微积分期末复习题.docx
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微积分期末复习题
微积分期末复习题
掌握等价无穷小的概念和判别
21.x?
0时，与sinx等价的无穷小量是________。
12x3tanxA．ln（1?
x）B. （1?
cosx） ?
122.若x?
0时，2sinx?
sin2xxk，则k?
________。
A．1 B．2 C．3 D．43.当x?
0时，与x等价的无穷小量是________。
A．xsinx ?
sinx 4.当x?
0时，?
?
x2?
sin2x与?
?
x的关系是________。
A.?
与?
是同阶但不等价无穷小量 B．?
与?
是等价的无穷小量C.?
是比?
较高阶的无穷小量 D．?
是比?
较低价的无穷小量5.当x?
0时，2ln（1?
x）x是x的________无穷小量。
求极限的一般方法：
（1）利用极限的四则运算法则
（2）利用无穷小的运算法则；利用无穷小与无穷大的关系；
?
1?
sinxlim?
1elim?
1x（3）利用两个重要极限；x?
0x,x?
xx2?
（4）利用等价无穷小代换；
0?
f?
（5）洛比达法则
0?
g?
0?
求未定式,,0?
?
的极限
0?
求幂指函数uv的极限的方法：
若为1?
型，可利用第二个重要极限或者求通用的方法：
恒等变形uv?
ev?
lnulim（u?
1）v?
a，则limuv?
ea；
掌握limp（x）的计算
x?
?
q（x）?
?
x?
3, x?
36.设函数f（x）?
?
，已知limf（x）存在，则a?
________。
x?
3?
?
a?
x, x?
3xx?
x27.设函数f（x）?
，则limf（x）_______。
x?
0xxA．?
1 D.不存在
x2?
2x?
a?
2，则a?
________。
8.若lim2x?
1x?
1A．等于2 B．等于3 C．可取任意整数 D．不能判断
11119.求极限lim?
x?
sin?
?
sinx?
和lim?
x?
sin?
?
sinx?
x?
?
xxxx?
?
x?
0?
?
10.求极限limxx?
111?
x
x?
111.求极限limsin3x?
5x
x?
0ln（1?
5x）1?
?
112.求极限limx?
1x?
1lnx?
?
13.求极限求极限limx?
0x?
sinx2xx（e?
1）14.求极限limx?
132x?
1x?
1xlim15．x?
?
x2?
2x
1设时，无穷小量x?
?
16．ax3?
x2?
x?
b
1,求a,b,c,d2cx?
dx?
1函数的连续：
若limf?
x?
?
f?
x0?
，则称函数f（x）在点x0处连续．
x?
x0掌握函数的间断点的找法，并把间断点进行其分类
?
k x?
017.函数f（x）?
?
，若在x?
0处连续，常数k=________。
?
ln（1?
x） x?
0?
?
sinx?
arctan1x18.设f?
xA?
x12?
19．设f（x）?
?
e?
?
0?
x12?
讨论函数f（x）?
?
e?
?
0x?
0x?
0，在x?
0处连续，则A?
________.
当x?
0时，则____为f（x）的____间断点。
当x?
0时当x>0时在此点的左右连续性。
当x?
0时x2?
x20．函数f（x）?
，点x?
?
1是f（x）的____间断点；点x?
0是f（x）_____
x（x2?
1）间断点，点x?
1是f（x）的____间断点。
x2?
x21.函数f（x）?
2的可去间断点为____，要使函数在此点连续，则需补充定
x?
1义f
（1）?
_____。
初等函数在定义区间上都是连续的
闭区间上连续函数的性质：
函数f?
x?
在闭区间[a,b]上连续，则：
（1）f?
x?
在
[a,b]上有界；
（2）f?
x?
在[a,b]上取到最大值和最小值；（3）若f（a）?
f（b）?
0，则存在?
?
（a,b），使得f（?
）?
0。
第二三章导数及其应用
导数的四则运算
复合函数的导数
隐函数的导数
对数求导法
dydydt参数方程决定的函数的导数?
dxdxdt会求函数的2阶导数
可微的充要条件和微分的求法dy?
y?
dx特殊函数的高阶导数第二章
11.求y?
arctan的导数与微分。
x2.求方程ex?
xy?
e?
0所确定的隐函数y?
f（x）的导数和微分及
dy，
dxx?
1dyx?
1。
dy。
dx3.求方程exy?
x?
y?
e?
2所确定的隐函数y?
f（x）的导数
4.求函数y?
（2x?
1）法相同）
3（x?
1）2（x?
2）的导数。
会求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点会求函数的渐近线第三章
1.设y?
x2?
2x?
3在区间[?
1,3]上满足罗尔中值定理，则满足定理条件的
?
?
______。
2.p63T53.求函数y?
2x3?
3x2的单调区间，凹凸区间，拐点，极值点，极值。
ex4.函数y?
的垂直渐近线为________，共有___条渐近线。
1?
xx35.曲线y?
