汽车的生产与销售问题数模.docx
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汽车的生产与销售问题数模
108
汽车公司的最佳生产方案
摘要
本文针对汽车的生产策略中最佳生产方案的确定做了深入的研究，根据生产方案的不同对最终利润的影响分析可知该问题是基于整数规划的寻找最优值问题。
对此，本文建立了规划模型进行讨论求解。
对于问题A
（1），根据文中所给的数据及车间生产零件的规律，我们可以知道，车间的生产能力是一定的。
所以，我们采取将能力归一化的方法，对车间的能力进行约束。
例如就发动机装配车间而言，生产1台A101型货车需要消耗
的车间生产能力，生产1台A102型货车需要消耗
的车间生产能力。
冲压车间的情况也类似。
最后得到的最优方案为每月生产A101型货车2048台，生产A102型货车632台，此时获利450600元/月。
对于问题A
（2），根据上半年度的收入报表可知在当前生产方案下获得的毛收益
211166.7元/月。
若要通过“外包加工”增加发动机的装配能力，则“外包加工”后的毛收益必须比当前方案所得的毛收益高，这样“外包加工”才有意义。
根据生产部门经理的意见，A102型货车的生产方案已定，各车间剩余的生产能力只分配给A101型货车。
“外包加工”费用在537908.3元/月以下可以接受。
这只是总费用，若要求得到外包单价，需要进一步的规划。
对于问题B，公司考虑通过加工，增加发动机装配车间的生产能力，使其他车间能充分发挥它们的生产能力。
在发动机装配车间的生产能力提高的同时该车间的直接劳动费用提高，在加班情况下的最佳生产方案是A101型货车生产1428辆，A102型货车生产1500辆，此时的利润为495460元。
比不考虑加班的最佳生产方案获得的利润高，所以可以考虑用加班的方法提高发动机装配车间的生产能力，进而提高收益。
关键词：
整数规划；生产能力归一；最佳生产方案
一、问题的重述
南洋汽车公司生产2种型号货车：
A101型和A102型，为完成这两种车型生产，公司设有4各车间，其分别为冲压车间、发动机装配车间、A101型装配车间、A102型装配车间，而各车间的生产能力有一定限制的。
当前的市场情况是：
A101型售价为2100元，A102型为2000元，且在这样的价格下，不管生产多少辆货车，都能售出。
根据前6个月的销售情况，A101型的销售为每月333辆，A102型为每月1500辆。
此时，A102型装配车间和发动机车间已在满负荷情况下运行，而冲压车间和A101型装配车间能力还未充分发挥出来。
现在生产方案不能使公司获得最大的利益，所以各部门经理提出自己的建议：
销售部门经理认为，销售A101型货车无利可图，建议A101型货车停产。
财务部门经理认为，A101型货车销售量太小，因此分摊给每辆车的固定成本大。
因此，应增加A101型货车的产量，与此同时，适当减少A102型货车的产量。
生产部门经理认为，在不减少A102型货车产量的情况下，以适当的价格，通过其他厂商的协作，即外包加工，增加发动机的装配能力，从而增加A101型的产量。
现在我们的问题是：
A．在现有条件下，考虑：
（1）在现有资源的条件下，怎样安排生产最为合理？
（2）如果可以通过“外包加工”增加发动机的装配能力，怎样的“外包加工”费是可以接受的？
B．考虑用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力。
假设加班后，发动机装配能力的增加相当于2000辆A101型货车，而直接劳动力费用提高50％，加班的固定管理费用为40000元，可变的管理费用仍保持原来数值。
问：
加班的方法是否值得采用？
二、问题的分析
生产方案的选择需要考虑到各生产车间的生产能力约束，在能盈利的情况下，让车间尽可能地发挥其能力。
在求解最佳生产方案时，我们将各车间的生产能力归一化，方便规划时的约束。
利用lingo软件求解最优解。
在某种车间的生产能力增加时，重新进行规划并进行求解。
针对问题A
（1）：
汽车的生产费用包括3部分：
直接材料费用、直接劳力费用、管理费用。
其中管理费用又包括固定管理费用与可变管理费用。
我们假设可变费用只与产品数目相关，再通过对过去6个月的管理费用详情分析，我们可以得到可变管理费用与生产零件的个数是一维线性的关系。
通过对车间生产能力的约束，利用lingo求解，获得最佳生产方案。
针对问题A
（2）：
公司考虑通过“外包加工”增加发动机的装配能力，而公司要在采取该手段后，获得的利益要不小于原先方案的利益才是有效的。
我们认为可以接受的“外包加工”费用是在采取该手段后，得到的利益至少与先前相等的最大“外包加工”费用以下。
由于根据生产部门经理的提议（A102型货车的产量不减小），我们可以把冲压车间、发动机装配车间的剩余生产能力只分配给A101型货车。
针对问题B：
公司考虑通过加工，增加发动机装配车间的生产能力，使其他车间能充分发挥他们的生产能力。
