国家开放大学数学思想与方法试题.docx
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国家开放大学数学思想与方法试题
国家开放大学（数学思想与方法）
[单项选择题]
1、金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（）的方法。
A.几何测量
B.代数计算
C.天文测量
D.占卜
参考答案：
C
[单项选择题]
2、古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。
A.四棱锥台体积公式
B.球体积公式
C.进位制的发明
D.圆面积公式
参考答案：
A
[单项选择题]
3、古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（）这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。
A.1亿年
B.10亿年
C.1000亿年
D.100亿年
参考答案：
D
[单项选择题]
4、数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。
A.六七千年前
B.春秋战国时期
C.新石器时代
D.五千年前
参考答案：
A
[填空题]
5《九章算术》是我国古代的一本数学名著。
“算”是指（），“术”是指（）
参考答案：
算筹；解题方法
[单项选择题]
6、《几何原本》最主要的特色是建立了比较严格的几何体系，在这个体系中有四方面主要内容（）
A.定义、公式、公设、命题
B.定义、公理、公设、命题
C.定义、公理、公设、推论
D.定理、公理、公设、命题
参考答案：
B
[填空题]
7《九章算术》确定了中国古代数学的框架，不仅以（）归纳体系、（）内容、（）方法为特点影响我国数学成就的建立，而且在培养和造就我国数学家方面起到了促进作用。
参考答案：
开放的；算法化的；模型化的
[填空题]
8《九章算术》的叙述方式以（）为主，先给出若干例题，再给出解法；《几何原本》的叙述方以（）为主，先给出公理，再通过逻辑推出其他命题。
参考答案：
归纳；演绎
[填空题]
9就数学发展的历史进程来看，从算术到代数、从常量数学到变量数学、从确定数学到随机数学等是数学思想方法的几次重要突破。
代数形成解决了具有复杂（）的问题，变量数学创立刻划了（）的事物与现象，随机数学出现揭示了（）背后所蕴涵的规律。
参考答案：
数量关系；运动与变化；随机现象
[单项选择题]
10、初等数学都是以（）为其研究对象，运用这些知识可以有效地描述和解释相对稳定的事物和现象，对于运动变化的事物和现象，它们显然无能为力。
A.变化的数字和固定的图形
B.不变的数量和固定的图形
C.不变的数量和变化的图形
D.数量和图形
参考答案：
B
[单项选择题]
11、人们在社会实践活动常常遇到两类截然不同的现象，一类是确定性现象；另一类是随机现象。
随机现象并不是杂乱无章的现象，当同类现象大量出现时，从总体上却呈现出一种规律性。
于是，一种专门适用于分析随机现象的数学工具——（）诞生了。
A.概率理论与数理统计
B.分形数学与模糊数学
C.希尔伯特空间与集合论
D.群论与数论
参考答案：
A
[单项选择题]
12、第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，同时基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。
而这场争论是指（）
A.无穷小量究竟是不是零
B.无穷小量是零
C.无穷大量究竟是不是有限
D.无穷大量究竟是很大的数
参考答案：
A
[填空题]
13第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。
首先是逻辑的（）促使了数理逻辑这门学科诞生，其中，十九世纪七十年代康托尔创立的（）是产生危机的直接来源。
参考答案：
数学化；集合论
[单项选择题]
14、为避免数学以后再出现类似问题，数学家对集合论的严格性以及数学中的概念构成法和数学论证方法进行逻辑上、哲学上的思考，其目的是力图为整个数学奠定一个坚实的基础。
随着对数学基础的深入研究，在数学界产生了数学基础研究的三大学派（）
A.抽象主义、现实主义、直觉主义
B.集合主义、抽象主义、形式主义
C.几何学派、抽象学派、现实学派
D.逻辑主义、直觉主义、形式主义
参考答案：
D
[填空题]
15哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。
他告诉我们：