2的斜渐近线为________，共有___条渐近线。
x?
2x?
3
第四章不定积分
原函数和不定积分的概念
函数先积分后求导和先求导后积分
不定积分的性质：
加法和数乘
换元积分法
分部积分法1.P92T42.
?
?
df（x）
f（x）dx?
?
?
f?
（x）dx?
d?
?
x2f?
（x）dx?
f（x）xdx?
xe?
C呢21?
x?
3.若?
f（x）dx?
xex?
C，则f（x）?
________。
若改为?
4.若函数sin2x?
f（x）的导函数是F（x），则?
F（x）dx?
________。
5.已知f（x）?
sin2x，则?
f?
（x）dx?
________。
6.求积分?
xexdx和?
xexdx
27.求积分?
sin3xcosxdx和?
cos2xdx8.求积分?
lnxdx
第五章微分方程初步
解，通解和特解的概念一阶线性微分方程的求解Q（x）e式为y?
e
?
?
1.下列哪个是方程y?
?
2x的通解
A．y?
2x?
c B.y?
x2?
2 C.y?
x2?
c D.y?
x2?
12.求微分方程y?
?
3.求微分方程y?
?
xy?
y的特解，满足y
（1）?
1。
x?
xy2sinxy?
2的通解。
xx4.求微分方程xy?
?
y（1?
lny?
lnx）的通解。
5.求微分方程xy?
?
5y?
x4的通解。
证明题
?
1.证明方程cosx?
xsinx?
0在（0,）内必有实根。
22.证明：
方程x3?
3x2?
6x?
1?
0在区间（0,1）内有唯一的实根。
3.设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f（0）?
f
（1）?
0，证明：
至少存在一点?
?
（0,1），使得f?
（?
）?
?
4.证明：
arcsinx?
arccosx?
f（?
）?
?
2
，x?
（?
1,1）
5.证明：
当x?
0时，x?
ln（1?
x）。
7.求积分?
sin3xcosxdx和?
cos2xdx8.求积分?
lnxdx
第五章微分方程初步
解，通解和特解的概念一阶线性微分方程的求解Q（x）e式为y?
e
?
?
1.下列哪个是方程y?
?
2x的通解
A．y?
2x?
c B.y?
x2?
2 C.y?
x2?
c D.y?
x2?
12.求微分方程y?
?
3.求微分方程y?
?
xy?
y的特解，满足y
（1）?
1。
x?
xy2sinxy?
2的通解。
xx4.求微分方程xy?
?
y（1?
lny?
lnx）的通解。
5.求微分方程xy?
?
5y?
x4的通解。
证明题
?
1.证明方程cosx?
xsinx?
0在（0,）内必有实根。
22.证明：
方程x3?
3x2?
6x?
1?
0在区间（0,1）内有唯一的实根。
3.设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f（0）?
f
（1）?
0，证明：
至少存在一点?
?
（0,1），使得f?
（?
）?
?
4.证明：
arcsinx?
arccosx?
f（?
）?
?
2
，x?
（?
1,1）
5.证明：
当x?
0时，x?
ln（1?
x）。
掌握等价无穷小的概念和判别
21.x?
0时，与sinx等价的无穷小量是________。
12x3tanxA．ln（1?
x）B. （1?
cosx） ?
122.若x?
0时，2sinx?
sin2xxk，则k?
________。
A．1 B．2 C．3 D．43.当x?
0时，与x等价的无穷小量是________。
A．xsinx ?
sinx 4.当x?
0时，?
?
x2?
sin2x与?
?
x的关系是________。
A.?
与?
是同阶但不等价无穷小量 B．?
与?
是等价的无穷小量C.?
是比?
较高阶的无穷小量 D．?
是比?
较低价的无穷小量5.当x?
0时，2ln（1?
x）x是x的________无穷小量。
求极限的一般方法：
（1）利用极限的四则运算法则
（2）利用无穷小的运算法则；利用无穷小与无穷大的关系；
?
1?
sinxlim?
1elim?
1x（3）利用两个重要极限；x?
0x,x?
xx2?
（4）利用等价无穷小代换；
0?
f?
（5）洛比达法则
0?
g?
0?
求未定式,,0?
?
的极限
0?
求幂指函数uv的极限的方法：
若为1?
型，可利用第二个重要极限或者求通用的方法：
恒等变形uv?
ev?
lnulim（u?
1）v?
a，则limuv?
ea；
掌握limp（x）的计算
x?
?
q（x）?
?
x?
3, x?
36.设函数f（x）?
?
，已知limf（x）存在，则a?
________。
x?
3?
?
a?
x, x?
3xx?
x27.设函数f（x）?
，则limf（x）_______。
x?
0xxA．?
1 D.不存在
x2?
2x?
a?
2，则a?
________。
8.若lim2x?
1x?
1A．等于2 B．等于3 C．可取任意整数 D．不能判断
11119.求极限lim?
x?
sin?
?
sinx?
和lim?
x?
sin?
