人教版九年级数学上《一元二次方程的根与系数的关系》拔高练习.docx

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人教版九年级数学上《一元二次方程的根与系数的关系》拔高练习

《一元二次方程的根与系数的关系》拔高练习

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）若一元二次方程x2﹣8x+a＝0有一个根是x＝3，则方程的另一个根是（　　）

A．x＝﹣5B．x＝5C．x＝15D．x＝﹣15

2．（5分）关于方程x2+2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．两实数根的和为﹣2

C．两实数根的差为2

D．两实数根的积为﹣4

3．（5分）已知一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根为x1、x2，则

的值是（　　）

A．﹣4B．﹣2C．4D．2

4．（5分）若m，n满足m2+5m﹣3＝0，n2+5n﹣3＝0，且m≠n．则

的值为（　　）

A．

B．﹣

C．﹣

D．

5．（5分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣m）（x﹣3）＝﹣1（m＜3）的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是（　　）

A．m＜x1＜x2＜3B．x1＜m＜x2＜3C．x1＜m＜3＜x2D．x1＜x2＜m＜3

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+1＝0的两实数根，则2x1﹣x1x2+2x2的值为　　．

7．（5分）若关于x的方程x2+bx+1＝0的一个根是2，则它的另一个根为　　．

8．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为　　．

9．（5分）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，则

＝　　．

10．（5分）关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0的两根分别为　　．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值．

12．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|＝2x1x2，求k的值．

13．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+

﹣2＝0．

（1）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22+x1x2＝18﹣

，求m的值．

14．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0

（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？

（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；

（3）设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1﹣x1x2＝x12+x22，求m的值．

15．（10分）关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若方程的一个根为2，求另一个根．

《一元二次方程的根与系数的关系》拔高练习

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）

1．（5分）若一元二次方程x2﹣8x+a＝0有一个根是x＝3，则方程的另一个根是（　　）

A．x＝﹣5B．x＝5C．x＝15D．x＝﹣15

【分析】利用根与系数的关系求得方程的另一根．

【解答】解：

设方程的另一根为x，

则x+3＝8，

解得x＝5．

故选：

B．

【点评】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解的定义．在利用根与系数的关系x1+x2＝﹣

时，一定要弄清楚公式中字母a、b所表示的意义．

2．（5分）关于方程x2+2x﹣4＝0的根的情况，下列结论错误的是（　　）

A．有两个不相等的实数根B．两实数根的和为﹣2

C．两实数根的差为2

D．两实数根的积为﹣4

【分析】根据根与系数的关系和根的判别式进行解答．

【解答】解：

A、△＝22﹣4×1×（﹣4）＝4+16＝20＞0，则该方程有两个不相等的实数根．故本选项不符合题意．

B、设方程的两个为α，β，则α+β＝﹣2，故本选项不符合题意．

C、设方程的两个为α，β，则α﹣β＝±

＝

＝±2

，故本选项符合题意．

D、设方程的两个为α，β，则α•β＝﹣4，故本选项不符合题意．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

3．（5分）已知一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根为x1、x2，则

的值是（　　）

A．﹣4B．﹣2C．4D．2

【分析】直接利用根与系数的关系得到两根之积，然后可以判断选择什么答案．

【解答】解：

由根与系数的关系可知：

x1•x2＝

＝﹣4，

所以

的值是﹣2，

故选：

B．

【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，关键是根据根与系数的关系得到两根之积．

4．（5分）若m，n满足m2+5m﹣3＝0，n2+5n﹣3＝0，且m≠n．则

的值为（　　）

A．

B．﹣

C．﹣

D．

【分析】先把m、n可看作方程x2+5x﹣3＝0，利用根与系数的关系得到m+n＝﹣5，mn＝﹣3，而

＝

，然后利用整体代入的方法计算．

【解答】解：

∵m，n满足m2+5m﹣3＝0，n2+5n﹣3＝0，且m≠n，

∴m、n可看作方程x2+5x﹣3＝0，

∴m+n＝﹣5，mn＝﹣3，

所以

＝

＝

＝

．

故选：

D．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣

，x1x2＝

．

5．（5分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣m）（x﹣3）＝﹣1（m＜3）的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是（　　）

