苏科版初一数学《有理数》教学中的16个问题.docx

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苏科版初一数学《有理数》教学中的16个问题

苏科版初一数学《有理数》教学中的16个问题

运算符号的由来

表示计算方法的符号叫做运算符号，如四则计算中的“＋”、“—”、“×”、“÷”等．

加号“＋”是加法符号，表示相加．减号“—”是减法符号，表示相减．

“＋”与“—”这两个符号是德国数学家威特曼在1489年他的著作《简算与速算》一书中首先使用的．在1514年被荷兰数学家赫克作为代数运算符号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到1630年，才获得大家的公认．

乘号“×”是乘法符号，表示相乘．1631年，英国数学家奥特轩特提出用符号“×”表示相乘．乘法是表示增加的另一种方法，所以把“＋”号斜过来．另一个乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的．

除号“÷”是除法符号，表示相除．用这个符号表示除法，首先出现在瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中．几年以后，该书被译成英文，才逐渐被人们认识和接受．（选自《跨世纪知识城——谈数学》）

集合

集合是一个无法定义、只能描摹的原始概念．集合论的创始人康托尔（GeorgCantor，1845-1918）指出：

“集合是一些确定的、不同的对象的总体，这些对象人们能意识到，而且能判断一个给定的对象是否属于这个总体．”这些对象称为集合的元素．

由全体自然数、整数、有理数、实数等所构成的集合就分别称为自然数集（非负整数集）、整数集、有理数集、实数集等．

海拔高度

以平均海平面为标准的高度称为海拔高度．海拔的起点叫做海拔零点或水准零点．1956年起我国的海拔零点统一为青岛零点．

欧洲将荷兰的阿姆斯特丹附近海面定为海拔零点，美国将伯克兰附近海面定为海拔零点．寻求全球统一的海拔零点是海洋大地测量的重要任务．

1975年我国对世界最高峰——珠穆朗玛峰的高程进行了精确测定，当年7月23日，中国政府授权新华社向全球宣布：

我国测绘工作者精确测得世界最高峰——珠穆朗玛峰的海拔高程为8848.13m．

2005年5月我国再次对珠穆朗玛峰的高程进行测量，2005年10月9日经国务院批准并授权，由国家测绘局公布：

珠穆朗玛峰峰顶岩石面海拔高程为8844.43m．

艾丁湖位于我国新疆吐鲁番市东南30km的吐鲁番盆地最低洼处．1978年，国家测绘总局测得艾丁湖底的海拔高程为－154.566m．1981年测绘总局公布了这一测量成果，并建议用－155m作为我国陆上最低点的标高．1992年旅游部门在那里建立了一块永久性纪念碑．

是无理数的证明

若x2＝2，则x不是有理数．因为如果x是有理数，那么x可以写成最简分数

（p、q是整数，p与q互质）的形式，于是2=x2=

即p2＝2q2，由于2q2是偶数，所以p也是偶数，不妨设p＝2a，可得4a2＝2q2，即q2＝2a2，而2a2是偶数，所以q应是偶数，这样p、q都是偶数了，它们的公约数是2，与p、q互质矛盾．可见，x不是有理数，而是无理数．人们通常将它记为

．（江苏教育出版社《初中生数学学习》、《小议无理数与它的特性》周士藩2003年第6期）

液体温度计

液体温度计的主要部分是一根内径很细的玻璃管，其下端是一个玻璃泡，在玻璃管和玻璃泡里盛适量液体，通过液体的热胀冷缩反映温度变化．

根据液体的不同，液体温度计通常分为水银温度计、酒精温度计、甲苯温度计和煤油温度计等．这些液体及其特性如下：

幻方

“幻方”也称纵横图、魔方、魔阵，是一个相当古老的数学问题．将1，2，3，…，

个连续整数，填入方格中，使纵横各行及对角线上的数字和等于常数，便构成一个“幻方”．

公元前2200年的我国商周时代的《易经》上说：

为奖励大禹治水的功绩，一只神龟浮出洛河，把图①所示的“洛书”献给大禹．

图②所示的一个三行三列的数字方阵，称为“三阶幻方”．我国古代又称“三阶幻方”为“九宫”．

《易经》上又说：

一匹龙马跃出黄河，把一张图③所示的“河图”赠给大禹．显然，“河图”的数学信息的含量更大．

“神龟洛书，龙马河图”是4000多年前中华民族的创造，也是组合数学的最早成果，值得我们自豪，可惜它被后人神化，未能发展成系统的理论．

经过世界各国一代代数学家与数学爱好者的努力，幻方及其所蕴含的各种神奇性质逐步得到揭示．如今，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群论、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用．1977年，“四阶幻方”作为人类的特殊语言被“美国旅行者”1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息．

