专题几何不等式.docx
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专题几何不等式
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专题：
几何不等式
平面图形中所含的线段长度、角的大小及图形的面积在许多情形下会
呈现不等的关系.由于这些不等关系出现在几何问题中，故称之为几何不
在解决这类问题时，我们经常要用到一些教科书中已学过的基本定理，本讲的主要目的是希望大家正确运用这些基本定理，通过几何、三角、代数等解题方法去解决几何不等式问题.这些问题难度较大，在解题中除了运用不等式的性质和已经证明过的不等式外，还需考虑几何图形的特点和性质.
几何不等式就其形式来说不外乎分为线段不等式、角不等式以及面积不等式三类，在解题中不仅要用到一些有关的几何不等式的基本定理，还需用到一些图形的面积公式.下面先给出几个基本定理.
定理1在三角形中，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三
边.
定理2同一个三角形中，大边对大角，小边对小角，反之亦然.
定理3在两边对应相等的两个三角形中，第三边大的，所对的角也大，反之亦然.
定理4三角形内任一点到两顶点距离之和，小于另一顶点到这两顶点距离之和.
定理5自直线I外一点P引直线I的斜线，射影较长的斜线也较长，反之，斜线长的射影也较长.
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说明如图2-135所示.PAPB是斜线，HA和HB分别是PA和PB在
l上的射影，若HA>HB贝UPA>PB若PA>PB贝UHA>HB事实上，
由勾股定理知
pA-hA^p^pOhb2,
所以
pA-pbTAhb2.
从而定理容易得证.
定理6在厶ABC中，点P是边BC上任意一点，则有
PACmax{AB,AC，
当点P为A或B时等号成立.
说明max{AB,AQ表示ABAC中的较大者，如图2-136所示，若
P在线段BH上，则由于PHCBH由上面的定理5知PACBA从而
PACmax{AB,AC.
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同理，若P在线段HC上，同样有PACmax{ABAQ
例1在锐角三角形ABC中,AB>ACAM为中线，P为厶AMC内一点,
证明：
PB>PC（图2-137）.
证在厶AMBW^AMC中,AM是公共边，BM=M,且AB>AC,由定理3知，/AM>ZAMC所以/AMC：
90°.
过点P作PH!
BC，垂足为H,则H必定在线段BM的延长线上.如果
H在线段MC内部，则
BH>BM=M>HC
如果H在线段MC的延长线上，显然BH>HC所以PB>PC.
例2已知P是厶ABC内任意一点（图2-138）.
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⑴求证：
舟（a-Fb+c）
A+PB+PC
va+b+c；
⑵若厶ABC为正三角形，且边长为1,求证：
PA+P+PCV2.
证
（1）由三角形两边之和大于第三边得
PA+PB>c,PB+POa,PC+PA>b.把这三个不等式相加，再两边
除以2,便得
PA+PB+PC>|+O.
又由定理4可知
PA+PBPC+PVc+a.
把它们相加，再除以2,便得
PA+PB+PCVa+b+c.
所以
|（a-Fb+c）（2）过P作DE//BC交正三角形ABC的边AB,AC于D,E,如图2-138所示•于是
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PA所以
PBPA^PB+PC=AB+AE+EC=2
图E-139
例3如图2-139.在线段BC同侧作两个三角形ABCffiDBC使得AB=AC
DB>DC且AB+AC=D+DC若AC与BD相交于E,求证：
AE>DE
证在DB上取点F,使DF=AC并连接AF和AD由已知2DB>DB+DC
=AB+AC=2AC
所以DB>AC
由于DB^DC=A+AC=2AC所以
DC+BF=AC=AB
在厶ABF中,
AF>AB-BF=DC
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在厶ADCffiAADF中，
AD=ADAC=DFAF>CD
由定理3,Z1>Z2,所以
AE>DE
例4设G是正方形ABCD勺边DC上一点，连结AG并延长交BC延长线于K,求证：
1
-（AG+AK）>AC.
分析在不等式两边的线段数不同的情况下，一般是设法构造其所
对应的三角形，转化为角的不等式，即构造以4（AG+AK）利AC
2为边
的三角形.
证如图2-140，在GK上取一点M使GM=MK则
g（AG+AK）=AM.
在Rt△GCKKCM是GK边上的中线，所以
/GCMHMGC
而/ACG=45，/MG>ZACG于是
/MG>45°，
所以
/ACM/ACGbZGC>90
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SE-140
由于在△ACM中/ACM>/AMC所以AM^AC.故
|（AG+AK）>AC.