A．m＜x1＜x2＜3B．x1＜m＜x2＜3C．x1＜m＜3＜x2D．x1＜x2＜m＜3

【分析】把x1，x2（x1＜x2）看作抛物线y＝（x﹣m）（x﹣3）与直线y＝﹣1（m＜3）的两交点的横坐标，然后利用抛物线y＝（x﹣m）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（m，0），（3，0）可判断实数x1，x2，3，m的大小关系．

【解答】解：

把x1，x2（x1＜x2）看作抛物线y＝（x﹣m）（x﹣3）与直线y＝﹣1（m＜3）的两交点的横坐标，

而抛物线y＝（x﹣m）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（m，0），（3，0），

所以m＜x1＜x2＜3．

故选：

A．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣

，x1x2＝

．也考查了二次函数的性质．

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

6．（5分）已知x1，x2是一元二次方程x2+6x+1＝0的两实数根，则2x1﹣x1x2+2x2的值为　﹣13　．

【分析】根据根与系数的关系解答．

【解答】解：

依题意得：

x1+x2＝﹣6，x1•x2＝1，

所以2x1﹣x1x2+2x2＝2（x1+x2）﹣x1x2＝2×（﹣6）﹣1＝﹣13．

故答案是：

﹣13．

【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．

7．（5分）若关于x的方程x2+bx+1＝0的一个根是2，则它的另一个根为　

　．

【分析】先设出方程的另一个根，根据两根的积与系数的关系，得方程求解即可．

【解答】解：

设方程的另一个根为α，根据根与系数的关系得

2α＝1，

解得α＝

．

故答案为：

．

【点评】本题考查了根与系数的关系．解决本题亦可把一个根代入，求出b，解关于x的方程，得另一个根．

8．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+2m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．若x1﹣2x2＝6，则实数m的值为　﹣2　．

【分析】由韦达定理知x1+x2＝3，将其代入到x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6求得x2＝﹣1，代回方程中即可求得m的值．

【解答】解：

由题意知x1+x2＝3，

∵x1﹣2x2＝6，即x1+x2﹣3x2＝6，

∴3﹣3x2＝6，

解得：

x2＝﹣1，

代入到方程中，得：

1+3+2m＝0，

解得：

m＝﹣2，

故答案为：

﹣2．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣

，x1x2＝

．也考查了方程的解的概念．

9．（5分）已知m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，则

＝　4　．

【分析】先由根与系数的关系求出m•n及m+n的值，再把

化为

的形式代入进行计算即可．

【解答】解：

∵m、n是一元二次方程x2+4x﹣1＝0的两实数根，

∴m+n＝﹣4，m•n＝﹣1，

∴

＝

＝

＝4．

故答案为4．

【点评】本题考查的是根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：

x1+x2＝﹣

，x1•x2＝

．

10．（5分）关于x的方程ax2+bx+2＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+2＝0的两根分别为　2，3　．

【分析】观察给出的两个方程，得到1、2也是关于（x﹣1）的方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+1＝0的两个根，求出x即可．

【解答】解：

两个方程的系数、结构相同，

所以1、2也是关于（x﹣1）的方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+1＝0的两个根，

∴x﹣1＝1或x﹣1＝2，

∴x＝2或x＝3．

故答案为：

2、3．

【点评】本题考查了根与系数的关系．解决本题的关键是：

根据给出的方程特点，得到给出的两个方程的解相同．

三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）

11．（10分）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，且（1+x1）（1+x2）＝3，求k的值．

【分析】

（1）根据“一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根”，得到△＞0，根据判别式公式，得到关于k的不等式，解之即可，

（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2和x1x2关于k的等式，代入（1+x1）（1+x2）＝3，得到关于k的一元二次方程，解之，结合

（1）的结果，即可得到答案．

【解答】解：

（1）∵一元二次方程x2+（2k+1）x+k2＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（2k+1）2﹣4k2＞0，