真与可证是两个概念（）某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。
参考答案：
可证的一定是真的，但真的不一定可证
[单项选择题]
16、例如，“菱形→等边四边形→平行四边形→四边形”这是一个（）过程。
A.弱抽象
B.浅层抽象
C.深层抽象
D.强抽象
参考答案：
D
[单项选择题]
17、弱抽象又称“概念扩张式抽象”，是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。
这时，原型成为新的概念或理论的（）
A.猜测
B.证明
C.依据
D.特例
参考答案：
D
[单项选择题]
18、概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。
由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个（）
A.种概念
B.子集概念
C.空集概念
D.属概念
参考答案：
D
[单项选择题]
19、归纳猜想的思维步骤为（）
A.特例—归纳—猜想
B.猜想—特例—归纳
C.归纳—特例—猜想
D.特例—猜想—归纳
参考答案：
A
[填空题]
20猜想就是根据事物的现象，对其本质属性进行（）或者是根据一类事物中的个别事物的属性对该类事物的共同属性进行（）这样的思维方法叫做猜想。
参考答案：
推测；推测
[单项选择题]
21、人们运用类比法，根据一类事物所具有的某种属性，得出与其类似的事物也具有这种属性的一种推测性的判断，即猜想，这种思想方法称为（）
A.猜想法
B.类比证实法
C.类比法
D.类比猜想
参考答案：
D
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[单项选择题]
22、古希腊欧几里得的《几何原本》是人们所建立的第一个公理体系，由于它具有特定的研究对象，其公理以人们的直观经验为基础反映为认为公理是自明的，所以称为（）的公理体系。
A.具体
B.特殊化
C.抽象
D.形式化
参考答案：
A
[单项选择题]
23、三段论：
“因为3258的各位数字之和能被3整除，所以3258能被3整除”。
前提是（）
A. “3258能被3整除”是小前提
B. “3258的各位数字之和能被3整除”是大前提
C. “各位数字之和能被3整除的数都能被3整除” 是省略的大前提
D. “3258能被3整除”是大前提
参考答案：
C
[单项选择题]
24、化归方法是指数学家们把待解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类（）的问题中，最终获得原问题的解答的一种手段和方法。
A.可以解决或比较容易解决
B.具有特定因素
C.具有普遍特征
D.已经能解决或者比较容易解决
参考答案：
D
[单项选择题]
25、数学建模的基本步骤：
弄清实际问题、（）、建模、求解、检验。
A.深化问题
B.寻找条件
C.化简问题
D.建立对应关系
参考答案：
C
[单项选择题]
26、已知某物体在运动过程中，其路程函数S（t）是二次函数，当时间t=0、1、2时，S（t）的值分别是0、3、8。
路程函数是（）
A.S（t）=∫083t2dt
B.S（t）=ds/dt+t2
C.S（t）=t3+3t
D.S（t）= t2+2t
参考答案：
D
[填空题]
27数学思想方法，是指现实世界的（）反映到人们的意识之中，经过（）而产生的结果。
数学思想方法是对数学事实和理论经过概括后产生的本质认识。
参考答案：
空间形式和数量关系；思维活动
[单项选择题]
28、所谓本质分类，即根据事物的（）进行分类。
A.特征
B.本质特征或内部联系
C.内因
D.性质
参考答案：
B
[单项选择题]
29、《九章算术》成书于（）它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。
A.西汉末年
B.汉朝
C.战国时期
D.商朝
参考答案：
A
[填空题]
30算术与代数的解题方法基本思想的区别：
算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量参与运算；算术方法的关键之处是（）而代数方法的关键之处是（）
参考答案：
列算式；列方程
[单项选择题]
31、数学建模是指根据具体问题，在一定假设下使（）建立起适合该问题的数学模型，求出模型的解，并对它进行检验的全过程。
A.问题化简
B.条件明朗
C.问题归类
D.条件简化
参考答案：
A
[填空题]
32素质教育是数学教学改革的主旋律，数学教学改革应重视哪几个方面？
参考答案：
围绕素质教育的实施这一主题，数学教学改革应重视如下几个方面：
1.重视非智力因素，培养学生的个性品质。
