曲柄摇杆机构优化设计.docx
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曲柄摇杆机构优化设计
得分
课程作业
曲柄摇杆优化设计
姓名：
宋*
学号：
2012138229
班级：
20121057
三峡大学机械与动力学院
1.曲柄摇杆机构优化设计题目要求 ............................................................................1
2.课题描述 ....................................................................................................................2
3.数学模型的建立 ........................................................................................................3
3.1 设计变量的确定 ..............................................................................................3
3.2 约束条件的建立 ..............................................................................................3
3.3 目标函数的建立 ..............................................................................................6
4.数学模型的建立 ........................................................................................................8
5.用 matlab 优化计算程序及分析讨论 .......................................................................8
5.1 讨论及结果分析 ..............................................................................................9
5.2.程序代码过程 ................................................................................................12
6.参考文献 .................................................................................................................10
小结 .............................................................................................................................12
1.曲柄摇杆机构优化设计题目要求
要求设计一曲柄摇杆机构，当曲柄由ϕ0 转到ϕ0 +90°时，摇杆的输出角实现如
下给定的函数关系：
ψ = ψ 0 +
2
3π
（ϕ - ϕ0 ）2
（1）
式中ϕ0 和ψ 0 分别为对应于摇杆在右极限位
置时曲柄和摇杆的位置角，它们是机架杆 l4
为原线逆时针度量的角度，见图 1。
要求在该区间的运动过程中的最小传动角不
得小于 45°，即：
γ min ≥ [γ ] = 45︒
通常把曲柄的长度当成单位长度，即 l1=1。
另外，根据机构在机器中的许
可空间，可以适当预选机架杆的长度，现取 l4 =5。
2.课题描述
π
2
π
2
应的分为 m 分，然后我将输出角对应的数值与期望函数进行拟合，如果误差降
到最小，那么得到的结果将会是优化的解，这是将连续型函数转化为离散型的
问题，利用 matalab 编程计算，从而求解。
运动模型如图
（1）所示
图
（1）曲柄摇杆机构运动模型图
3.数学模型的建立
3.1 设计变量的确定
定义：
设计变量是除设计常数之外的基本参数，在优化设计过程中不断地进行
修改、调整、一直处于变化的状态，这些基本参数都叫做设计变量。
对于本课题，设计常量为 l1, l2 长度，分别为 1 和 5。
决定机构部分杆长尺寸 l2 , l3 ，