气温

气象学上把表示空气冷热程度的物理量称为空气温度，简称气温，国际上标准气温度量单位为摄氏度（℃）．天气预报中的气温，是在植有草皮的观测场离地面1.5m高的百叶箱里温度计的气温，由于有良好的通风并避免阳光直射，所以得到的温度具有较好的代表性．在夏日炎炎的午后，在交通繁忙的水泥路面，在空无遮挡的阳台等地测得的气温要比百叶箱气温高得多．

死海

西亚著名大盐湖，位于约旦同巴勒斯坦之间的西亚裂谷中．南北长80km，东西宽4.8～17.7km，面积1049km．湖面低于地中海海面392m，平均深300m，最深395m，是世界陆地最低处．

由于湖水含盐量在25％以上，动、植物都难以在水中及湖边生存，所以水里没有鱼虾和植物．水面上看不到水鸟，岸边只有白花花的鹅卵石，一片死气沉沉的凄凉景象．但死海中的水却有治病的奇效，在死海中游泳后，身上被太阳晒出的白粉中含有钾盐和硫磺，能治风湿病、关节炎和哮喘病，因此每年都有不少游客慕名来此“治病”．有趣的是，由于水的含盐量高，浮力大，人在水中就像木头漂浮在水面，只要保持身体平衡，就能自由自在地戏水而不会沉没．

富翁打赌

有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻．贪财好利是他们的共同特点．

一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来．精明的富翁说：

“我可以每天给你一万元，只收回你一分钱．”吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：

“你若真的每天给我一万元，别说我给你1分，就是再给你一千我也干！

”

“不！

”精明的富翁说，“条件只是第一天，你给我一分．”

“难道你第二天还要给我一万？

”

“是的”，精明的富翁说：

“只是你第二天收了我的一万，要给我二分．第三天……”

没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：

“第三天你再给我一万，我给你……”

“四分！

就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍．”

吝啬的富翁心想：

这家伙可能神经出了毛病，便问：

“每天送我一万，这样下去，你的钱够送多少天呢？

”

“我是人人都知道的百万富翁．”精明的富翁说：

“我不打算都送给你，只拿出三十万，先送你一个月足够了．但是你给我的钱也一分也不能少！

”

嘿，还当真呢！

吝啬的富翁说：

“你敢签订协议吗？

”

“不签协议算什么打赌？

”精明的富翁说：

“咱们还要找几个公证人呢！

”

吝啬的富翁真是喜出望外，于是他们签了协议，找来了几个公证人．协议上写道：

甲方每天给乙方一万元，乙方每天给甲方的钱数从一分开始，以后每天都是前一天的两倍．双方持续时间为30天，就这样，把手续办好了．

吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼，生怕对方反悔．不料，天刚亮，对方提着一万元送上门来，按约定他给了对方一分钱．第二天，对方仍然如约送来了一万元．他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！

想着，想着，数钱的手都颤抖了！

于是自己也如约给了对方2分钱．对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱“别忘了，明天给我4分钱！

”

当吝啬的富翁拿到十万元时，精明的富翁只得到十元二角三分钱．但是，他仍高高兴兴地每天如约送来一万．

可是，20多天以后，吝啬的富翁突然要求终止打赌．对方以及一些证人当然不会同意，30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议．到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了．你说，这是为什么呢？

原来吝啬的富翁在一个月内共得到300000元，而他需要付给对方的钱，总数是：

＝1＋2＋4＋8＋16＋32＋…＋536870912＝1073741823（分）＝10737418.23（元）．即：

一千零七十三万七千四百一十八元二角三分．（选自《奇妙数学大世界》）

棋盘上的粮食

中国、印度、埃及和巴比伦是世界四大文明古国．

传说，古印度有一个人发明了一种游戏棋，棋盘共64格，玩起来十分新奇、有趣．他把这种棋献给了国王，国王玩得十分开心，便下令赏赐献棋人．

臣下问献棋人想要什么．献棋人说：

“我只需要粮食，要求大王给点粮食便心满意足了．”问他需要多少粮食，他说只要求在棋盘的第一个格子里放一粒米，在第二个格子放两粒米，第三个格子里放四粒米……总之，后面格子里的米都比它前一格增大一倍，把64格都放满了就行．

国王一听，满口答应．大臣们也都认为：

这点米，算得了什么，便领献棋人去领米．岂料，到后来把所有仓库里的存米都付出了，还是不够．你知道这是为什么吗？

米粒数根据制棋人的要求．可列式为：

＝184********709551615（粒）．

如果造一个仓库来存放这些米，仓库应是多大呢？

有人算过，若仓库高4米，宽10米，那么长应是地球到太阳距离的2倍．这样的长方体仓库在地球上是容不下的，当然这只是个假设．传说，当时计算米粒数宫廷里就整整算了三天！

