云南省昆明一中宁夏银川一中届高三联合考试一模数学理试题含答案解析.docx
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云南省昆明一中宁夏银川一中届高三联合考试一模数学理试题含答案解析
云南省昆明一中、宁夏银川一中2022届高三联合考试一模数学（理）试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．已知集合
，
，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
2．若复数z满足
（i为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．投篮测试每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投中的概率为0.4，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）
A．0.712B．0.352C．0.288D．0.064
4．线性回归分析模型中，变量X与Y的一组样本数据对应的点均在直线
上，
表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，则
（ ）
A．2B．1C．
D．
5．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为θ，那么
（ ）
A．5B．
C．
D．
6．已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，点P是直线
与双曲线C的一个交点，若
为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：
“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在
表达式中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程
解得
，类比上述方法，则
（ ）
A．
B．
C．2D．
8．设函数
的最大值为a，最小值为b，则
（ ）
A．
B．0C．1D．2
9．设函数
，其中
，
，若
，
，则
在
上的单调减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．过正方体
的顶点A作平面
，使正方形ABCD，正方形
，正方形
所在平面与平面
所成锐二面角相等，则这样的平面
可以作（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．设抛物线C：
的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若
，△ABD的面积为
，则
（ ）
A．1B．
C．
D．2
12．设函数
有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
13．若数列
满足
，则数列
前15项的和
_________．
14．若实数x，y满足
，且
的最大值为3，则
_________．
15．已知正三棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，棱锥的底面是边长为
的正三角形，侧棱长为1，则球的表面积为___________.
16．已知实数
满足：
，
，
，则
的最大值为______．
三、解答题
17．在
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，
，已知：
，且
．
（1）求
的大小；
（2）求
的值．
18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标为k，当
时，产品为一级品；当
时，产品为二级品；当
时，产品为三级品．现用两种新工艺（分别称为A工艺和B工艺）做实验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
（以下均视频率为概率）．
A工艺的频数分布表：
指标值分组
频数
10
30
40
20
B工艺的频数分布表：
指标值分组
频数
5
10
15
40
30
（1）若从B工艺产品中有放回地随机抽取4件，记“抽出的B工艺产品中至多有2件二级品”为事件C，求事件C的概率；
（2）若两种新产品的利润率y与质量指标值k满足如下关系：
（其中
），应用统计知识，请你说明最好投资哪种工艺？
19．如图，在四棱柱
中，底面ABCD为菱形，其对角线AC与BD相交于点O，
，
．
（1）证明：
平面ABCD；
（2）求二面角
的正弦值．
20．如图，已知椭圆
，曲线
与
轴的交点为
，过坐标原点
的直线
与相交于
、
，直线
、
分别与
交于点
、
.
（1）证明：
以
为直径的圆经过点
；
（2）记
、
的面积分别为
、
，若
，求
的取值范围.
21．已知函数
．
（1）若
，求
的单调区间；
（2）若
在
上有两个极值点
，
（
）．
（i）求实数a的取值范围；
（ii）求证：
．
22．在直角坐标系xOy中，直线
的参数方程为
（t为参数），直线
的参数方程为
（k为参数）．设
与
的交点为M，当m变化时，M的轨迹为曲线C．
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设直线
：
，求
与C的交点的极坐标．
23．设函数
．
（1）求函数
的最小值；
（2）记函数
的最小值为m，若a，b，c为正数，且
，求
的最大值．
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
根据集合B的形式，逐个验证
的值，从而可求出集合B中的元素.
【详解】
时，
，3，4，
时，
，3，
时，
，
时，无满足条件的
值；故共6个，
故选：
D．
2．B
【解析】
【分析】
根据复数代数形式的除法运算计算可得；
【详解】
解：
因为
，
故选：
B．
【点睛】
本题考查了复数代数形式的运算，属于基础题．
3．B
【解析】
【分析】
根据独立重复试验概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】
该同学通过测试的概率
，
故选：
B
4．B
【解析】
【分析】
根据相关指数
的知识确定正确选项.
【详解】
样本数据对应的点在直线
上，所以相关指数
.
故选：
B
5．A
【解析】
【分析】
先求得直角三角形的直角边，由此求得
，进而求得
.
【详解】
由题意可知，大正方形的边长为
，小正方形的边长为1，
设图中直角三角形较短的直角边长为
，可得出直角三角形较长的直角边长为
，
由勾股定理可得
，解得
，
，
所以
，因此，
.
故选：
A
6．C
【解析】
【分析】
易求得点P的坐标为
或
，不妨设点P的坐标为
，则
，从而可得出
的齐次式，即可得出答案.
【详解】
解：
，
联立
，解得
，
所以点P的坐标为
或
，
所以
为等腰直角三角形，
不妨设点P的坐标为
，
则
，且
，
所以
，
即
，所以
，解得
或
（舍去），
所以双曲线C的离心率为
.
故选：
C．
7．C
【解析】
【分析】
可设
，得出
，注意到
，解出
即可．
【详解】
根据题意，设
，于是得出
，其中
，
对等式
两边平方，得
，
即
，解得
（舍）或
.