一般来说，非智力因素可以转化学习动机，成为学生学习的内驱力；还可以对学生的学习起到调节、强化作用。
智力和非智力因素是学生统一的心理活动过程和不同方面，认知过程是这两方面综合作用的结果。
我们着眼于学生的素质培养，不仅能使非智力因素对智能发展起到调节、促进作用，更重要的把促进学生非智力因素的发展本身看成是数学教学的一项重要目标，发展学生的个性品质。
2.重视学法指导，培养学习能力。
注重学法指导是现代教学发展趋势之一。
学法即学习方法，是学生为了完成学习任务，在学习过程中所采取的学习程序、学习途径、学习手段和学习技能等等。
在当今社会，科学技术的发展日新月异，单靠在学校里学到的知识，远远不能适应社会的需要，许多东西靠自己去学习，这就必须具备一定的学习能力。
作为数学教师的任务不单是教数学，更重要的是指导学生去学数学。
正如著名教育家陶行知先生说的：
“教师的责任不在教，而在教学生学。
”
3.重视过程教学，发展学生思维。
传统教学的弊端之一，就是重结论，轻过程，从而使学生的思维能力得不到提高。
因此，改革数学教学，其基点应放在引导学生通过自己的思维活动，掌握学习方法上。
要做到这一点，教师就必须重视过程教学，发展学生的思维能力。
重视过程教学，应注意做到：
概念的教学，重在形成过程；公式、法则的教学，重在推导过程；四则运算的教学，重在审题过程；应用题的教学，重在分析过程。
4.重视因材施教，让每一个学生的数学素质都得到发展。
真正的素质教育不仅要做到因材施教，还要做到因时施教。
这就要求在教学组织中把分班教学、分组教学与个别教学结合起来；要求在教学过程中，贯彻个别对待的原则，讲求一把钥匙开一把锁。
实施因材施教的方法，目的是为了调动每一个学生的学习积极性、主动性，最大限度发展学生的个性、特长，以他的长处促使改变他的短处，让每一个学生的数学素质都得到全面、和谐、充分的发展。
目前愉快教育、成功教育、分层教学等教改试验，以各自的方式对素质教育的实施进行了有益的探索，这几种教改试验，都注意了面向全体、因材施教的原则。
5.落实活动课程，发展数学能力。
课程的整体设计是培养人的蓝图。
我国九年义务教育课程方案中，把课程分为学科课程和活动课程，并强调两者相辅相成，有利于在全面提高学生素质中发挥其整体功能。
小学数学活动课程，有自身的特点，形式多样，内容丰富，以培养兴趣为灵魂，以发展技能为目的。
因此，在教学活动中要注意发挥学生的主动性、独立性和创造性，尽可能地传授一些知识，拓宽知识领域，培养兴趣爱好，发展学生的数学才能。
[填空题]
33论述数学的三次危机对数学发展的作用。
参考答案：
第一次数学危机促使人们去认识和理解无理数，导致了公理几何与逻辑的产生。
第二次数学危机促使人们去深入探讨实数理论，导致了分析基础理论的完善和集合论的产生。
第三次数学危机促使人们研究和分析数学悖论，导致了数理逻辑和一批现代数学的产生。
由此可见，数学危机的解决，往往给数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革，这也反映出矛盾斗争是事物发展的历史动力这一基本原理。
整个数学的发展史就是矛盾斗争的历史，斗争的结果就是数学领域的发展。
[填空题]
34简述化归方法并举例说明。
参考答案：
所谓“化归”，从字面上看，应可理解为转化和归结的意思。
数学方法论中所论及的“化归方法”是指数学家们把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终求获原问题之解答的一种手段和方法。
例如：
要求解四次方程x4-5x2+4=0
可以令u=x2，将原方程化为关于u的二次方程u2-5u+4=0
这个方程我们会求其解：
u1=1和u2=4，从而得到两个二次方程：
x2=1和x2=4
这也是我们会求解的方程，解它们便得到原方程的解：
x1=1，x2=-1，x3=2，x4=-2这里所用的就是化归方法。
[填空题]
35叙述类比推理的形式。
如何提高类比的可靠性？
参考答案：
类比推理通常可用下列形式来表示：
A具有性质a1，a2......，an及d
B具有性质a’1，a’2......，a’n；
因此，B也可能具有性质d’。
其中，分别相同或相似。
a1与a’1，an；与a’n，......，a与a’，d与d’
欲提高类比的可靠性，应尽量满足条件：
（1）A与B共同（或相似）的属性尽可能地多些；
（2）这些共同（或相似）的属性应是类比对象A与B的主要属性；
（3）这些共同（或相似）的属性应包括类比对象的各个不同方面，并且尽可能是多方面的；
（4）可迁移的属性d应该是和a1，a2，......，an属于同一类型。
符合上述条件的类比，其结论的可靠性虽然可以得到提高，但仍不能保证结论一定正确。
[填空题]
