第2章信息编码及在计算机中的表示.docx
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第2章信息编码及在计算机中的表示
第2章信息编码及在计算机中的表示
2.1信息的数字化编码
编码：
是用来将信息从一种形式转变为另一种形式的符号系统，通常选用少量最简单的基本符号和一定的组合规则，以表示出大量复杂多样的信息。
信息的数字化编码：
是指用“0”或“1”这种量最少、最简单的二进制数码，并选用一定的组合规则，来表示数据、文字、声音、图形和图像等各种复杂的信息。
计算机中采用的是二进制数码,为什么？
（重点）
2.2进位计数制及其相互转换
2.2.1进位计数制
数制中的三个基本名词术语：
数码：
用不同的数字符号来表示一种数制的
数值，这些数字符号称为“数码”。
基：
数制所使用的数码个数称为“基”。
权：
某数制各位所具有的值称为“权”。
1.十进制数（DecimalSystem）
数码：
0、1、……8、9
基：
10（逢十进一，借一当十）
权：
以10为底的幂
任何一个十进制数DnDn-1…D1D0D-1…，可以表示成按权展开的多项式：
Dn×10n＋Dn-1×10n-1＋…＋D1×101＋D0×100＋D-1×10-1＋…＋D-m×10-m
例如：
1234.5的按权展开多项为：
1234.5＝1×103＋2×102＋3×101＋4×100＋5×10-1
⒉二进制数
二进制（BinarySystem）
数码：
0和1
基：
2
权：
以2为底的幂
任何一个二进制数BnBn-1…B1B0B-1…B-m，可以表示成按权展开的多项式：
Bn×2n＋Bn-1×2n-1＋…＋B1×21＋B0×20＋B-1×2-1＋…＋B（-m+1）×2-（m-1）+B-m×2-m
例如：
1101.01的按权展开多项为：
1101.01＝1×23＋1×22＋0×21＋1×20＋0×2-1＋1×2-2
⒊八进制数
八进制数（OctaveSystem）
数码：
0、1、……6、7
基：
8
权：
以8为底的幂
八进制数的一般式可以表示为：
Ｏn×8n＋Ｏn-1×8n-1＋…＋Ｏ1×81＋Ｏ0×80＋Ｏ-1×8-1＋…＋Ｏ（-m+1）×8-（m-1）＋Ｏ-m×8-m
⒊十六进制数
十六进制（HexadecimalSystem）
数码：
0、1、……8、9、A（1010）、B（1011）、C（1100）、D（1101）、E（1110）、F（1111）
基：
16
权：
以8为底的幂
十六进制数的一般式可以表示为：
Ｈn×16n＋Ｈn-1×16n-1＋…＋Ｈ1×161＋Ｈ0×160＋Ｈ-1×16-1＋…＋Ｈ（-m+1）×16-（m-1）＋Ｈ-m×16-m
例:
二进制数1011.0101及其对应的八进制数、
十进制数和十六进制数可以表示为：
1101.0111
（2）＝15.34（8）＝13.4375（10）＝E.7（16）
或:
（1101.0111）2＝（15.34）8＝（13.4375）10＝（E.7）16
或:
1101.0111Ｂ＝15.34Ｏ＝13.4375Ｄ＝E.7Ｈ
2.2.2常用进位计数制间的相互转换
⒈二进制数、八进制数、十六进制数转换为十进制数
各种进位计数制可统一表示为下式：
式中:
R─某种进位计数制的基数；
i─位序号；
Ki─第i位上的一个数码为0～R-1中的任一个；
Ri─则表示第i位上的权；
m,n─最低位和最高位的位序号。
用上式可将任何一个二进制数、八进制数、十六进制数直接转换为十进制数,这叫做按权展开法。
例：
⑴二进制数转换为十进制数
（1011.0101）2＝1×23＋0×22＋1×21＋1×20＋0×2-1＋1×2-2＋0×2-3＋1×2-4＝8＋0＋2＋1＋0＋1/4＋0＋1/16