以及摇杆按照已知运动规律开始运动时曲柄所处的位置角ϕ0 应该列为设计变量
即为
X= [x1
x2
T
T
由于整个机构的杆长都是按比例来设计的，他们都是 1 的倍数，按照题目要求
曲柄的初始位置为极位角，即ϕ0 。
则可以根据曲柄摇杆机构各杆长度关系得到
ϕ0 和相应的摇杆 l3 位置角ψ 0 的函数，关系式为
⎣2（l1 + l2 ）l4⎦
⎣2l3l4⎦
（2）
（3）
由已知条件可知 l1, l2 长度分别为 1 和 5，而根据公式
（2）（3）可知，ϕ0 ψ 0
是由 l2 , l3 的长度来决定，所以 l2 , l3 为独立变量，则可以确定本课题的设计变量
X= [x1
T
T
3.2 约束条件的建立
定义：
如果一个设计满足所有对它提出的要求，成为可行设计；一个可行设计
必须满足某些设计限制条件，这些限制条件做为约束条件。
对本题分析可知机构要满足两个约束条件即
①杆长条件满足曲柄摇杆机构存在条件②传动角满足最小传动角大于 45 度
γ min ≥ [γ ] = 45︒
（1）杆长条件满足曲柄摇杆机构存在条件则有
a.最短杆与最长杆长度之和应小于或等于其余两杆之和
b.连架杆与机架中至少有一杆是最短杆
当最短杆为曲柄时即满足曲柄摇杆存在条件，得到以下约束条件
g1（x） = l2 ≥ 0 = -x1 ≤ 0
（4）
g2 （x） = l3 ≥ 0 = -x2 ≤ 0
g3 （x） = l1 + l4 - l2 - l3 ≤ 0 = 6 - x1 - x2 ≤ 0
g4 （x） = l2 + l1 - l3 - l4 ≤ 0 = x1 - x2 - 4 ≤ 0
g5 （x） = l3 + l1 - l2 - l4 ≤ 0 = x2 - x1 - 4 ≤ 0
（5）
（6）
（7）
（8）
（1）传动角满足最小传动角大于 45 度 γ min ≥ [γ ] = 45︒ （注：
以本机构为例，传
动角为 l2 , l3 之间所夹的锐角；机械原理，西工大版）
①当曲柄在[0,π ） 时，如图
（2）所示
图
（2）左极限最小传动角示意图
相应的传动角约束条件为
0
2 2
2l2l3
- [ ]≤ 0
（9）
②当曲柄在 （π ,2π ] 区间上运动时，相应的传动角约束条件为，如图（3）
图（3）右极限最小传动角示意图
⎣2l2l3⎦
（10）
这是一个具有 2 个设计变量，7 个不等式约束条件的优化设计问题，可以选用
约束优化方程成语来计算。
3.3 目标函数的建立
定义：
满足所有约束条件的设计方案是可行设计方案，优化设计的任务就是要
对各个设计方案进行比较，从而找出那个最佳的设计方案。
而对设计方案进行
优劣比较的标准就是目标函数，或称为评价指标、评价函数。
针对本课题，目标函数可根据已知的运动规律和机构实际运动规律之间的偏差
最小作为指标来建立，即取机构的期望输出角ψ = f0 （ϕ0 ） 和实际输出角
ψi = fi （ϕ0 ） 的平方误差积分最小作为目标函数，表达式为 ⎰ϕ
ϕ0 +
0
π
2
（ψ Ei -ψ i ）2 dϕ ，
而这时一个连续型函数，为了方便计算，我们将这个问题转化为离散型的问题。
把输入角度ϕ 取 m 个点进行数值计算，它可以化约（4）表达式最小来求解。
f （x） = f （x1, x2 ） = ∑ （ψEi -ψi ）2
m
i=1
ψ Ei --------期望输出角，ψ Ei =ψ E （ϕi ） ；
m--------输入角的等分数；
ψ i -------实际输出角，由公式
（1）可知；
（11）
由曲柄的运动情况，可以分成三种运动模型，一种是在曲柄在机架之上运动，
另一种是曲柄在机架下面运动，最后一种是二者都满足。
我将分别对此讨论，
写出相应的目标函数并分析前两种结果对最终结果的影响。
（1）当 0 ≤ ϕi ≤ π 时，如图（4）
图（4）曲柄在 0 ≤ ϕi ≤ π 区间模型图
实际输出角为
ψ i = π - αi - βi
（0 ≤ ϕi ≤ π ）
（12）
⎣2ρil3⎦⎣2ρi x2⎦
（13）
⎡
⎣
⎥
⎦
⎡ ρ 2 + 24 ⎤
⎥
（14）
ρi = l12 + l42 - 2l1l4 cosϕi = 26 -10 cosϕi
（15）
π
2
这里我将输出角的等分数设置成 30，则 可以表示出实际输入角
2m
的函数为
ϕi = ϕ0 +
iπ
60
（16）
（2）当 π ≤ ϕi ≤ 2π 时，如图（5）
图（5）曲柄在 π ≤ ϕi ≤ 2π 区间运动模型图
实际输出角为
ψ i = π - αi + βi
[π ≤ ϕi ≤ 2π ）
（17）
⎩ψi =π-αi +βi[π ≤ϕi ≤ 2π ）
目标函数：
f （x） = f （x1, x2 ） = ∑ （ψEi -ψi ）2 → min
αi , βi , ρi ,ϕi 表达式如（13）（14）（15）（16）所示。
