所对的边分別为a、b、c,则有
（1）三边之间的关系：
a2+b2=c2；
（2）两锐角的关系：
ZA+ZB=90°；
（3）边与角之间的关系：
sinA=
a
9c
cosA,
c
.a
tanA=—,b
4DcotA=—;
a
h
a
h
a
sinB=
COSO=—,
tanB=
cotB=-
（4）面积公式:
Sa=」ab==ch（入为C边上的高）;
22
（5）直介三角形的内切圆半径r=a+h~c
2
（6）直角三角形的外接圆半径R=-c
2
三，解直角三角形的几种基本类型列表如下：
已知条件
解法
两条边
两条直角边&和b
c=7a2+b2,tgA=：
B=90°-A
b
一条直角边8和斜边C
b=7c2-a2sinA=—,c
B=90°
一条边和一个锐角
一条直角边8和锐角A
B=90°-A,c=亠，anA
b=a•etgA
斜边C和锐角A
B=90°4■a=c■sinA>
b=c■cosA
第二章二次函数一，二次函数的概念：
1,二次函数的定义：
形如y=ax'+Z?
x+c（d、b、c是常数,dHO）的函数，叫做x的二次函数。
自变量的取值范围是全体实数。
★在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式,
并确定自变量的取值范围。
二，y=ax2（a^O）是二次函数的特例，此吋常数b二c=0.
★二次函数y=ax?
的图象是一条顶点在原点关于y轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线。
描述抛物线常从开口方向、对称性、y随x的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x轴的交点等方面来描述。
1函数的取值范围是全体实数；
2抛物线的顶点在（0,0）,对称轴是y轴（或称直线x=0）o
3当a>0时，抛物线开口向上，并月•向上方无限伸展。
当aVO时，抛物线开口向卜，并且向卜•方无限伸展。
4函数的增减性：
A、当a>0时］
SO时,y随兀增大而减小;>0时,y随兀增大而增大.
x（）时,y随兀增大而减小.
5当丨aI越人，抛物线开口越小；
当丨a丨越小，抛物线的开口越大。
6最大值或最小值：
当a>0,fLx=0时函数冇最小值，最小值是0；
当a<0,且x=0时函数有最人值，最犬值是0。
三,二次函数y=ax?
+c的图象是一条顶点在y轴上且与y轴对称的抛物线
h
1二次函数y=d兀2+bx+c的图彖是以％二为对称轴,
2a
b4ac—b~
2顶点在（-匕，）的抛物线。
（开口方向和大小由a來决定）
2a4a
3bl的越人，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越快;lai的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y轴，y随x增长（或下降）速度越慢。
4二次两数y=ax2+c的图象屮，
a的符号决定抛物线的开口方向，
lai决定抛物线的开口程度人小，
c决泄抛物线的顶点位査，即抛物线位置的高低。
四，二次函数y=ax2+/?
x+c的性质:
二次函数y=ax2+bx+c
1对称轴：
x=-—
2a
2顶点坐标：
（丄,仏"）
2d4a
3增减性：
若a〉0,则当x<———时,y随x的增大而减小;2a
当X>-A吋，y随x的增大而增大。
2a
若乳0,则当x<-A时，y随x的增人而增人；
2a
当x>-—时，y随x的增大而减小。
2a
五，二次函数的平移:
1
将y=ax2+Z?
x+c配方成y=。
（兀一力）2+k的形式；
2把抛物线y=ax2向右（h>0）或向左（hvO）平移Ihl个单位，得到y=a（x-h）2的图象;
3再把抛物线y=a（x-h）2向上（k>0）或向下（kvO）平移Ikl个单位，便得到
y=a（x-h）2+k的图象。
★自变量x左加右减应变量y上加下减
六，画二次函数y=ax2-^-bx+c的图象：
1,我们可以利用它与函数y=的关系，平移抛物线而得到，
2,但往往我们采用简化了的描点法■…五点法来画二次函数来画二次函数的图象，其步骤如下：
1先找出顶点（丄,w）,画出对称轴x=-A.
2a4a2a
2找出图彖上关于直线x=-A对称的四个点（如与坐标的交点等）；
2a
3把上述五点连成光滑的曲线。
七，图象与x轴交点和一元二次方程根的关系：
1,二次函数y=ax2^bx+c的图彖（抛物线）与x轴的两个交点的横坐标"，x?