＝（11.3125）10
⑵八进制数转换为十进制数
（75.21）8＝7×81＋5×80＋2×8-1＋1×8-2
＝56＋5＋2/8＋1/64＝（45.20238）10
⑶十六进制数转换为十进制数
（175.FB）16＝1×162＋7×161＋5×160＋15×16-1＋11×16-2
＝256＋112＋5＋15/16＋11/162
＝（373.98046875）10
⒉十进制数转换为二进制数
⑴十进制整数转换为二进制数（连除基数、倒取余）
方法：
除以2取余法。
即逐次除以2，直至商为0，得出的余数即为二进制数各位的数码。
【例2.1】把一个十进制数156转换为二进制数。
结果：
（156）10＝（10011100）2
⑵十进制纯小数转换为二进制数
方法：
乘2取整法。
即逐次乘以2，从每次乘积的整数部分得到二进制数各位的数码。
【例2.2】把十进制小数0.34375转换为二进制小数。
结果：
（0.34375）10＝（0.01011）2
连乘基数、正向取整
⒊二进制数与八进制数的转换
1.二进制数转换成八进制数
方法：
将二进制数从小数点开始分别向左（对二进制整数）或向右（对二进制小数）每三位组成一组，每一组有3位二进制数，转换成八进制数码中的1个数字，连接起来即可。
不足3位的补0。
【例2.3】把二进制数（101100011.011100101）2转换为八进制数。
101100011.011100101
543.345
即有：
（101100011.011100101）2＝（543.345）8
⒊二进制数与八进制数的转换
2.八进制数转换成二进制数
方法：
将每1位八进制数写成相应二进制3位数，顺序写好即成。
【例2.4】把八进制数（7351.65）8转换为二进制数。
7351.65
111011101001.110101
即有：
（7351.65）8＝（111011101001.110101）2
⒋二进制数与十六进制数的转换
⑴二进制数转换成十六进制数
方法：
把十六进制数每位的数字与二进制数的4位数相对应。
【例2.5】把二进制数（110100110101）2转换为十六进制数。
110100110101
D35
即有:
（110100110101）2＝（D35）16
⒋二进制数与十六进制数的转换
⑵十六进制数转换成二进制数
方法：
将每1位十六进制数写成相应的二进制4位数，顺序写好即成。
例如：
E8B
111010001011
即有:
（E8B）16＝（111010001011）2
对于十进制数转换为八进制数或十六进制数的问题，我们可以先把十进制数转换成二进制数，然后再转换为八进制数或十六进制数。
4种数制之间的转换可参照下表进行
2.3非数值数据的表示
2.3.1字符数据的编码
非数值数据又叫符号数据或字符数据，包括字母和符号。
目前世界上用ASCII码（AmericanStandardCodeforInformationInterchange）来表示。
ASCII码有7位ASCII码和8位ASCII码两种，7位ASCII码称为标准ASCII码，8位ASCII码称为扩充ASCII码。
2.3.2汉字编码
汉字编码：
机内码和机外码
机内码：
是在计算机内部使用的用二进制代码表示的汉字编码，用于在计算机内部存储、交换、处理加工汉字信息
机外码：
是不在计算机内使用的汉字编码，主要是指汉字输入码。
此外还有供输出的汉字字型点阵码。
⒈国标码（了解）
国标码：
指我国1981年公布的“中华人民共和国国家标准信息交换汉字编码”，是一种国家标准编码，代号为“GB2312-80”。
它以94个可显示的ASCII码字符为基集，由两个字节构成。
国标码与ASCII码属同一制式，可以认为国标码是扩展的ASCII码。