36设计运用“猜想”进行数学教学的一个片断。
参考答案：
以“认识长方形的对边相等”为内容，设计一个教学片断。
将教学过程设计成四个层次：
①让学生说一说：
我们周围有哪些长方形物体？
学生会举出黑板、桌面、教室的门、课本的封面等例子。
②要求学生仔细观察：
看一看、想一想，这些长方形的四条边的长短有什么关系？
学生经过观察后，会猜想：
长方形相对的两条边长度相等。
③教师进一步提出问题：
同学们敢于大胆猜想的精神值得鼓励！
我们怎样才能验证长方形相对的两条边的长短相等呢？
这时，学生会想出许多办法，如：
用尺量、将图形对折等方法。
教师顺势引导学生通过量量、折折的具体操作，确信长方形相对的两条边长短相等。
教师板书：
长方形对边相等。
接着，师生讨论长方形“对边”的含义，以及一个长方形有几组对边的问题。
④巩固长方形对边相等的认识。
利用多媒体展示下面的长方形：
教师提问：
如何填写括号内的数字？
为什么？
要求学生会用“因为…所以…”句式回答。
如“因为长方形的对边相等，已知长方形的一条边是3厘米，所以它的对边也是3厘米。
”
[填空题]
37如何充分发挥教师的主导作用？
参考答案：
教师主导意识的觉醒是培养学生主体意识的前提。
教师自身如果缺乏主导意识，盲目地配合服从，习惯被动思维，就无法形成对小学生主体意识的培养。
在教育中，存在教师和学生两类人群，教师是主导，学生是主体。
教育成功的秘诀是兴趣，兴趣是求知的内在动力。
教师应在教学过程中以多种方式创设学习情景，如生活情景、音乐情景、图像情景、问题情景、实践情景等去刺激和感染学生，以激发学生的学习兴趣，增强学生学习的自信心和能力。
教师对学生的学习成果应该给与及时的肯定，在学习的过程中给与学生足够的支持和指导。
素质教育以及新课标要求教师要根据学生个人的特点以及学生个人的能力，帮助学生制定符合自己的学习目标，寻找合适自己的学习方式，并且对自己的学习进行管理。
在整个过程中，教师起到的作用是指导，指导学生完成自己为自己制定的学习计划和学习目标，只有这样才能真正体现新课标中的规定。
[填空题]
38假定学生已有了除法商的不变性知识经验，在学习分数的性质时，请你设计一个孕育“类比法”教学片断。
参考答案：
（一）、列表类比（教师引导，师生共同描述除法的性质，再由学生通过类比归纳出分数的性质）
注：
性质（三）、（四）作为扩展学习内容（应根据学生的实际情况取舍）
（二）教学设计
一、回忆除法和分数的有关概念
师：
同学们还记得除法的哪些概念和记号？
生：
被除数÷除数＝商
师：
对。
我们再回忆分数的概念和记号。
生：
分数＝分子/分母。
师：
好。
大家一起来比较这两个概念的相似性。
生：
商好比分数，被除数好比分子。
除数好比分母。
二、回忆除法的性质
师：
很好。
现在我们回忆除法有哪些性质。
生：
被除数与除数同时扩大，商不变。
生2：
被除数与除数同时缩小，商也不变。
三、类比出分数的性质
师：
对。
刚才我们知道商好比分数，因此我们可以问：
除法的这些性质是否可以类比到分数上来呀？
生：
可以。
师：
应该怎样类比呢？
生：
分子与分母同时扩大，分数不变。
生2：
分子与分母同时缩小，分数不变。
四、总结成公式
师：
很好！
这些性质怎样用公式表示呢？
生：
可以列表如下：
[填空题]
39《九章算术》思想方法的特点是（）、（）、（）
参考答案：
开放的归纳体系；算法化的内容；模型化的方法
[填空题]
40小学数学思想方法教学的主要阶段是形象（），即由具体形象思维向（）思维的过渡阶段。
参考答案：
抽象思维；抽象逻辑
[判断题]
41、中国古代数学中使用的数学方法是演绎的方法。
参考答案：
错
[判断题]
42、《几何原本》是人类历史上最早的演绎的公理化体系。
参考答案：
对
参考解析：
《几何原本》是人类历史上最早形成的演绎体系，是公理体系在具体学科中应用成功的标志，并以此为开端的。
[判断题]
43、如果某一问题存在算法，并进一步构造出这个算法，也不一定能够求出该问题的解。
参考答案：
对
[填空题]
44运用方程模型解应用题时，其中最重要的是“设想问题已经解出”、“用两种不同方式表示同一个量”、“方程个数和未知量个数相等”这三个要点。
这是为什么？
请阐述你的理解。
参考答案：
“设想问题已经解出”，即在列式时将未知量与已知量同等对待。
这是列方程中的一个重要思想，也是它优于算术之处。
设问题中的已知量为a，b，c，算术中的列式为：
未知量＝f（a，b，c）（通常省去“未知量＝”）
未知量只能列在等号左边，且系数必须为1，已知量只能在等号右边出现。
已知量与未知量的地位截然不同。
若用字母x表示未知量，则方程式为：
f（x，a，b，c）＝g（x，a，b，c）未知量与已知量处于同等地位，都可以在等号两边出现，于是列式就容易对了。
