高考数学二轮复习知识点总结三角函数的图象与性质.docx

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高考数学二轮复习知识点总结三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质

　1.对三角函数的图象和性质的考查中，以图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值等作为热点内容，并且往往与三角变换公式相互联系，有时也与平面向量，解三角形或不等式内容相互交汇.2.题型多以小而活的选择题、填空题来呈现，如果设置解答题一般与三角变换、解三角形、平面向量等知识进行综合考查，题目难度为中、低档．

1．三角函数定义、同角关系与诱导公式

（1）定义：

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.各象限角的三角函数值的符号：

一全正，二正弦，三正切，四余弦．

（2）同角关系：

si

n2α＋cos2α＝1，＝tanα.

（3）诱导公式：

在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．

2．三角函数的图象及常用性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

单调性

在[－＋2kπ，＋2kπ]（k∈Z）上单调递增；在[＋2kπ，＋2kπ]（k∈Z）上单调递减

在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上单调递减

在（－＋kπ，＋kπ）（k∈Z）上单调递增

对称性

对称中心：

（kπ，0）（k∈Z）；对称轴：

x＝＋kπ（k∈Z）

对称中心：

（＋kπ，0）（k∈Z）；对称轴：

x＝kπ（k∈Z）

对称中心：

（，0）（k∈Z）

3．三角函数的两种常见变换

考点一　三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系问题

例1　

（1）

如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐

标系，设秒针针尖位置P（x，y）．若初始位置为P0，当秒针

从P0（此时t＝0）正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函

数关系为（　　）

A．y＝sinB．y＝sin

C．y＝sinD．y＝sin

（2）已知点P落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π），则θ的值为（　　）

A.B.C.D.

弄清三角函数的概念是解答本题的关键．

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）由三角函数的定义可知，初始位置点P0的弧度为，由于秒针每秒转过的弧度为－，针尖位置P到坐标原点的距离为1，故点P的纵坐标y与时间t的函数关系可能为y＝sin.

（2）tanθ＝＝＝－1，

又sin>0，cos<0，

所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π），所以θ＝.

（1）涉及与圆及角有关的函数建模问题（如钟表、摩天轮、水车等），常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．

（2）应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．

（1）已知α∈（－π，0），tan（3π＋α）＝，则cos的值为（　　）

A.B．－

C.D．－

答案　B

解析　由tan（3π＋α）＝，

得tanα＝，cos＝cos＝sinα.

∵α∈（－π，0），∴sinα＝－.

（2）如图，

以Ox为始边作角α（0<α<π），终边与单位圆相交于点P，

已知点P的坐标为.

求的值．

解　由三角函数定义，

得cosα＝－，sinα＝，

∴原式＝＝

＝2cos2α＝2×2＝.

考点二　三角函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及解析式

例2　

函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（其中|φ|<）的图象如图所示，为了得到

g（x）＝sinωx的图象，则只要将f（x）的图象（　　）

A．向右平移个单位

B．向右平移个单位

C．向左平移个单位

D．向左平移个单位

答案　A

解析　由图象可知，＝－＝，

∴T＝π，∴ω＝＝2，再由2×＋φ＝π，

得φ＝，所以f（x）＝sin.

故只需将f（x）＝sin2向右平移个单位，

就可得到g（x）＝sin2x.

（1）已知函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．

（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．

（1）（2013·四川）

函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0，－<φ<）的部

分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）

A．2，－B．2，－

C．4，－D．4，

答案　A

解析　∵T＝－，T＝π，∴ω＝2，

又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，∴φ＝2kπ－，

又φ∈，∴φ＝－，选A.

（2）（2012·浙江）把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是（　　）

答案　A

解析　利用三角函数的图象与变换求解．

y＝cos2x＋1

y＝cosx＋1

y＝cos（x＋1）＋1

y＝cos（x＋1）．

结合选项可知应选A.

（3）已知函数f（x）＝sin2x－2sin2x＋2，x∈R.

①求函数f（x）的最大值及对应的x的取值集合；

②画出函数y＝f（x）在[0，π]上的图象．

解　①f（x）＝sin2x＋cos2x＋1＝2sin＋1，

当2x＋＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）取最大值3，

此时x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．

②列表如下：

x

0

π

2x＋

π

2π

y

2

3

1

－1

1

2

图象如下：

考点三　三角函数的性质

例3　（2012·北京）已知函数f（x）＝.