国家标准（GB2312-80）汉字字符集示意图
国标码用两个字节的16进制数表示，例如“文”的国标码是“4E44H”，“中华人民共和国”的国标码分别是“5650H、3B2AH、484BH、4371H、3932H、3A4DH、397AH”。
⒉汉字机内码（实质：
汉字的地址）
汉字机内码：
在计算机系统内部用来表示汉字的编码。
ASCII码是一种西文机内码，在设计汉字机内码时，应遵循如下原则：
⑴汉字机内码的编码不能有二义性，否则和其他编码分不清，例如要能和ASCII码严格区分。
⑵代码的长度尽可能短，所能表示的汉字要尽可能多。
⑶应与国标码有相应的对应关系，以便于对汉字库的处理和对汉字的查找。
汉字机内码与国标码的关系
汉字机内码高位字节＝国标码高位字节＋80H
汉字机内码低位字节＝国标码低位字节＋80H
例如：
“文”的国标码是“4E44H”，要求它的机内码，只要把“文”字国标码两个字节的16进制数4EH和44H分别加80H，即成该汉字的机内码。
4EH+80H=CEH
44H+80H=C4H
⒊汉字输入码（机外码）
汉字输入码：
指直接从键盘输入的各种汉字输入方法的编码，属于外码。
按照编码原理，汉字输入码主要分为三类：
数字码（区位码和电报码）、拼音码和字形码。
还有以汉字的音和形相结合的音形码和形音码。
⑴数字码
数字码：
将待编码的汉字集以一定的规则排序以后，依次逐个赋予相应的数字串作为汉字输入代码。
典型的数字码：
区位码和电报码
优点：
无重码缺点：
代码难以记忆。
区位码与国标码、机内码的对应关系为：
用十进制数输入的区码和位码先分别转换为十六进制数（各一个字节），再分别加上20H，就成了国标码；再在两个字节分别加上80H，就成为机内码。
例如，“文”字的区位码为4636，区码和位码分别用十六进制表示即为“2E24H”，转换成国标码就是“4E44H”，它的机内码为“CEC4H”。
⑵拼音码：
汉语拼音方案为基础的输入方法
最大优点：
简单易学，只要会汉语拼音，就能输入汉字，并且输入时不影响思考，
适合于业务人员和专业技术人员使用。
全拼输入法—双拼输入法—增加联想功能—以词为单位的智能拼音输入法
⑶字形码：
以汉字的形状确定的编码
最大特点：
能广泛地为国内外不同地区使用汉字方言较重的人们服务
缺点：
编码规则较复杂。
典型：
五笔字型输入法
⑷其它输入方法：
音形码和形音码
⒋汉字字型码——汉字点阵字模库（重点）
汉字信息存储在计算机内有两种编码：
一种是汉字机内码，另一种是字型点阵码。
点阵字型方式：
是把汉字像图形一样置于网状方格上，每格是存储器中的1个位（bit），16×16点阵是在纵向16点、横向16点的网状方格上描绘一个汉字，有笔划的格对应1，无笔划的格对应0。
这种用点阵形式存储的汉字字型信息的集合称为汉字的点阵字模库，简称汉字库。
汉字点阵字模的分类
⒌汉字字符集（了解）
目前，在我国使用的计算机汉字操作平台中有三种汉字字符集。
⑴国标码字符集GB2312-80：
我国政府于1981年公布的《信息交换用汉字编码字符集基本集》，在该字符集中收录了6763个常用汉字和各种符号682个，合计7445个。
⑵GBK汉字集：
即汉字内码扩充规范,”大字符集”。
在此汉字集中一共收录了20900个汉字，它包容了GB2312-80的6763个常用汉字，台湾BIG5码的13000多个汉字。
此扩充规范发布后，美国的Microsoft公司率先将GBK规范装入Windows95中。
在Windows95简体中文版中，又增加了101个补充字，一共有21001个字。
⑶国标码GB18030字符集：
即GB18030-2000《信息技术信息交换用汉字编码字符集基本集的扩充》新标准。
该字符集共收录了27000多个汉字，总编码空间超过150万个码位，是真正的大汉字集。