故选：
C．
8．D
【解析】
【分析】
利用分类常数法化简f（x）解析式为
，根据
为奇函数，根据奇函数的图像性质即可求解.
【详解】
∵
，
函数
为奇函数，
由于奇函数的图象关于原点对称，∴
，
从而
，
故选：
D．
9．C
【解析】
【分析】
根据
的对称中心、零点求得
，进而求得
，结合三角函数单调区间的求法求得正确答案.
【详解】
据题意可以得出直线
和点
分别是的图象的一条对称轴和一个对称中心，
所以
，
即
（
），
所以
；又由
得
，
即
（
），
，所以
，所以
；
由
得
的单调减区间为
（
），
所以
在
上的单调减区间是
.
故选：
C
10．D
【解析】
【分析】
根据正方体的结构特征，结合二面角的概念，即可求解.
【详解】
在正方体
中，三棱锥
是正三棱锥，
则平面ABD，平面
，平面
与平面
所成锐二面角相等；
过顶点A作平面
与平面
平行，
则平面ABD，平面
，平面
与平面
所成锐二面角相等；
同理，过顶点A作平面
与平面
，平面
，平面
平行，
则正方形ABCD，正方形
，正方形
所在平面与平面
所成锐二面角相等，
所以这样的平面
可以作4个.
故选：
D．
11．A
【解析】
【分析】
画出图形，由题意可得
为等边三角形，可得
∥
，
，然后由△ABD的面积为
，列方程可求出
【详解】
如图，设准线
与
轴交于点
，
因为
，
，
所以
所以
，
因为
，所以
为等边三角形，
所以
，所以
所以
∥
，
所以
，
，
由抛物线定义，点
到准线
的距离
，
所以
，所以
，
故选：
A．
12．B
【解析】
【分析】
求出导函数
，分
的符号，以及
与1的大小关系讨论函数的单调性，从而分析其零点情况，得出答案.
【详解】
由
，则
，
①
时，
在
上递减，在
上递增，
时，
，
时，
，
所以，要使函数
有
个零点，则
，所以有
，
②
时，
在
上只有
个零点，不符合题意，
③
时，
在
上递增，在
上递减，在
上递增，
因为
，所以
在
上不可能有
个零点，不符合题意，
④
时，
在
上递增，不可能有
个零点，不符合题意，
⑤
时，
在
上递增，在
上递减，在
上递增，因为
，所以
在
不可能有
个零点，
综上，
时，方程
有两个零点.
故选：
B．
13．3
【解析】
【分析】
由
，裂项相消求和即可
【详解】
因为
，
所以
．
故答案为：
3.
14．1
【解析】
【分析】
根据约束条件，作出可行域,分目标函数的斜率与可行域的边界线的斜率的关系进行讨论，从而得出答案.
【详解】
根据约束条件，作出可行域如图，
由
得
，
当
即
时，过点
时
最大，
的最大值为
，不符合题意；
当
即
时，过点
时
最大，由
解得
，符合题意；
当
即
时，过点
时
最大，由
解得
，不符合，
综上
．
故答案为：
.
15．
【解析】
【分析】
设
为正三角形ABC的中心，则
⊥平面ABC，正三棱锥S−ABC的外接球的球心O在
上，在Rt△
中利用勾股定理求出SA的长，再在Rt△
中利用勾股定理即可求出R的值，从而得到球O的表面积．
【详解】
如图所示：
设
为正三角形ABC的中心，连接
，则
⊥平面ABC，正三棱锥S−ABC的外接球的球心O在
上，
设球的半径为R，连接AO，
，
∵△ABC的边长为
，
∴
，
又∵
，
∴在Rt△
中，
，
在Rt△
中，OA＝R，
，
，
∴
，解得：
，
∴球O的表面积为
．
故答案为：
．
16．
【解析】
【分析】
结合圆的性质、点到直线距离公式求得所求的最大值.
【详解】
的值转化为单位圆上的
两点到直线
的距离之和，
由
得：
，
所以三角形
是等腰直角三角形，设
是
的中点，
则
，且
，
则
在以
点为圆心，半径为
的圆上，
，
两点到直线
的距离之和为
的中点
到直线
的距离的两倍.
到直线
的距离为
，
所以
到直线
的距离的最大值为
，
所以
的最大值为
．
故答案为：
.
17．
（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理进行求解；
（2）根据三角恒等变换直接求值.
（1）
根据正弦定理，由
，
得：
，
由
，得：
，
所以由余弦定理得：
；
又因为
，所以
．
（2）
由
（1）可得
，所以
，
因为
为钝角，所以
为锐角，
所以
，
，
，
所以
．
18．
（1）
（2）答案详见解析
【解析】
【分析】
（1）利用对立事件的概率公式来求得事件
的概率.
（2）分别求得
，利用差比较法，对
进行分类讨论来进行说明.