（1）求f（x）的定义域及最小正周期；

（2）求f（x）的单调递增区间．

先化简函数解析式，再求函数的性质．

解　

（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），

故f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f（x）＝

＝2cosx（sinx－cosx）

＝sin2x－cos2x－1

＝sin－1，

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）函数y＝sinx的单调递增区间为

（k∈Z）．

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，x≠kπ（k∈Z），

得kπ－≤x≤kπ＋，x≠kπ（k∈Z）．

所以f（x）的单调递增区间为和（k∈Z）．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的性质及应用的求解思路

第一步：

先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式；

第二步：

把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin（ωx＋φ）＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．

（1）已知函数f（x）＝sinx＋cosx，g（x）＝sinx－cosx，有下列四个命题：

①将f（x）的图象向右平移个单位可得到g（x）的图象；

②y＝f（x）g（x）是偶函数；

③f（x）与g（x）均在区间上单调递增；

④y

＝的最小正周期为2π.

其中真命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　f（x）＝sin（x＋），

g（x）＝sinx－cosx＝sin（x－），显然①正确；

函数y＝f（x）g（x）＝sin2x－cos2x＝－cos2x，

其为偶函数，故②正确；

由0≤x＋≤及－≤x－≤0都可得－≤x≤，

所以由图象可判断函数f（x）＝sin（x＋）和函数g（x）＝sin（x－）在[－，]上都为增函数，故③正确；

函数y＝＝＝＝－tan（x＋），由周期性定义可判断其周期为π，故④不正确．

（2）（2013·安徽）已知函数f（x）＝4cosωx·sin（ω>0）的最小正周期为π.

①求ω的值；

②讨论f（x）在区间上的单调性．

解　①f（x）＝4c

osωx·sin

＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx

＝（sin2ωx＋cos2ωx）＋

＝2sin＋.

因为f（x）的最小正周期为π，且ω>0.

从而有＝π，故ω＝1.

②由①知，f（x）＝2sin＋.

若0≤x≤，

则≤2x＋≤.

当≤2x＋≤，

即0≤x≤时，f（x）单调递增；

当≤2x＋≤，

即≤x≤时，f（x）单调递减．

综上可知，f（x）在区间上单调递增，

在区间上单调递减．

1．求函数y＝Asin（ωx＋φ）（或y＝Acos（ωx＋φ），或y＝Atan（ωx＋φ））的单调区间

（1）将ω化为正．

（2）将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解．

2．已知函数y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A>0，ω>0）的图象求解析式

（

1）A＝，B＝.

（2）由函数的周期T求ω，ω＝.

（3）利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.

3．函数y＝Asin（ωx＋φ）的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．

4．求三角函数式最值的方法

（1）将三角函数式化为y＝Asin（ωx＋φ）＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解．

（2）将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解．

5．特别提醒：

进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.

1．假设若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”．给出下列函数：

①f（x）＝sinx－cosx；②f（x）＝（sinx＋cosx）；

③f（x）＝sinx＋2；④f（x）＝sinx.

则其中属于“互为生成函数”的是（　　）

A．①②B．①③C．③④D．②④

答案　B

2．已知函数f（x）＝sinωx·cosωx＋cos2ωx－（ω>0），直线x＝x1，x＝x2是y＝f（x）图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.

（1）求f（x）的表达式；

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，若关于x的方程g（x）＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

解　

（1）f（x）＝sin2ωx＋×－

＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin（2ωx＋），

由题意知，最小正周期T＝2×＝，

T＝＝＝，所以ω＝2，

∴f（x）＝sin.

（2）将f（x）的图象向右平移个单位后，

得到y＝sin（4x－）的图象，

再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，

纵坐标不变，得到y＝sin（2x－）的图象．

所以g（x）＝sin（2x－）．

令2x－＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤.

g（x）＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，

即函数g（t）＝sint与y＝

－k在区间[－，]上有且只有一个交点．

如图，

由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.

∴－

（推荐时间：

60分钟）

一、选

择题

1．点P从（1,0）出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（　　）

A.B.

C.D.

答案　A

解析　记α＝∠POQ，由三角函数的定义可知，

Q点的坐标（x，y）满足x＝cosα＝cos＝－，

y＝sinα＝sin＝.

2．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α等于（　　）

A．－B．－C.D.

答案　A

解析　因为sinα＋cosα＝，

两边平方得1＋2sinαcosα＝，所以sin2α＝－.

由于sinα＋cosα＝sin＝>0，

且α为第二象限角，

所以2kπ＋<α<2kπ＋，k∈Z，

所以4kπ＋π<2α<4kπ＋，k∈Z，

所以cos2α＝－＝－＝－.