它在体系结构上延续了GB2311-1990《信息处理七位和八位编码字符集代码扩充技术》编码体系，采用单/双/四字节混合编码，该标准还收录了藏文、蒙文、维吾尔等主要的少数民族文字，以及世界上几乎所有的语言文字，为中文信息在Internet上的传输与交换提供了保障。
2.4数值数据的表示和运算（重点）
2.4.1机器数
1.机器数和真值的概念
符号的数值化：
把正负符号用一位二进制数码来表示。
符号位:
符号数值化后占的若干个数值位。
机器数:
数的符号用二进制数“0”或“1”来表示的，且符号位总是在该数的最高数值位之前的那种数。
规定“0”表示正号，“1”表示负号。
原码、补码、反码、移码等把符号位和数值位一起编码表示的数就是机器数。
真值:
用“+”、“-”表示符号的那种数。
例：
N1=+0.1011，N2=-0.1011，这是真值，
表示成机器数就为[N1]原=0.1011，[N2]原=1.1011
⒉机器数的特点
⑴用二进制数码表示优点：
①使用元器件简单，便于硬件实现
②运算简单
③节省存储设备
④便于用逻辑代数进行逻辑设计
⑵机器数所表示的数值范围是有限的，无法表示时，便产生溢出
机器数所表示的数值范围是由机器的字长决定，字长越长，所能表示的数的范围越大。
例：
一台字长为n位的机器，它所能表示的机器数X除0以外，最小是1，最大是2n-1，即其所表示的范围是：
1≤X≤2n-1
比1小的值，认为是机器零；数值大于2n-1，机器不能表示，我们称为“溢出”。
对于不带符号位的定点纯小数（即小数点位于机器数的最左边的数），字长为n位的机器所能表示的机器数X的范围是：
2-n≤X≤1-2-n，如图所示：
凡是小于2-n的数都认为是机器零；如果数值大于1-2-n的数，机器不能表示，被认为机器数无穷大，产生溢出。
从上面的分析情况可以看除，计算机产生溢出的一个重要原因是由计算机的字长造成的。
⑶符号的数值化表示
用0表示正（“+”）号，用1表示负（“-”）号。
以字长为8位为例，+1101101和-1101101
这两个数的表示如图所示:
⑷定点数和浮点数的不同表示
根据小数点位置的不同，机器数有定点数和浮点数。
①定点数表示方式:
小数点的位置是固定不变的数称为定点数。
若约定小数点固定于机器数最低位的右边，则机器数表示整数；若约定小数点固定于机器数数值位的左边符号位的右边，则机器数表示纯小数。
②浮点数表示方式:
浮点数是一种指数形式的表示方式，其一般表示式为：
X=2r·x。
其中,r称为X的阶码，它指明了小数点的位置，表示数的大小；x称为X的尾数，表明了X的有效值。
⒊二进制数的运算规则
⑴算术运算规则
加法规则:
0＋0＝00＋1＝11＋0＝11＋1＝10
减法规则：
0－0＝010－1＝11－0＝11－1＝0
乘法规则：
0×0＝00×1＝01×0＝01×1＝1
除法规则：
0÷1＝01÷1＝1
⑵逻辑运算规则
⏹逻辑或：
又称逻辑加，用符号“∨”或“+”来表示。
其运算规则为：
0∨0＝00∨1＝11∨0＝11∨1＝1
⏹逻辑与：
又称逻辑乘，用符号“∧”或“·”来表示。
其运算规则为：
0∧0＝00∧1＝01∧0＝01∧1＝1
⏹逻辑非：
即对每位的逻辑值取反，用二进制数字上划线表示
规则为：
逻辑异或：
即实现按位加的功能，异或运算用符号（⊕）表示
其运算规则是：
0⊕0＝00⊕1＝11⊕0＝11⊕1＝0
进行异或运算的两位不相同时，异或结果为1，两位相同时，异或结果为0。
2.4.2定点数的原码、反码、补码和移码
⒈定点数的原码
原码表示方法：
符号位为0表示正数，为1表示负数，数值部分用二进制数的绝对值表示的方法。
通常用[X]原表示X的原码。