?
sinx?
x?
?
xxxx?
?
x?
0?
?
10.求极限limxx?
111?
x
x?
111.求极限limsin3x?
5x
x?
0ln（1?
5x）1?
?
112.求极限limx?
1x?
1lnx?
?
13.求极限求极限limx?
0x?
sinx2xx（e?
1）14.求极限limx?
132x?
1x?
1xlim15．x?
?
x2?
2x
1设时，无穷小量x?
?
16．ax3?
x2?
x?
b
1,求a,b,c,d2cx?
dx?
1函数的连续：
若limf?
x?
?
f?
x0?
，则称函数f（x）在点x0处连续．
x?
x0掌握函数的间断点的找法，并把间断点进行其分类
?
k x?
017.函数f（x）?
?
，若在x?
0处连续，常数k=________。
?
ln（1?
x） x?
0?
?
sinx?
arctan1x18.设f?
xA?
x12?
19．设f（x）?
?
e?
?
0?
x12?
讨论函数f（x）?
?
e?
?
0x?
0x?
0，在x?
0处连续，则A?
________.
当x?
0时，则____为f（x）的____间断点。
当x?
0时当x>0时在此点的左右连续性。
当x?
0时x2?
x20．函数f（x）?
，点x?
?
1是f（x）的____间断点；点x?
0是f（x）_____
x（x2?
1）间断点，点x?
1是f（x）的____间断点。
x2?
x21.函数f（x）?
2的可去间断点为____，要使函数在此点连续，则需补充定
x?
1义f
（1）?
_____。
初等函数在定义区间上都是连续的
闭区间上连续函数的性质：
函数f?
x?
在闭区间[a,b]上连续，则：
（1）f?
x?
在
[a,b]上有界；
（2）f?
x?
在[a,b]上取到最大值和最小值；（3）若f（a）?
f（b）?
0，则存在?
?
（a,b），使得f（?
）?
0。
第二三章导数及其应用
导数的四则运算
复合函数的导数
隐函数的导数
对数求导法
dydydt参数方程决定的函数的导数?
dxdxdt会求函数的2阶导数
可微的充要条件和微分的求法dy?
y?
dx特殊函数的高阶导数第二章
11.求y?
arctan的导数与微分。
x2.求方程ex?
xy?
e?
0所确定的隐函数y?
f（x）的导数和微分及
dy，
dxx?
1dyx?
1。
dy。
dx3.求方程exy?
x?
y?
e?
2所确定的隐函数y?
f（x）的导数
4.求函数y?
（2x?
1）法相同）
3（x?
1）2（x?
2）的导数。
会求函数的单调区间和极值，凹凸区间和拐点会求函数的渐近线第三章
1.设y?
x2?
2x?
3在区间[?
1,3]上满足罗尔中值定理，则满足定理条件的
?
?
______。
2.p63T53.求函数y?
2x3?
3x2的单调区间，凹凸区间，拐点，极值点，极值。
ex4.函数y?
的垂直渐近线为________，共有___条渐近线。
1?
xx35.曲线y?
2的斜渐近线为________，共有___条渐近线。
x?
2x?
3
第四章不定积分
原函数和不定积分的概念
函数先积分后求导和先求导后积分
不定积分的性质：
加法和数乘
换元积分法
分部积分法1.P92T42.
?
?
df（x）
f（x）dx?
?
?
f?
（x）dx?
d?
?
x2f?
（x）dx?
f（x）xdx?
xe?
C呢21?
x?
3.若?
f（x）dx?
xex?
C，则f（x）?
________。
若改为?
4.若函数sin2x?
f（x）的导函数是F（x），则?
F（x）dx?
________。
5.已知f（x）?
sin2x，则?
f?
（x）dx?
________。
6.求积分?
xexdx和?
xexdx
27.求积分?
sin3xcosxdx和?
cos2xdx8.求积分?
lnxdx
第五章微分方程初步
解，通解和特解的概念一阶线性微分方程的求解Q（x）e式为y?
e
?
?
1.下列哪个是方程y?
?
2x的通解
A．y?
2x?
c B.y?
x2?
2 C.y?
x2?
c D.y?
x2?
12.求微分方程y?
?
3.求微分方程y?
?
xy?
y的特解，满足y
（1）?
1。
x?
xy2sinxy?
2的通解。
xx4.求微分方程xy?
?
y（1?
lny?
lnx）的通解。
5.求微分方程xy?
?
5y?
x4的通解。
证明题
?
1.证明方程cosx?
xsinx?
0在（0,）内必有实根。
22.证明：
方程x3?
3x2?
6x?
1?
0在区间（0,1）内有唯一的实根。
3.设f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导，且f（0）?
f
（1）?
0，证明：
至少存在一点?
?
（0,1），使得f?
（?
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?
4.证明：
arcsinx?
arccosx?
f（?
）?
?
2
，x?
（?
1,1）
5.证明：
当x?
0时，x?
ln（1?
x）。
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