（3）当
（1）
（2）两种情况都综合考虑进去时，则应该表示为
⎧ ψ i = π - αi - βi[0 ≤ ϕi ≤ π ）
⎨
（18）
αi , βi , ρi ,ϕi 表达式如（13）（14）（15）（16）所示。
4.数学模型的建立
通过上面的分析后，将输入角分成 30 等分（m=30），经过转化为标准形式
得到曲柄摇杆机构优化设计标准数学模型为
m
i=1
设计变量：
[x1
T
T
约束条件：
见公式（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）
机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化问题，此为非线性约束优化
问题，运用 MATLAB 优化工具箱的命令函数 fmincon 来处理有约束的非线性多
元函数最小化优化问题。
5.用 matlab 优化计算程序及分析讨论
5.1 讨论及结果分析
（1）当曲柄在 0 ≤ ϕi ≤ π 运动时
猜想 1.由于曲柄的实际输出角ψ i 的范围不完整，会使 （0 ≤ ϕi ≤ π ） 结果拉长到整
个 2π 区间，从而产生较大偏差。
连杆机构实现函数优化设计最优解
连杆相对长度 a=4.1286
摇杆相对长度 b=2.3226
输出角平方误差之和 f*=0.0076
最优点的性能约束函数值
最小 BCD 夹角约束函数值 g1*=-7.1214
最大 BCD 夹角约束函数值 g2*=-0.0000
图（6）当 （0 ≤ ϕi ≤ π ） 时迭代拟合图
结论：
通过对比第三种情况，发现二者结果相同，猜想不成立。
（2）当曲柄 π ≤ ϕi ≤ 2π 运动时
猜想 2.由于第一种情况下得到的结论对第三种没有影响，可以猜测在区间
[π ≤ ϕi ≤ 2π ） 不存在，或者和第三种结果一样。
结论：
Matlab 显示结果运行错误。
则可以说，第二种情况是不存在的，对结果
不产生影响。
（3）当
（1）
（2）两种情况都综合考虑进去时
连杆机构实现函数优化设计最优解
连杆相对长度 a=4.1286
摇杆相对长度 b=2.3226
输出角平方误差之和 f*=0.0076
最优点的性能约束函数值
最小 BCD 夹角约束函数值 g1*=-7.1214
最大 BCD 夹角约束函数值 g2*=-0.0000
图（7） 0 ≤ ϕi ≤ 2π 时迭代你拟合图
将连杆长度带入计算，则可以得到传动角的变化规律
图（8）传动角随输入角变化的规律图
结论：
经过 matlab 优化的曲线跟期望曲线存在细微的差别，输出角平方误差之
和 f*=0.0076 ，传动角波动范围符合要求，所以此优化方程的解符合要求。
5.2.程序代码过程
（1）优化设计主程序 M 文件
clc;
clear;
% 铰链四杆机构实现函数的优化设计的主程序
% 调用目标函数 optimfun 和非线性约束函数 confun
x0 = [6;4]; %设计变量的初始值
qb = 1;jj = 5;
% 设计变量的下界与上界
lb = [1;1];
ub = [];
a = [-1 -1;1 -1;-1 1];
b = [-6;4;4];
% 使用多维约束优化命令 fmincon
[x,fn] = fmincon（@optimfun,x0,a,b,[],[],lb,ub,@confun）;
disp '连杆机构实现函数优化设计最优解'
fprintf（'连杆相对长度 a=%3.4f \n',x
（1））
fprintf（'摇杆相对长度 b=%3.4f \n',x
（2））
fprintf（'输出角平方误差之和 f*=%3.4f \n',fn）
% 计算最优点 x*的性能约束函数值
g = confun（x）;
disp '最优点的性能约束函数值'
fprintf（'最小 BCD 夹角约束函数值 g1*=%3.4f\n',g
（1））
%fprintf（'最大 BCD 夹角约束函数值 g2*=%3.4f\n',g
（2））
（2）调用目标函数及画图
function f=optimfun（x）
s=30;qb=1;jj=5;fx=0;
fa0=acos（（（qb+x
（1））^2-x
（2）^2+jj^2）/（2*（qb+x
（1））*jj））;%曲柄初始角
pu0=acos（（（qb+x
（1））^2-x
（2）^2-jj^2）/（2*x
（2）*jj））;%摇杆初始角
for i=1:
s
fai=fa0+0.5*pi*i/s;
pu（i）=pu0+2*（fai-fa0）^2/（3*pi）;%摇杆期望角
ri=sqrt（qb^2+jj^2-2*qb*jj*cos（fai））;
alfi=acos（（ri^2+x
（2）^2-x
（1）^2）/（2*ri*x