是对应一
元二次方程d/+加+c=0的两个实数根
2,抛物线与x轴的交点情况町以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
b2-4ac>0<===>抛物线与x轴有2个交点；
h2-4ac=0<===>抛物线与x轴冇1个交点;
b~-4ac<0<===>抛物线与x轴有0个交点（无交点）；
3,当b2-4ac>0时，设抛物线与x轴的两个交点为A、B,则这两个点之间的距离：
IAB1=1X）+X2\=J（%2—兀1）2=J（X[+兀2）2_4尢1兀2
化简后即为：
IAB\=^b2~4ac（b2-4ac>0）这就是抛物线与X轴的两交点Z
IaI
间的距离公式。
八，最值问题：
1,根据顶点式可得
2,二次函数的最大值或最小值可以通过将解析式配成y=a（x-h）2+k的形式求得，
3,可以借助图彖观察。
★解决最人（小）值问题的基木思路是：
1理解问题；
2分析问题中的变量和常屋，以及它们Z间的关系；
3用数学的方式表示它们之间的关系；
4做数学求解；
5检验结果的合理性、拓展性等。
第三章圆
1.圆的定义：
1,描述性定义：
在一个平面内，线段0A绕它固定的一个端点O旋转一周，另一•个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点0为圆心的圆，记作00,读作“鬪0”
2,集合性定义：
圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。
其屮定点叫做圆心，定
长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。
3,对圆的定义的理解：
①圆是一条封闭111J线，不是圆而；
②圆由两个条件唯一确定：
一是圆心（即定点），二是半径（即定长）
2.与圆相关的概念：
1弦和直径：
弦：
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
肓径：
经过圆心的弦叫做肓径。
2弧、半圆、优弧、劣弧：
弧：
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“一”表示，以CD为端点的弧记为“三方”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。
半圆：
直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。
优弧：
大于半圆的弧叫做优弧。
劣弧：
小于半圆的弧叫做劣弧。
（为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。
）
3弓形：
弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。
4同心圆：
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。
5等圆：
能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。
6等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。
7圆心角：
顶点在圆心的角叫做圆心角.
8弦心距:
从圆心到弦的距离叫做弦心距.
★垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：
平分弦（不是宜径）的直径垂肓于弦，并且平分弦所对的两条弧。
说明：
根据垂径定理与推论可知对于一•个圆和一条直线來说，如果具备：
1过圆心；②垂直于弦：
③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。
上述五个条件中的任何两个条件都可推出其他三个结论。
★定理：
在同圆或等圆屮，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。
推论：
在同圆或等圆中，如果两个圜心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中冇一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
三，圆的对称性：
1,圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。
2,圆是屮心对称图形，对称屮心是圆心。
3.圆周角和圆心角的关系：
探1・1°的弧的概念：
把顶点在圆心的周角等分成360份吋，每-•份的角都是1。
的圆心角，相应的整个圆也被等分成360份,每一份同样的弧叫1°弧.
探2.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
这里指的型度数与弧的度数相等，而不是角与弧相等.即不能写成
ZAOB=庖这是错误的.
給圆周角的定义:
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角，叫做圆周角.
※心圆周角定理：
—•条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
※推论1：
同弧或等弧所对的圆周角相等；反Z,在同鬪或等鬪中，相等鬪周角所对的弧也相等；
※推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所対的弦是直径；
二，点与圆的位置关系及其数量特征:
如果圆的半径为「点到圆心的距离为d,则
1点在圆上<===>d=r;
2点在圆内<===>d3点在圆外<===>d>r.
其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这儿个点
与一个定点、的距离相等。
※四.确定圆的条件:
探1.理解确定一个圆必须的具备两个条件:
圆心和半径，圆心决定圆的位置，半径决定圆的人小.
经过一点可以作无数个圆,经过两点也可以作无数个圆，其圆心在这个两点线段的垂直平分线上.
探2・经过三点作圆要分两种情况：
（1）经过同一直线上的三点不能作圆.
（2）经过不在同一直线上的三点，能且仅能作一个圆.
※定理：
不在同一肓线上的三个点确定一个圆.
探3.三角形的外接圆、三角形的外心、鬪的内接三角形的概念：
（1）三角形的外接圆利圆的内接三角形：
经过一个三角形三个顶点的圆叫做这个三角形的外接圆，这个三角形叫做圆的内接三角形.
（2）三角形的外心:
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
（3）三介形的外心的性质:
三介形外心到三顶点的距离相等.
5.直线与圆的位置关系
探1.直线和圆相交、相切相离的定义：
⑴相交：
直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线.
⑵相切：
宜线和圆有怖一公共点时，叫做宜线和圆和切，这时肓线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.
⑶相离：
直线和圆没有公共点吋,叫做直线和圆相离.
探2.直线与圆的位置关系的数量特征：
设。
0的半径为r,圆心0到直线的距离为d；
®d宜线L和OO相交.
2d=r<===>直线L和<30相切.
3d>r<===>直线L和<30相离.
探3.切线的总判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.
※厶切线的性质定理：
圆的切线垂直于过切点的半径.
※推论1经过圆心且垂肓于切线的肓线必经过切点.
※推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如卜•结论：
如果一条直线具备下列三个条件屮的任意两个，就可推出第三个.
①垂直于切线；②过切点；③过圆心.
探5.三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.
探6.三角形内心的性质：
⑴三角形的内心到三边的距离相等.
（2）过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.
由此性质引出一条重要的辅助线：
连接内心和三角形的顶点，该线平分三角形的这个内角.