在生产能力提高的同时发动机装配车间的直接劳动费用提高，固定管理费用增加。
此时成本由未加班成本与加班成本组成，加班时的可变成本为A101型货车1830元/辆，A102型货车1710元/辆。
固定成本F=425000/月。
若通过该方法，公司获得的利益增加则认为可取；否则，不可取。
三、模型假设
1、各车间的生产过程是独立的；
2、A101型货车与A102型货车的市场销售价稳定，且在这样的价格下，不管生产多少量货车，都能售出；
3、可变费用只与车的数量有关；
4、考虑“外包加工”加工的前提是发动机装配车间的能力已用尽；
5、考虑加班的前提是发动机装配车间的生产能力已经用尽，别的车间能力还未充分发挥出来。
四、符号及变量说明
：
两种类型货车的销售价；
：
两种类型货车的月生产数量；
：
加班前后各车间生产A101型货车的月生产能力；
：
加班前后各车间生产A102型货车的月生产能力；
：
“外包加工”的单价；
：
“外包加工”的数量；
：
加班前后两种类型货车的各车间的可变费用；
：
两种类型货车在各车间的产量；
：
各车间的可变管理费用；
：
加班前后固定管理费用；
：
原方案的利润与最优生产线的利润；
五、模型的建立与求解
5.1问题A
（1）的模型建立与求解
5.1.1初步建立模型
正常情况下汽车生产过程的流程图如下：
图1：
正常情况下汽车生产流程示意图
根据题意，汽车的生产费用包括3部分：
直接材料费用、直接劳力费用、管理费用。
其中管理费用又包括固定管理费用与可变管理费用。
而可变的管理费用直接与生产的辆数线性相关。
固定管理费用费F=385000.最佳生产方案就是在现有的资源条件下，使公司获得的利益最大。
对已知数据的整理我们得到各部分的可变费用：
表1：
各部分可变费用，单位：
元
车型
直接材料费
直接劳力费
可变管理费
总计
冲压
发动机
总装配
冲压
发动机
总装配
A101
1200
40
60
100
120
105
175
1800
A102
1000
30
120
75
100
200
125
1650
在车间能力的约束中，我们将车间生产车型的能力归一化再进行约束，例如冲压车间生产1台A101型货车需要消耗
的车间生产能力，生产一台A102型货车消耗
的车间生产能力。
发动机装配车间也类似情况。
这样一来我们就有如下模型：
（1）
5.1.2模型的优化
要使公司获得的利益最大，则要使每个零件充分发挥其作用，例如，A101型货车，在流程中是不会有多余的零件剩余。
所以对上一个模型进一步优化就有如下模型：
（2）
求解得最佳生产方案为
辆，
辆，此时获利450600元/月。
此时的标准成本如表所示：
两种类型货车的标准成本
A101型
A102型
直接材料费用
直接劳力费用
冲压
发动机装配
总装配
管理费用
冲压
发动机装配
总装配
合计
1200
40
60
100（＋200
174
131
219（+524
1924
1000
30
120
75（＋225
139
251
244（＋634
1859
根据此时的成本表所示，A101型货车的成本比之前降低267，A102型货车的成本比之前提高39元。
之前方案的不足之处是A101型货车生产量太小，分摊给每辆车的固定成本大。
所以销售部门经理的眼光短浅，只着眼眼前利益，不从长远考虑；财务部门经理眼光锐利，很快发现生产方案的不足之处。
5.2问题A
（2）模型的建立与求解
5.2.1基本模型的建立与求解
由题意可知，发动机装配车间的生产能力最小，所以考虑通过“外包加工”的方法使其他车间尽可能得发挥能力并使公司能够得到更大的利益。
根据生产部门经理的提议（在不减小A102型货车产量的前提下），
辆，所以各车间对A102型货车的生产数量已经确定：
，剩余的生产力只分配给A101车型。
假设考虑“外包加工”加工的前提是发动机装配车间的能力已用尽，即发动机装配车间的已经不能再生产货车了，所以
。
而需要我们求解的能够接受的“外包加工”费用，就是加工费用在某个值以上，公司获得的利益会减小，在这个值以下，能获得更多的利益。
假定加工费用为
，外包加工的个数为
。
由此我们得到如下模型：
（3）
求解得可以接受的“外包加工”费用为537908.3元/月，此时冲压车间已在满负荷情况下运行。
“外包加工”的A101型货车为1095辆，单价为491.2元/辆。
5.2.2：
模型的扩展
在模型三的基础上，我们解除不减少A102型货车产量的限制，观察“外包加工”采取外包加工能否比在现有资源条件下获得更大的利益。
同样考虑在发动机装配车间已经满负荷运行情况下，采取“外包加工”行为，由于是整数规划，能力和正好达到1的概率很小，所以把这项约束放宽。
建立如下模型：
（4）
此时仍存在一个不为0的“外包加工”费用F=863055.5元/月，说明“外包加工”的方法可以使公司的最大利益提高。
具体情况要结合所给的“外包加工”单价判断该方法是否可行。
5.3问题B模型的建立与求解