3．将函数y＝cos的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平

移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（　　）

A．x＝B．x＝

C．x＝πD．x＝

答案　D

解析　y＝cos

y＝cos

y＝cos，即y＝cos.

因为当x＝时，y＝cos＝1，

所以对称轴可以是x＝.

4．

若函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0，|φ|<）在一个周期内的图象如图所

示，M，N分别是这段图象的最高点与最低点，且·＝0，则A·ω

等于（　　）

A.B.C.D.

答案　C

解析　由题中图象知＝－，

所以T＝π，所以ω＝2.

则M，N

由·＝0，得＝A2，

所以A＝，所以A·ω＝.

5．已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（ω>0）的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为（　　）

A．2B．4C．6D．8

答案　A

解析　由f＝0知是f（x）图象的一个对称中心，又x＝是一条对称轴，所以应有，

解得ω≥2，即ω的最小值为2，故选A.

6．（2013·江西）

如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半径为1m的圆O在t

＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆

被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx，则y与时间t（0≤t≤1，

单位：

s）的函数y＝f（t）的图象大致为（　　）

答案　B

解析　方法一　（排除法）

当t＝0时，y＝cos0＝1，否定A、D.

当t＝时，l2上方弧长为π.

y＝cosπ＝－

.

∴否定C，只能选B.

方法二　（直接法）

由题意知∠AOB＝x，OH＝1－t，

cos∠AOH＝cos＝＝1－t，

∴y＝cosx＝2

cos2－1

＝2（1－t）2－1（0≤t≤1）．

∴选B.

二、填空题

7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若P（4，y）是角θ终边上一点，且sinθ＝－，则y＝________.

答案　－8

解析　因为sinθ＝＝－，

所以y<0，且y2＝64，所以y＝－8.

8．函数f（x）＝sinπx＋cosπx＋|sinπx－cosπx|对任意的x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2－x1|的最小值为________．

答案　

解析　依题意得，当sinπx－cosπx≥0，

即sinπx≥cosπx时，f（x）＝2sinπx；

当sinπx－cosπx<0，

即sinπx

令f（x1）、f（x2）分别是函数f（x）的最小值与最大值，

结合函数y＝f（x）的图象可知，|x2－x1|的最小值是.

9．已知f（x）＝2sin－m在x∈[0，]上有两个不同的零点，则m的取值范围为________．

答案　[1,2）

解析　

函数f（x）＝2sin－m在x∈[0，]上有两个不同的零

点，等价于方程m＝2sin在区间[0，]上有两解．

作出如图的图象，由于右端点的坐标是，由图可知，

m∈[1,2）．

10．关于函数f（x）＝sin2x－cos2x有下列命题：

①y＝f（x）的周期为π；②x＝是y＝f（x）的一条对称轴；③是y＝f（x）的一个对称中心；④将y＝f（x）的图象向左平移个单位，

可得到y＝sin2x的图象，其中正确命题的序号是______（把你认为正确命题的序号都写上）．

答案　①③

解析　由f（x）＝sin2x－cos2x＝sin，

得T＝＝π，故①对；

f＝sin≠±，故②错；

f＝sin0＝0，故③对；

y＝f（x）的图象向左平移个单位，

得y＝sin＝sin，

故④错．故填①③.

三、解答题

11．（2013·山东）设函数f（x）＝－sin2ωx－sinωxcosωx（ω>0），且y＝f（x）图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.

（1）求ω的值；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

解　

（1）f（x）＝－sin2ωx－sinωxcosωx

＝－×－sin2ωx

＝cos2ωx－sin2ωx

＝－sin.

依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.

（2）由

（1）知f（x）＝－sin.

当π≤x≤时，≤2x－≤.

所

以－≤sin≤1.

所以－1≤f（x）≤.

故f（x）在区间上的最大值和最小值分别为，－1.

12．（2012·湖南）已知函数f（x）＝Asi

n（ωx＋φ）的部分图象如图所示．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数g（x）＝f－f的单调递增区间．

解　

（1）由题设图象知，周期T＝2＝π，

所以ω＝＝2.

因为点在函数图象上，

所以Asin＝0，

即sin＝0.

又因为0<φ<，所以<＋φ<.

从而＋φ＝π，即φ＝.

又点（0,1）在函数图象上，所以Asin＝1，解得A＝2.

故函数f（x）的解析式为f（x）＝2sin.

（2）g（x）＝2sin－2sin

＝2sin2x－2sin

＝2sin2x－2

＝sin2x－cos2x＝2sin.

由2kπ－

≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

所以函数g（x）的单调递增区间是，k∈Z.