（1）
抽中二级品的概率
，没抽中二级品的概率
，
所以抽出的
工艺产品中至多2件二级品的概率
．
（2）
的分布列为：
y
t
P
0.6
0.4
则
，
的分布列为：
y
t
P
0.7
0.25
0.05
则
，
所以
，
当
时，
，从长期来看，投资
工艺的产品平均利润率较大，最好投资
工艺；
当
时，
，从长期来看，投资
工艺和
工艺的产品平均利润率相等，投资
工艺或
工艺均可；
当
时，
，从长期来看，投资
工艺的产品平均利润率较大，最好投资
工艺．
19．
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）通过证明
、
来证得
平面ABCD.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角
的余弦值，进而求得其正弦值.
（1）
连接
，
，由题意，
，
，
，知
与
为全等三角形，所以
，故
．
不妨设
，则
，
，
，在
中由余弦定理可得
，故
，
在
中，
，故
，AO与BD相交于点O，且AO与BD都包含于平面ABCD，
所以
平面
．
（2）
由
（1）可知，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，
为z轴建立空间直角坐标系．
可得
，
，
，
，
，
，
故
，
，
，
设
为平面
的一个法向量，则
，得
，
同理可得平面
的一个法向量为
，
设二面角
的平面角为
，由图可知
为锐角，
，
所以二面角
的正弦值为
．
20．
（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）分析可知直线
的斜率存在，设直线
的方程为
，设点
、
，将直线
的方程与曲线
的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理计算得出
，可得出
，即可证得结论成立；
（2）设
的斜率为
，则
的方程为
，将直线
的方程分别与曲线
、
的方程联立，可求得点
、
的坐标，同理可得出点
、
的坐标，可求得
、
，进而可得出
的表达式，利用基本不等式可求得
的取值范围.
（1）
证明：
若直线
的斜率不存在，则该直线与
轴重合，此时直线
与曲线
只有一个交点，不合乎题意.
所以，直线
的斜率存在，设直线
的方程为
.
由
得
，
设
、
，则
、
是上述方程的两个实根，
于是
，
.
又因为点
，
所以
，
所以
，即
，所以
为直径的圆经过点
.
（2）
解：
由已知，设
的斜率为
，则
的方程为
，
由
解得
或
，则点
的坐标为
，
又直线
的斜率为
，同理可得点
的坐标为
.
所以
，
由
得
，解得
或
，
则点
的坐标为
，
又直线
的斜率为
，同理可得点
的坐标
，
于是
，
因此
，
当
时，即当
时，等号成立，
所以
，所以
的取值范围为
.
【点睛】
方法点睛：
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
21．
（1）单调递减区间为
，单调递增区间为
（2）（i）
；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用导数求得
的单调区间.
（2）（i）求得
，根据
在
有两个极值点，对
进行分类讨论，由此求得
的取值范围.
（ii）由（i）得
，由
建立
的关系式，通过构造函数法，结合导数来证得
.
（1）
，
令
，所以
，
所以，当
，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
（2）
（i）因为
，要使
在
上有两个极值点
，
，
则
在
上有两个变号的零点，
①
时，则
，由
（1）知，
，所以
，所以
在
上没有两个变号的零点，不合题意，舍去.
②当
时，因为
，
，
，
则
在
上单调递减，故
最多只有一个零点，不合题意，舍去.
③当
时，因为
，所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，解得
，
所以实数a的取值范围为
．
（ii）由（i）知，
，
，
即
，所以
，所以
，
令
，即
，所以
，
故
在
上单调递增，所以当
时，
，
即
，所以
，所以
，
而
，所以
，因为
在
上单调递增，
因为
，所以
，所以
，
即：
，因为
，所以
．
【点睛】
利用导数求解函数的单调区间，关键是研究清楚导函数在具体区间上的符号，对于导函数比较复杂的情况，可借助二次求导来进行研究.如本题中，
含有“
”，这部分需要利用构造函数法，结合导数来研究.
22．
（1）
（除
，
两点）
（2）
，
【解析】
【分析】
（1）消去参数得
与
的普通方程，再消去
即可得出C的普通方程；
（2）得出
的极坐标方程，与曲线C的极坐标方程联立求得交点即可.
（1）
由直线
的参数方程，消去参数
得
的普通方程
：
；
由直线
的参数方程，消去参数
得
的普通方程
：
．
设
，由题设得
，消去m得
．
所以
的普通方程为
（除
，
两点）．
（2）
的极坐标方程为
（除
，
两点），
直线
的极坐标方程为
（
），
联立
得
，
由于原点也在曲线C上，所以
与C的交点有两个点，交点的极坐标为
，
．
23．
（1）
；
（2）
.
【解析】
【分析】
（1）分类讨论即可得f（x）最小值；
（2）根据柯西不等式不等式即可求解.
（1）
由
当x＜－1时，f（x）＞3；
当－1≤x<
时，
当x≥
时，f（x）≥
，
∴函数
的最小值为
；
（2）
由
（1）得
，
∴由柯西不等式可得：
，
当且仅当
时取等号，
∴
的最大值是
．
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