例如,要表示+59和-59的原码，假设机器数的位数是8位（机器的字长8位），最高位是符号位，其余7位是数值位，那么+59和-59的原码表示为[＋59]原＝00111011[－59]原＝10111011
写成一般式则为：
正数的原码[X]原＝X（2n-1>X>0）
负数的原码[X]原＝2n-1-X（-2n-1应注意，0的原码有两个值，有“正零”和“负零”之分。
[＋0]原＝00000000[－0]原＝10000000
⒉定点数的补码
补码的定义是：
把某数X加上模数K，称为以K为模的X的补码。
[X]补=K+X
因此正数的补码是最高位为符号“0”，数值部分为该数本身；负数的补码是最高位为符号“1”，数值为用模2减去该数的绝对值。
求一个二进制数补码的方法是，正数的补码与其原码相同；负数的补码是先把其原码除符号外的各位先求反，然后在最低位加1。
【例2.16】若X＝+0.1011，Y＝-0.1011，求[X]补、[Y]补。
解：
[X]补＝0.1011
[Y]补＝10-0.1011＝1+1-0.1011＝1.0101（mod2）
0的补码只有一种形式，就是n位0。
字长为n位的定点整数补码的定义式为：
3.反码
正数的反码就是这个数本身，而负数的反码是符号位为1，数值部分等于其绝对值各位求反。
例如：
[＋59]反＝00111011，[－59]反＝11000100。
零的反码也有两个，[0]反＝00000，[-0]反＝10000
字长为n的定点整数反码的定义式为：
可得到如下公式：
X－Y＝X＋（Y的补码）＝X＋（Y的反码＋1）
在8位机中，补码表示的范围为+127～-128，
下表列出了8位二进制数的各种表示方法。
目前大多数计算机均采用补码存储、补码运算，其运算结果仍为补码形式。
【例2.17】在字长为8位的计算机中，求下列数的原码、反码及补码+18、-18、+31、-31、+127、-127
解：
[+18]原＝[+18]反＝[+18]补＝00010010
[-18]原＝10010010[-18]反＝11101101[-18]补＝11101110
[+31]原＝[+31]反＝[+31]补＝00011111
[-31]原＝10011111[-31]反＝11100000[-31]补＝11100001
[+127]原＝[+127]反＝[+127]补＝01111111
[-127]原＝11111111[-127]反＝10000000
[-127]补＝10000001
4.移码
移码也叫增码或偏码，常用于表示浮点数中的阶码。
对于字长为n的计算机，若最高位为符号位，数值为n-1位当偏移量取为2n-1时，其真值x所对应的移码的表示公式为：
[X]移＝2n-1+X（-2n-1≤X<2n-1）
移码和补码之间的关系:
当0≤X<2n-1时，[X]移＝2n-1+X＝2n-1+[X]补
当-2n-1≤X<0时，[X]移＝2n-1+X＝（2n+X）-2n-1＝[X]补-2n-1
可见，[X]移可由[X]补求得，方法是把[X]补的符号位取反，就得到[X]移。
【例2.18】X＝+1011，Y＝-1011，求[X]移和[Y]移。
解：
[X]补＝01011，所以[X]移＝11011
[Y]补＝10101，所以[X]移＝00101
移码的性
1最高一位为符号位，其取值与原码、补码都相反，“1”表示正号，“0”表示负号。
②对移码一般只执行加减运算，在对两个浮点数进行乘除运算时，是尾数实现乘除运算，阶码执行加减运算。
对阶码执行加减运算时，需要对得到的结果加以修正，修正量为2n-1，即要对符号位的结果取反后，才得到移码形式的结果。
③在移码的表示中，0有惟一的编码，即[0]移＝1000…0，而且，机器零的形式为000…000。
2.4.3定点数和浮点数
⒈定点数表示法：
