第四讲 一元一次方程Word下载.docx

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　　一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：

（2）若a=0，且b=0，方程变为0·

x=0，则方程有无数多个解；

　　（3）若a=0，且b≠0，方程变为0·

x=b，则方程无解．

　　例1解方程

　　解法1从里到外逐级去括号．去小括号得

　　去中括号得

　　去大括号得

　　解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得

　　化简为

　　去小括号得

　　例2已知下面两个方程

3（x+2）=5x，①

4x-3（a-x）=6x-7（a-x）②

　　有相同的解，试求a的值．

　　分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．

　　解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有

4×

3-3（a-3）=6×

3-7（a-3），

7（a-3）-3（a-3）=18-12，

　　例3已知方程2（x+1）=3（x-1）的解为a+2，求方程2[2（x+3）-3（x-a）]=3a的解．

　　解由方程2（x+1）=3（x-1）解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有

2[2（x+3）-3（x-3）]=3×

3，-2x=-21，

　　例4解关于x的方程（mx-n）（m+n）=0．

　　分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．

　　解把原方程化为

m2x+mnx-mn-n2=0，

整理得m（m+n）x=n（m+n）．

　　当m+n≠0，且m=0时，方程无解；

　　当m+n=0时，方程的解为一切实数．

　　说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．

　　例5解方程

（a+x-b）（a-b-x）=（a2-x）（b2+x）-a2b2．

　　分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．

　　解将原方程整理化简得

（a-b）2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，

　　即（a2-b2）x=（a-b）2．

（1）当a2-b2≠0时，即a≠±

b时，方程有唯一解

（2）当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；

若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．

　　例6已知（m2-1）x2-（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199（m+x）（x-2m）+m的值．

　　解因为（m2-1）x2-（m+1）x+8=0是关于x的一元一次方程，所以

m2-1=0，即m=±

1．

（1）当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为

199（1+4）（4-2×

1）+1=1991；

（2）当m=-1时，原方程无解．

　　所以所求代数式的值为1991．

　　例7已知关于x的方程a（2x-1）=3x-2无解，试求a的值．

　　解将原方程变形为

2ax-a=3x-2，

　　即（2a-3）x=a-2．

　　由已知该方程无解，所以

　　例8k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？

来确定：

（1）若b=0时，方程的解是零；

反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．

（2）若ab＞0时，则方程的解是正数；

反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．

　　（3）若ab＜0时，则方程的解是负数；

反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．

　　解按未知数x整理方程得

（k2-2k）x=k2-5k．

　　要使方程的解为正数，需要

（k2-2k）（k2-5k）＞0．

　　看不等式的左端

（k2-2k）（k2-5k）=k2（k-2）（k-5）．

　　因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．

　　例9若abc=1，解方程

　　解因为abc=1，所以原方程可变形为

　　化简整理为

　　说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．

　　例10若a，b，c是正数，解方程

　　解法1原方程两边乘以abc，得到方程

　　ab（x-a-b）+bc（x-b-c）+ac（x-c-a）=3abc．移项、合并同类项得

ab[x-（a+b+c）]+bc[x-（a+b+c）]

+ac[x-（a+b+c）]=0，

　　因此有

[x-（a+b+c）]（ab+bc+ac）=0．

　　因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以

x-（a+b+c）=0，

　　即x=a+b+c为原方程的解．

　　解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到

　　其余两项做类似处理．

　　设m=a+b+c，则原方程变形为

　　所以

　　即

x-（a+b+c）=0．

所以x=a+b+c为原方程的解．

　　说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．

　　例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：

　　分析要解此方程，必须先去掉[]，由于n是自然数，所以n与（n+1）

　　…，n[x]都是整数，所以x必是整数．

　　解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为

　　合并同类项得

　　故有

所以x=n（n+1）为原方程的解．

　　例12已知关于x的方程

　　且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．

　　解由原方程可解得

a最小，所以x应取x=160．所以

　　所以满足题设的自然数a的最小值为2．

练习四

　　1．解下列方程：

*

　　2．解下列关于x的方程：

（1）a2（x-2）-3a=x+1；

　　4．当k取何值时，关于x的方程3（x+1）=5-kx，分别有：

（1）正数解；

（2）负数解；

（3）不大于1的解．