“用两种不同表达式表示同一量”，这是列方程的关键。
通常按形式定义方程为“含有未知量的等式”，其实也可以说，方程就是用两种不同的方法去表示同一个量。
“方程个数和未知量个数相等”，否则就不会得到确定的解。
这里有个自由度的思想。
当未知量个数多于方程个数时，就会出现不定方程（组）。
这是方程组的解一般会有无穷多个。
[判断题]
45、计算是随着计算机的发明而被人们广泛应用的方法。
参考答案：
错
[填空题]
46圆周角定理证明思路如下：
将圆周角的两边所处的位置分成三种情况：
①角的一边落在直径上；②角的两边在某一直径的两侧；③角的两边在某一直径的同侧。
如图所示。
先对情况①进行证明，然后将情况②、③转化为情况①分别进行证明。
最后得出圆周角定理对任意圆周角都成立的结论。
试具体分析上述证明中需要用到哪些数学思想方法。
参考答案：
该证明中用到下面几种数学思想方法：
①将圆周角分成三种情况，用到分类方法；
②先证明角恰有一边在直径上的特殊情况，用到特殊化方法；
③将其他两种情况转化为角恰有角恰有一边在直径上的情况，用到化归方法；
④通过对所有三种情况的证明，然后得出圆周角定理的结论，用到完全归纳法；
⑤在证明过程中需要进行演绎推理，因此用到演绎方法。
[判断题]
47、《几何原本》是欧几里得独立创作的。
参考答案：
错
[判断题]
48、解析几何的产生主要归功于笛卡儿和费尔马。
参考答案：
对
[判断题]
49、数学中的许多问题都无法归结为寻找具体算法的问题。
参考答案：
错
[填空题]
50简述数学建模的基本步骤。
参考答案：
数学建模的方法和步骤是：
1.弄清实际问题：
包括了解问题的实际背景知识，从中提取有关的信息，明确要达到的目标。
2.化简问题：
根据问题的特点和目的，做出某种核力的假设，舍弃一些次要因素，从而使问题得以化简。
3.建模：
在假设的基础上，抓住主要因素和有关量之间的关系进行抽象概括，运用适当的数学工具刻画变量之间的数量关系，建立起相应的数学结构
4.求解：
对所得的模型在数学上进行推理或演算，求出数学上的结果
5.检验：
把数学上的结论返回到实际问题中。
若模型与实际比较温和，则对所得结果给出实际含义，并进行解释。
倘若经过检验与实际不符，就必须对所得模型加以修正，重复前面的建模过程。
[判断题]
51、如果某一问题存在算法，并且进一步构造出这个算法，就一定能够求出该问题的解。
参考答案：
错
[判断题]
52、微积分的建立标志着变量数学的诞生。
参考答案：
对
[判断题]
53、中国古代数学中使用的数学方法是开放的归纳体系。
参考答案：
对
[填空题]
54类比法是指，由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其（）的事物也具有这种属性的一种推理方法。
参考答案：
类似
[填空题]
55算法可分为（）、（）两大类。
参考答案：
多项式算法；指数型算法
[填空题]
56在反例反驳中，构造一个反例必须满足条件：
（）、（）
参考答案：
反例满足构成猜想的所有条件；反例与构成猜想的结论矛盾
[填空题]
57数学模型具有（）、（）、（）、（）特性。
参考答案：
抽象性；准确性；演绎性；预测性
[填空题]
58材料：
如图所示，相邻四点连成的小正方形面积为1平方厘米。
（1）分别连接各点，组成下面12个图形，你发现有什么排列规律？
（2）求出各图形外面一周的点子数、中间的点子数以及各图形的面积，找出一周的点子数、中间的点子数、各图形的面积三者之间的关系。
利用所给材料，请你设计一个“数形结合”教学片断。
参考答案：
（一）、列表分析（也可以只列举部分图形分析）
（二）、观察、归纳：
（限于篇幅只列举部分图形分析）
图形
（1）的面积：
4÷2＋0－1=1
图形（3）的面积：
8÷2＋0－1=3
图形（5）的面积：
4÷2＋1－1=2
图形（8）的面积：
14÷2＋1－1=7
图形（9）的面积：
4÷2＋2－1=3
图形（11）的面积：
8÷2＋2－1=5
图形（12）的面积：
14÷2＋2－1=8
（三）、总结规律：
图形的面积与格点数满足关系：
面积＝边上的点数÷2＋内部点数－1
（四）、教学设计
一、找图的排列规律
师：
同学们看图，找出图的排列规律来。
（学生可以讨论）
生：
老师我们发现，第一行的图中间没有点，第二行的图中间有一个点，第三行的图中间有两个点。
师：
非常好！
二、数一数每个图周边的点数
师：
现在我们来数一数每个图周边的点数。
并将结果填入下列表中。
（师生一起数）
三、计算面积
师：
数完边点数，我们再来计算每个图的面积。
结果
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