考虑用加班的方法来提高发动机装配车间的生产能力，在发动机装配能力增加的同时相应的直接劳动费用提高50%，固定管理费用提高40000；根据已知数据，重新列得各车间的月生产能力、在加班的生产水平下各车间的可变费用及固定管理费用的详细情况：
表2：
各车间的月生产能力
车间
A101
A102
冲压车间
正常发动机装配车间
加班发动机装配车间
A101型装配车间
A102型装配车间
2500
3300
2000
2250
－
3500
1667
1010
－
1500
表3：
加班水平下各车间的可变费用，单位：
元
车型
直接材料费
直接劳力费
可变管理费
总计
冲压
发动机
总装配
冲压
发动机
总装配
A101
1200
40
90
100
120
105
175
1830
A102
1000
30
180
75
100
200
125
1710
表4：
固定管理费用的详细情况，单位：
元
车间
冲压
发动机装配
A101型车装配
A102型车装配
合计
每月固定
管理费用
135000
125000
90000
75000
425000
考虑加班的前提是发动机装配车间的生产能力已经用尽，别的车间能力还未充分发挥出来。
此时的成本为未加班所得产品成本与加班所得产品成本之和。
图2：
成本费用组成示意图
参照5.1.2模型我们建立如下模型：
（3）
同样得把发动机装配车间的能力约束放宽，求解模型，最终解得
，
，其中有1098台A101型货车的发动机是在加班条件下装配的。
在该生产方案下产生的利益F=495460。
比在现有资源条件下得到的最大利益F=450600元/月高出44860元。
若不考虑销售、行政和其他费用会随着销售量的提高而增加的情况，加班是一种可行的方法。
六、模型的评价与改进
6.1模型的评价
6.1.1模型的优点
1、将车间生产能力归一化，既方便理解，又方便求解；
2、利用模型二可以求得多种生产线的最优方案；
3、考虑多种途径使车间能力提高；
6.1.2模型的缺点
1、未能考虑随机因素对生产能力的影响；
2、模型假定销售价恒定不变，但实际情况中销售价会有所波动，在短期内波动不明显；
6.2模型的改进
影响市场定价的因素有很多，成本价的改变，市场需求量的改变，货币的比率等直接关系着市场定价。
由于市场价格波动没有明显的规律性可言，所以只能建立模糊的模型并不能具体求解。
其中
为价格的改变量，不能写出其具体的函数关系式。
七、模型的推广与应用
汽车公司的最佳生产方案问题属于线性规划中的整数规划问题。
在我们生活中，不仅仅只有这个需要规划出最佳生产方案。
还有仓储问题，运输问题等都需要运用线性规划思想来求解出最佳方案。
[1]姜启源，谢金星，叶俊主编数学模型（第三版）[M].北京:
高等教育出版社.2009；
[2]姜启源，谢金星数学模型案例选集[M].北京:
高等教育出版社.2006；
附录一：
!
5.1.2;
max=2100*x1+2000*x2-1800*x1-1650*x2-385000;
x1/2500+x2/3500<1;
x1/3300+x2/1667<1;
x1<2250;x2<1500;
@gin（x1）;@gin（x2）;
!
5.2.1;
max=lamda*y;
x11/2500+1500/3500<1;
!
x21/3300+1500/1677<1;
333+yf=（333+y）*（1200+140+295）+1500*1650+lamda*y+333*165;
m=2100*（333+y）+1500*2000-f-385000;m>211166.7;
@gin（x11）;@gin（x21）;@gin（y）;
!
5.2.2;
max=lamda1*y1+lamda2*y2;
x11/2500+x21/3500<1;
x12/3300+x22/1667<1;
x12/3300+x22/1667>0.9997;
x13<2250;x23<1500;
x12+y1x22+y2f=（x12+y1）*1635+（x22+y2）*1330+lamda1*y1+lamda2*y2+x12*165+x22*320;
2100*（x12+y1）+2000*（x22+y2）-f-385000>450600;
@gin（x11）;@gin（x12）;@gin（x13）;@gin（x21）;@gin（x22）;@gin（x23）;@gin（y1）;@gin（y2）;
!
5.3;
max=2100*x1+2000*x2-1830*x21-1710*x22-425000-1800*x11-1650*x12;
（x11+x21）/2500+（x12+x22）/3500<1;
x11/3300+x12/1667<1;
x21/2000+x22/1010<1;
（x11+x21）<2250;（x12+x22）<1500;
x1=x11+x21;x2=x12+x22;
@gin（x1）;@gin（x2）;@gin（x11）;@gin（x12）;
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