例5如图2-141.设BC是△ABC的最长边，在此三角形内部任选一
点O,AOBQC0分别交对边于A,B,C.证明：
⑴0A'+OB+OCvBQ
（2）0A'+OB+OC证
（1）过点O作OXOY分别平行于边ABAC,交边BC于X,丫点,再过X,Y分别作XS,YT平行于CC和BB'交AB,AC于S,T.由于△OXYo^ABC所以XY是△OXY的最大边，所以
OAvmax{OXOY又厶BXS^^BCC,而BC是△BCC中的最大边，从而BX也是△BXS
中的最大边，而且SXOC是平行四边形，所以
BX>XS=OC.
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同理
所以
OA+OB+OCvX许BX+CY=BC
”5OA1OB'OC由工
⑵令巫％莎“而7由于
OA1OB:
IOCd
M+VZ■1-■1
AA'BB1CC
所以
OA+OB+OC=x•AA+y•BB+z•CC
<（x+y+z）max{AA,BB,CC}
=max{AA,BB,CC}
下面我们举几个与角有关的不等式问题.
例6在厶ABC中,D是中线AM上一点，若/DCB>ZDBC求证：
/
ACB>ZABC图2-142）.
证在厶BCD中，因为/DC>/DBC所以BD>CD
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在厶DMBfADMC中,DM为公共边，BM=M,并且BD>CD由定理3知，/DM>ZDMC在厶AMBW^AMC中,AM是公共边，BM=M,C且/AMB>ZAMC由定理3知，AB>AC所以
/ACB>ZABC
说明在证明角的不等式时，常常把角的不等式转换成边的不等式.
例7在AABC中，若AB<求证’
J
ZACB<丄厶ABC.
2
证由于AC>AB,所以/B>ZC.作/ABDMC,如图
-143所示.欲证ZACE<丄/A3G只需uEZACB2
所以
即证BD/CD因为△BAD^ACAB
^=^>2
BDAB
即BC>2BD
又CD>BC-BD
BC+CD>2B»BC-BD
所以
所以CD>BD
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从而命题得证.
例8在锐角△ABC中，最大的高线AH等于中线BM求证：
/BV60
（图2-144）.
证作MH丄BC于H，由于M是中点，所以
于是在Rt△MFB中,
/MBI430。
延长BM至N,使得MN二BM则ABCh为平行四边形.因为AH为最大高，由三甬形的面积公式（3=1^==|chc3知，BCSAABC中的最短边，所以
AN=BC：
AB
从而
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/ABN：
/ANB=/MBC=30,
/B=/ABM/MB：
60°.
下面是一个非常著名的问题一一费马点问题.
例9如图2-145.设OABC内一点，且
/AOB/BOC/COA=120,
P为任意一点（不是O）.求证：
PA^PB+PC>OA+OB+OC
证过厶ABC的顶点A,B,C分别引OAOBOC的垂线，设这三条垂
线的交点为Ai,Bi,C（如图2-145），考虑四边形AOBC因为
/OA®/OBO90°,/AOB=120,
所以/C=60°.同理，/A二/Bi=60°.所以△A1B1C伪正三角形.
设P到厶ABG三边BC,CA,AB的距离分别为ha,hb,he,且厶ABC
的边长为a,高为h.由等式
SAABC=SAPBC+SAPCA+SAPAB
知
-ha=—f+丄屛ha+—hra
22Q2L2c
所以h=ha+hb+he.
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这说明正厶ABC内任一点P到三边的距离和等于△ABC的高h,这
是一个定值，所以
OA0聊OC=h=e值.
显然，PA+PB+POP到厶A1B1C1三边距离和，所以
PA+PB+POh=0外0聊0C
这就是我们所要证的结论.
由这个结论可知0点具有如下性质：
它到三角形三个顶点的距离和小于其他点到三角形顶点的距离和，这个点叫费马点.
练习二十三
1.设D是厶ABC中边BC上一点，求证：
AD不大于△ABC中的最大边.
2.人“是厶ABC的中线，求证：
3.已知△ABC的边BC上有两点D,E,且BD=CE求证：
AB+AOAD+AE
4.设厶ABC中,/C>ZB，BDCE分别为/B与/C的平分线，求证：
BD>CE
5.在△ABC中,BE和CF是高，AB>AC，求证：
AB+CRAC+BE
6.在△ABC中,AB>AC,AD为高，P为AD上的任意一点，求证:
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PB-PQAB-AC
7•在等腰厶ABC中,AB=AC
⑴若M是BC的中点，过M任作一直线交ABAC（或其延长线）于D,
E,求证：
2AB（2）若P是厶ABC内一点，且PB/APB>ZAPC
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