解得：

k

，

即k的取值范围为：

k

；

（2）方程的两个实数根分别为x1，x2，

（1+x1）（1+x2）

＝1+（x1+x2）+x1x2

＝3，

x1+x2＝﹣（2k+1），x1x2＝k2，

则1﹣（2k+1）+k2＝3，

整理得：

k2﹣2k﹣3＝0，

解得：

k1＝3，k2＝﹣1（舍去），

即k的值为3．

【点评】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：

（1）正确掌握根的判别式公式，

（2）正确掌握根与系数的关系公式．

12．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若该方程的两根分别为x1，x2，且满足|x1+x2|＝2x1x2，求k的值．

【分析】

（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得出△＝b2﹣4ac的值大于0，建立关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围；

（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，再将它们代入|x1+x2|＝2x1x2，即可求出k的值．

【解答】解：

（1）△＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣1）

＝4k2﹣8k+4﹣4k2+4

＝﹣8k+8．

∵原方程有两个不相等的实数根，

∴﹣8k+8＞0，

解得k＜1，

即实数k的取值范围是k＜1；

（2）由根与系数的关系，x1+x2＝2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1，

∵|x1+x2|＝2x1x2，

∴|2（k﹣1）|＝2k2﹣2，

∵k＜1，

∴2﹣2k＝2k2﹣2，

化简得k2﹣k﹣2＝0，

∴k＝1（舍）或k＝﹣2，

∴k＝﹣2．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，用到的知识点：

（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2＝﹣

；（5）x1•x2＝

．

13．（10分）已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+

﹣2＝0．

（1）若此方程有两个实数根，求m的最小整数值；

（2）若此方程的两个实数根为x1，x2，且满足x12+x22+x1x2＝18﹣

，求m的值．

【分析】

（1）利用判别式的意义得到△＝（m+1）2﹣4（

﹣2）≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；

（2）利用根与系数的关系得到x1+x2＝﹣（m+1），

，再利用x12+x22+x1x2＝18﹣

得到

，接着解关于m的方程确定m的值．

【解答】

（1）解：

＝m2+2m+1﹣m2+8＝2m+9．

∵方程有两个实数根，

∴△≥0，即2m+9≥0，

∴

．

∴m的最小整数值为﹣4；

（2）由根与系数的关系得：

x1+x2＝﹣（m+1），

．

由

得：

．

∴m1＝3，m2＝﹣5．

∵

，

∴m＝3．

【点评】本题考查了根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣

，x1•x2＝

．也考查了根的判别式．

14．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0

（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？

（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；

（3）设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1﹣x1x2＝x12+x22，求m的值．

【分析】

（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；

（2）根据根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；

（3）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1x2＝m﹣1，变形后代入，即可求出m，再判断即可．

【解答】解：

（1）∵△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＝﹣4m+8＞0，

∴m＜2时，方程有两个不相等的实数根；

（2）∵设x1，x2是这个方程的两个实根，则x1＞0，x2＞0，

∴x1x2＝m﹣1＞0，

∴m＞1，

即m的取值范围是1＜m＜2；

（3）∵x1+x2＝2，x1x2＝m﹣1，

，

∴1﹣m+1＝22﹣2（m﹣1），

∴m＝4，

∵由

（1）知：

m＜2，

∴此时不存在，

所以当1﹣x1x2＝x12+x22时，m不存在．

【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．

15．（10分）关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若方程的一个根为2，求另一个根．

【分析】

（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△＝4﹣4（2k﹣4）＞0，解不等式求出k的取值范围；

（2）根据方程有一个根是2，再设方程的另一根为x2，利用根与系数的关系列式计算即可．

【解答】解：

（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝4﹣4（2k﹣4）＞0，

解得：

k＜

；

（2）若方程的一个根为2，设方程的另一根为x2，

则2+x2＝﹣2，解得x2＝﹣4．

所以方程的另一根为﹣4．

【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，

（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；

（2）△＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根；（4）x1+x2＝﹣

，x1•x2＝

．