（2）））;
bati=acos（（ri^2+jj^2-qb^2）/（2*ri*jj））;
if fai>0 & fai<=pi
ps（i）=pi-alfi-bati;
%elseif fai>pi & fai<=2pi
%ps（i）=pi-alfi+bati;
end
fx=fx+（pu（i）-ps（i））^2;
end
i=1:
30;
f=fx;%输出角平分误差之和
plot（i,ps（i）,'r-.',i,pu（i）,'b-*'）;
legend（'期望曲线','实际曲线'）;
grid on
（3）调用约束条件
function [c,ceq]=confun（x）
qb=1;jj=5;m=45*pi/180;n=135*pi/180;
%c
（1）=x
（1）^2+x
（2）^2-（jj-qb）^2-2*x
（1）*x
（2）*cos（m）;
%最小 BCD 夹角传动角约束
c
（2）=-x
（1）^2-x
（2）^2+（jj+qb）^2+2*x
（1）*x
（2）*cos（n）;
%最大 BCD 夹角约束
ceq=[];
（4）传动角与输入角关系代码
%曲柄摇杆机构运动过程中传动角变化曲线图源代码
l2=4.0483 ;l3=2.6550;l4=5;
a1=acos（（（1+l2）^2+l4^2-l3^2）/（2*l4*（1+l2）））;
a2=pi-acos（（l3^2+l4^2-（1+l2）^2）/（2*l4*l3））;
for i=1:
360;
fai（i）=a1+（pi/2）*（i/360）;
rou（i）=sqrt（1+l4^2-2*l4*cos（fai（i）））;
if rad2deg（acos（（l2^2+l3^2-rou（i）^2）/（2*l2*l3）））<=90
CDJ（i）=acos（（l2^2+l3^2-rou（i）^2）/（2*l2*l3））;
else
CDJ（i）=pi-acos（（l2^2+l3^2-rou（i）^2）/（2*l2*l3））;
end
end
x=fai;
y=CDJ;
plot（x,y）
xlabel（'曲柄输入角/rad','fontsize',12,'fontname','宋体'）;
ylabel（'传动角/rad','fontsize',12,'fontname','宋体'）;
title（'给定区间内的传动角变化曲线图','fontsize',12,'fontname','宋体'）;
grid on
6.参考文献
【1】机械原理第七版；西北工业大学机械原理及机械零件教研室编；主编 孙
桓 陈做模 葛文杰
【2】机械优化设计；哈尔滨工业大学 孙靖民 主编
7.小结
通过对《工程优化与 matlab 实现》的学习，我初步了解了 matlab 软件的的使
用方法，接触了相关的规范准则及设计方法，最主要的，我学习了一种新的思
维方式，对我产生了不小的影响。
初次上这个课程的时候，对我来说有一定的难度，上课老师所讲述的内容我
也是似懂非懂，但是通过逐渐深入的了解，慢慢地了解原理，真的让我觉得受
益匪浅。
首先，老师在给出题目的时候曾说过三个要求，其中当提到否真正的
看过一篇文献，是否真正的完成一篇论文的时候，再加上他提起自己第一次发
表论文时，他的导师很认真的帮他改了很多遍，甚至细微到标点符号，对我来
说有点震撼，我不禁想起了平日里所写的论文--与其说论文，不如说是作文。
我都是比较随意的去写，而这次我特意去找了关于文章内容的规范写作，并且
仔细的编排了一番，本次论文模式就是参考复旦大学毕业设计论文格式。
其次，
我体会到文献资料的重要性，对于这个课题，有好多不懂的问题，我通过网上
资料然后逐渐认知，慢慢地对问题有了更深入的了解，从编辑公式到画图，再
到构思论文结构，尤其是编程的时候，对于没有基础的我，真的很头疼。
在宿
舍里大家忙着敲代码，时不时可以听到某人因为完成了某项工作而惊呼，我觉
得这种学习氛围很好，大家都在为了一件事而用尽全力，很有劲头。
还有，这
次课程学习对我来说最宝贵的莫过于思维的转变，以前对于这种复杂的或者生
疏的问题总会有胆怯和不自信，甚至根本不相信自己能够做到。
可是真正自己
下功夫细致地进入状态，我发现问题都能够解决，有句话说的好：
“不自信，
是因为不了解”。
我觉得很在理。
唯一觉得遗憾的是，在轮到我讲解关于“曲
柄的运动范围对目标函数结果的影响”的时候由于准备不充分，只有硬着头皮
上去讲，当然结局很不理想，我又一次体会到：
凡是预则立，不预则废。
对于
课程内容，我更多的了解是一种规范严谨的优化思维方式。
并且觉得这是一门
适用性很强的学科，将会在以后科学发展中有着更重要的作用。
我觉得有机会
深入学习一下将对我们以后的发展大有裨益。
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