通常把小数点固定在数值部分的最高位之前，或把小数点固定在数值部分的最后面。
前者将数表示成纯小数，后者把数表示成整数。
如图所示。
对纯小数进行运算时，要用适当的比例因子进行折算，以免产生溢出，或过多损失精度。
⒉浮点数表示法
浮点数是指在数的表示中，其小数点的位置是浮动的。
任一个二进制数N可以表示成：
N＝2E·M
式中，M为数N的尾数或数码，E为指数，是数N的阶码，是一个二进制整数
浮点数分为阶码和尾数两个部分。
浮点数的格式表示
格式1：
Ms为尾数的符号位，安排在最高一位；E为阶码，紧跟符号位之后，占m位；M为尾数，在低位部分，占n位。
【例2.19】对一个真值为+23.25的十进制数，用浮点数格式1表示法表示其原码。
（23.25）10＝（10111.01）2，用浮点数表示其原码为：
2+101×0.1011101，则在机器中表示为：
这里阶码和尾数都用原码表示，实际上往往是尾数用补码表示，阶码用移码表示。
格式2：
其中：
Ns为阶码的符号位，安排在最高一位；E为阶码，紧跟阶符位之后，占m位；Ms为尾数的符号位，在尾数之前的一位，M为尾数，在低位部分，占n位。
【例2.20】例2.19中的十进制数+23.25，用浮点数格式2表示法表示其原码、反码和补码。
+23.25化成浮点数为：
2+101×0.1011101，则其原码、反码和补码分别表示为：
⒉浮点数表示法
在浮点数的表示中，要注意三个问题：
①阶码的位数和尾数的位数的关系。
例如，用32位表示的一个浮点数，符号位占1位，阶码用8位，尾数用23位，数的表示范围约为±1.7×10±38，精度约为十进制的7位有效数字。
②浮点数通常采用规格化的表示方法。
所谓浮点数的规格化就是其尾数的第一位要为1，若不为1，就要用“左规”的方法使其为1。
左规就是尾数向左移动（同时调整阶码），直至尾数的第一位为1或阶码为全0或最小值。
如：
210×0.1101，-210×0.1101就是规格化的浮点数；而211×0.0110，-211×0.0110是非规格化的浮点数。
【例2.21】把非规格化的浮点数N＝211×0.0110规格化
解：
把浮点数N的尾数向左移一位（或尾数的小数点右移一位），变成0.1100，同时，阶码递减1，得到N＝210×0.1100，就是规格化的浮点数。
③当一个浮点数的尾数为0，不论其阶码为何值；或者阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成是0，称为机器零。
2.4.4十进制数的编码
⒈BCD码（Binary-CodedDecimal）是用4位二进制编码来表示一个十进制数，代码的每位都是固定有权的，因此称为有权码。
把4位代码中为1的各位的权加起来，即得到这个对应的十进制数。
⒈BCD码
⑴8421码
8421码是二进制编码各位的权分别是8、4、2、1，因此叫8421码。
下表是十进制数码与8421码的对照表。
要注意，每1位十进制数码对应4位8421码，如十进制数175的8421码是000101110101，写成表达式即为：
（175）10=（000101110101）8421
⑵2421码
2421码是二进制编码各位的权分别是2、4、2、1，因此叫2421码。
下表6是十进制数码与2421码的对照表。
注意，每1位十进制数码对应4位2421码，如十进制数175的2421码是000111011011，写成表达式即为（175）10=（000111011011）2421
⑶其他有权码
BCD码中的其他有权码还有5211码、8-4-2-1码、4311码。
它们也都是4位编码对应一位十进制数。
下表列出了这三种有权
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