这是中学数学中“等比级数求和”问题．在当时只是凭手工硬乘出来的．国库中当然不可能有那么多的粮食．（选自《奇妙数学大世界》）

乘方和幂

民间流传着这样一个古老的问题：

路上走着七位老人，

每位老人有七根拐棍，

每根拐棍有七个树杈，

每个树杈上挂着七只口袋，

每只口袋里装着七个布包，

每个布包里装着七只麻雀．

请你帮我算一算，共有多少只麻雀？

这个题目不难算，共有麻雀

7×7×7×7×7×7＝117649（只）．

这是一个求相同因数连乘积的运算，人们嫌相同因数个数多，写起来麻烦，便发明了一种方法，把它写成：

7×7×7×7×7×7＝76．

这种写法很方便，例如100个7连乘，如果用乘法写，要写100个7，太麻烦了．用这种方法写，只要写成7100就可以了．一般说来，n个a连乘，可以写成

．像这样求相同因数积的运算，叫做乘方；乘方的结果叫做幂．

在数学课上，老师有时把an读作“a的n次方”；有时又读作“a的n次幂”．同样一个符号an，为什么会有两种不同的读法呢？

这是因为乘方和幂，既是两个不同的概念，又是两个有关联的名词．乘方是一种特殊的乘法运算，从运算的角度考虑，就可以把an读成a的n次方；而幂是乘方运算的结果，那就只能读作a的n次幂．有趣的是，符号（am）n，还要读成“a的m次幂的n次方”．

虽然an的读法有两种，但是数学运算是方法，运算的答案是结果，方法和结果终究是两回事，它们是不能混淆的．

在初中数学中，学过的代数方法有加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等几种．加法运算的结果叫做“和”，减法运算的结果叫做“差”，乘法运算的结果叫做“积”，除法运算的结果叫做“商”，乘方运算的结果叫做“幂”，开方运算的结果叫做“方根”．

科学记数法

把一个数记成

的形式，其中a满足1≤∣a∣＜10，n是正整数，像这样的记数法叫做科学记数法．

例：

，

．

记数法的历史

我们追溯到五千年到八千年前看一看，这时，四大文明古国都早已从母系社会过渡到父系社会了，生产力的发展导致国家雏形的产生，生产规模的扩大则刺激了人们对大数的需要．比如某个原始国家组织了一支部队，国王陛下总不能老是说：

“我的这支战无不胜的部队共计有9名士兵！

”于是，慢慢地就出现了“十”、“百”、“千”、“万”这些符号．在我国商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文，即在八日辛亥那天消灭敌人共计2656人．在商周的青铜器上也刻有一些大的数字，以后又出现了“亿”、“兆”这样的大数单位．

而在古罗马，最大的记数单位只有“千”．他们用M表示一千，“三千”则写成“MMM”，“一万”就得写成“MMMMMMMMMM”．真不敢想象，如果他们需要记一千万时怎么办，难道要写上一万个M不成？

总之，人们为了寻找记大数的单位是花了不少脑筋的，传说以前一些私塾先生告诉他的学生道：

“最大的数叫‘猴子翻跟斗’”．这位私塾先生可能认为孙悟空一个跟斗翻过去的路程是最最远的，不能再远了，所以完全可以用“猴子翻跟斗”来表示最大的数．在古印度，使用了一系列大数单位后，最后的最大的数的单位叫做“恒河沙”．是呀，恒河中的沙子你数得清吗！

然而，古希腊有一位伟大的学者，他却数清了“充满宇宙的沙子数”，那就是阿基米德．他写了一篇论文，叫做《计沙法》，在这篇文章中，他提出的记数方法，同现代数学中表示大数的方法很类似．他从古希腊的最大数字单位“万”开始，引进新数“万万（亿）”作为第二阶单位，然后是“亿亿”（第三阶单位），“亿亿亿”（第四阶单位），等等，每阶单位都是它前一阶单位的1亿倍．

阿基米德的同时代人、天文学家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距离10，000，000，000斯塔迪姆（1斯塔迪姆＝188米），这个距离当然比现在我们所认识的宇宙要小得多，这才仅仅是太阳到土星的距离．阿基米德假定这个“宇宙”里充满了沙子．然后开始计算这些沙子的数目．最后他写道：

“显然，在阿里斯塔克斯计算出的天球里所能装入的沙子的粒数，不会超过一千万个第八阶单位”.如果要把这个沙子的数目写出来,就是10，000，000×（100，000，000）7或者就得在1后边写上63个0：