6.圆和圆的位置关系.
探1.外离、外切、相交、内切、内含（包括同心圆）这五种位置关系的定义.
⑴外离：
两个圆没冇公共点拼H•每个圆上的点都在期一个圆的外部时，叫做这两个圆外离.
⑵外切：
两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外切.这个惟一的公共点叫做切点.
（3）相交：
两个圆有两个公共点，此时叫做这个两个圆相交.
（4）内切：
两个圆有惟一的公共点，并且除了这个公共点以外，一•个圆上的都在另一个圆的内部
时，叫做这两个圆内切•这个惟一的公共点叫做切点.
（5）内含：
两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做这两个圆内含.
两圆同心是两圆内的一个特例.
探2.两圆位置关系的性质与判定：
（1）两圆外离<===>d>R+r
（2）两圆外切<===>d=R+r
（3）两圆和交v===>R-rvdvR+「（RMr）
（4）两圆内切<===>d=R-r（R>r）
（5）两圆内含<===>dr）
組相切两圆的性质:
如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上.※厶相交两圆的性质：
相交两圆的连心线垂直平分公共弦.
7.弧长及扇形的面积
探1.圆周长公式：
圆周长C=2龙R（R表示圆的半径）
探2.弧长公式：
弧长［=怛（R表示圆的半径,n表示弧所对的関心角的度数）
180
探3.扇形定义：
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形.※彳弓形定义：
rti弦及其所对的弧纽成的图形叫做弓形.
弓形弧的屮点到弦的距离叫做弓形高.
※厶.圆的面积公式.
圆的而积S=7iR（R表示圆的半径）
※点.扇形的而积公式：
2
扇形的面积Sep=也_（R表示圆的半径,n表示弧所対的圆心角的度数）
皿360
=—cl=—•2m'l=tttI
22
S表=S侧+S底面=mi十加2=7cr（r+1）
QJl.与圆有关的辅助线
1.如圆中有弦的条件，常作弦心距，或过弦的一端作半径为辅助线.
2.如圆中有直径的条件，可作出直径上的圆周角.
3.如一个圆有切线的条件，常作过切点的半径（或直径）为辅助线.
4.若条件交代了某点是切点时，连结圆心和切点是最常用的辅助线.
。
十.圆内接四边形
若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆.
闘内接四边形的特征：
①圆内接四边形的对角互补；
②圆内接四边形任意一个外角等于它的内错角.
※十一.北师版数学未出现的有关圆的性质定理A
1.切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和笔丁爲邈平分两条切线的夹角。
/
如图6,VPA,PB分别切。
0于A、B
一_4_
・・・PA=PB,PO平分ZAPB
r
2.弦切角定理：
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
推论：
如果两个弦切介所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。
如图7,CD切＜30于C,贝ij,ZACD=ZB图6
3.和圆有关的比例线段：
1相交弦定理：
圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等；
2推论：
如果弦与肓径垂肓相交，那么弦的一半是它分肓径所成的两条线段的比例屮项。
如图8,AP・PB二CP・PD
如图9,若CD丄AB于P,AB为＜30直径，则CP2=AP*PB
4.切割线定理
1切割线定理，从圆外一点引I员I的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；
2推论：
从圆外一点引鬪的两条割线，这一点到每条割线与鬪的交点的两条线段氏的积相等。
如图10,①PT切OO于T,PA是割线，点A、B是它与OO的交点，则PT2=PA*PB②PA、PC是00的两条割线，则PD・PC=PB・PA
5.两圆连心线的性质
1如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，或者说，连心线过切点。
2如果两圆和交，那么连心线垂直平分两圆的公共眩。
如图11,OOi与002交于A、B两点，则连心线01。
2丄AB且AC=BCo
6.两圆的公切线
两圆的两条外公切线的长及两条内公切线的长相等。
如图12,AB分别切00|与002于A、B,连结0】A,02B,过O2作O2C丄0]A于C,
公切线长为/,两圆的圆心距为d,半径分别为/?
r则外公切线长：
如图13,AB分别切OO|与Of）?
于A、B,O2C//AB,O2C丄O|C于C,G>0］半径为
R,（DO?
半径为r,则内公切线氏：
L=Jd2_（R+r）2
次数很多时，实验频率接近于理论概念，但实验次数再多，也很难保证实验结果打理论值相等,这就是“随机事件”的特点・三.游戏公平吗？
1.游戏的公平性是指游戏双方各有5（）%贏的机会，或者游戏多方赢的机会相等.
2.表示一个事件发生的可能性人小的数叫做该事件的概率.一个事件发生的概率取值在（）与
1之间.
3.概率的预测的计算方法:
某事件A发生的概率:
事件A包含的基本事件的个数
基本事件的总数
4.用分析的办法求事件发生的概率要注意关键性的两点:
（1）要弄清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果；
（2）要弄清楚所冇机会均等的结果.
（注：
※表示重点部分；。
表示了解部分；◎表示仅供参阅部分；）
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