1，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000．这个数，我们现在可以把它写得简单一些：

即写成1×1063．而这种简单的写法，据说是印度某个不知名的数学家发明的．

现在，我们还可更进一步把这种方法推广到记任何数，例如：

32，000，000就可记为3．2×107，而0．0000032则可记为3．2×10－6．这种用在1与10间的一个数乘以10的若干次幂的记数方法就是“科学记数法”．这种记数法既方便，又准确，又简洁，还便于进行计算，所以得到了广泛的使用．

其他记数法

记数法（NumerationSystemofNumber）是指记录或标志数目的方法，主要指数字符号的表现形态和记数工具的使用．

在文字产生以前，人类已形成数的概念、数目用实物记录，如石子、竹片、贝壳等，有时也用人类天生的计算工具手指和脚趾，“屈指可数”反映出这种记数法．后来使用了结绳和契刻，随着记载数目的增大出现了进位制，由于各地区各民族所处的自然环境与社会环境都不相同，因此产生出各种不同的记数方法．

除整数记数法外，许多地区还有各自的分数记载方法，例如古埃及的单位分数表示法；巴比伦地区的60进位分数表示法；古希腊的字母分数表示法；古罗马的算盘分数表示法；中国古代和印度古代的分数表达式等．中国约在13世纪出现10进分数（小数）表达式，中亚细亚数学家卡西是中国以外第一个系统应用这种小数的人．

十进制是最常用的一种记数法，就正整数而言，就是以十为基数，逢十进一位，逢百进二位，逢千进三位等等，从而把一个正整数从右到左分成个位数、十位数、百位数、千位数等等．如4325＝4×103＋3×102＋2×101＋5×100．二进制也是广泛应用的一种记数法，十进制是逢十进位，二进制是逢二进位．如：

（101011）2＝1×25＋1×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20＝43．

拉面记录

1988年，我国拉面高手在一次烹饪大赛上，拉出了14扣，共16000多根细面，获得“拉面大王”的称号．

在1998年3月的一次表演中，“拉面大王”用1kg面粉轻松拉出18扣，共262144根细细的面丝，累计长度达到508559.36m，并因此成为世界“最细的拉面”第一人．

2000年，他用1kg面粉拉出20扣，细面总数1048576根，累计长度达到2352897.28m，相当于珠穆朗玛峰的高度的266倍，可绕地球赤道58圈．面条细如蛛丝，一根针眼中可穿过18根，第3次创出新的吉尼斯纪录．

2000年11月，他的儿子以21扣、细面总数2097152根取代父亲，成为当时世界“最细的拉面”第一人．

对折报纸

为什么那么大的一张报纸对折起来竟那么困难？

不妨将对折次数、报纸厚度、报纸面积的变化记录如下：

可见，在对折过程中报纸的面积随着报纸厚度的成倍增加而成倍减小，所以对折到第9次时，报纸已又小又厚，再加上纸本身的拉力，要想对折成功而不撕裂报纸，其困难程度比把256张大报纸对折还要困难得多．

运算、运算顺序及运算律

1．运算

数字运算，就是从给定的数字出发，施行确定的步骤以获得确定的结果．例如：

给定两个数3和5，中间放个加号，得8，这就是一种运算——加法；给定两个数3和5，中间放个乘号，得15，这就是另一种运算——乘法．

运算的种类很多，但基本的算术运算只有两种——加法和乘法．减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算．

除了数以外，运算也可以施于其他对象．例如，两个力作用于同一物体，可以说两个力相加，这是向量之间的加法运算；把一个三角形按比例放大，再绕它的外心旋转

，可以说是放大与旋转相乘，这是几何变换之间的乘法运算．

通常，可结合又可交换的运算叫做加法；可结合但不一定可交换的运算叫做乘法．

2．运算顺序

常用的运算分三级．加减法是一级运算，乘除法是二级运算，乘方和开方是三级运算．

如果一个算式里有不同级别的运算，那么先进行三级运算，再进行二级运算，最后进行一级运算．这样规定的好处是可以少用括号，否则3×5＋6÷2，就要写成（3×5）＋（6÷2）．

如果一个算式里只有同一级别的运算，那么按自左而右的顺序进行．例如3－2＋1要先算3－2，不能先算2＋1．

3．运算律

两种基本算术运算服从5条基本运算律，即加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法对加法的分配律．

如果甲种运算比乙种运算高一级，那么甲种运算对乙种运算有分配律．例如，乘除法对加减法有分配律，乘方、开方对乘除法有分配律．

差两级运算不具有分配律，例如，乘方和开方对加减法没有分配律，不能把

写成

．