浙江工商大学 数学建模.docx
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浙江工商大学数学建模
2013年“希望杯”大学生数学建模竞赛承诺书
我们仔细阅读了浙江工商大学大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
选择题目：
B
题目：
商品房价格的数学模型
摘要
随着“国五条”的颁布，房价问题又一次被摆在人们面前。
近十年来，我国房价的不断攀升，使得控制房价的平稳增长变成政府经济调控的一个重要目标。
本文分析了近十年以来杭州市的各项经济指标，在建立模型确定指标间的内在关系的同时，结合十年来的房价调控政策，通过模型预测了杭州市未来三年商品住宅价格的变化趋势。
综合考虑了各种因素后，我们又对初始模型进行了修整，并在此基础上提出平稳房价调控政策、进行预测。
对于第一问，依据要求进行收集并整理杭州市近十年商品住宅价格、人均可支配收入、GDP和CPI等数据，对各项数据进行单元和多元回归分析，得出数据间的关系式，并根据调控政策对于模型进行调整，最后得出各个变量对商品住宅价格的回归以预测杭州是未来三年的房价变化。
对于第二问，在分析考虑政府已经出台的调控政策的基础上，我们提出了自己的调控政策：
为稳定房价，政府因采取措施加快城镇化的速度来提高人口密度。
为解释验证我们提出的政策，我们收集了杭州市近十年来的总人口数，建立了扩展的人口增长的模型。
以扩展的人口增长模型为基础，再一次改进了我们的模型，并预测了杭州市未来三年的商品价格走势。
本文的主要模型是基于时间序列的一元及多元线性回归模型。
关键词：
OLS多元回归Eviews人口密度城镇化
目录
1.问题重述3
2.问题分析3
3.模型建立与求解4
3.1模型假设4
3.2符号说明4
3.3建模分析4
3.4模型建立与检验5
1、商品房价格的数学模型5
2、GDP与时间的数学模型9
3.5模型预测9
4.政策提出与价格预测10
4．1模型假设：
10
4．2符号说明：
10
4．3模型建立：
10
5.模型优缺点分析12
6.参考文献13
1.问题重述
从2002年8月26日六部委颁发217号文件起，我国房地产调控历史走过了十余年。
细心盘点房地产调控的十年，大致可以划分为四个阶段：
第一阶段，调控起步期（2002年至2004年）：
主要以收紧土地供给和房地产信贷为主要手段，以抑制房地产市场投资过热为目的。
第二阶段，调控加码期（2005年至2008年上半年）：
加码的手段以结构性调整为主，在抑制房地产投资过热的同时，提出稳房价的新目标。
国八条、新国八条、国六条相继出台，重点打击囤地行为、改善商品房和保障房供应结构、提高首付比例、推出税收调控手段，改善供给结构的同时开始调节商品房投资性需求。
第三阶段，紧急救市期（2008年下半年至2009年上半年）：
为应对全球性金融危机对中国经济的冲击，政府政策全面转向，以楼市稳定来支持经济稳定，从中央到地方全面放松各项房地产调控措施，甚至出台利率打折等购房刺激政策。
第四阶段，调控全面加码期（2010年至今）：
遏制房价过快上涨或促进房价合理回归成为突出调控目标。
国十一条、新国十条、限购令等号称史上最严厉调控措施相继出炉，涵盖土地供给、信贷、税收、保障房等各方面的住房差别化调控体系逐渐形成。
近十年，从单一供给管理转向供给与需求综合管理，从防止房地产市场投资过热转向重点遏制房价过快上涨，我国房地产调控目标逐渐清晰，政策体系逐渐建立。
然而，虽然调控取得一定成绩，但调控多为定性的行政手段，量化调控方案很少。
并且调控政策一般只是短暂实用某一特定时期。
近期杭州市出台调控目标：
全市新建商品住房价格增幅低于本市城镇居民家庭人均可支配收入的实际增幅。
请根据杭州市近年经济数据解决以下问题：
1、收集整理杭州市近十年商品住宅价格、人均可支配收入、GDP和CPI等数据，挖掘它们之间的关系；考虑实际调控政策，建立数学模型预测杭州市未来三年商品住宅价格的变化趋势。
2、为更好地稳定房价，请提出你觉得更有效的房地产调控政策，并在你提出的调控政策下，建立数学模型预测杭州市未来三年商品住宅价格的变化趋势。
2.问题分析
问题最终要求我们得出一个关于房价的预测模型，我们根据提示的相关因素，首先通过杭州市统计年鉴和杭州市统计年鉴查阅到了2001年到2011年的杭州市商品房价格，人均可支配收入、GDP和CPI等数据（详见下表1）。
根据假设，各个因素均与商品房价格存在线性关系，然后利用Eviews软件计算出相关系数，剔除相关度较小的变量，然后进行各个变量对于商品房价格的回归，进行回归模型的显著性检验和拟合性检验。
3.模型建立与求解
3.1模型假设
影响商品房价格的因素很多，如居民消费水平，城市经济发展水平，城市人口密度，土地价格，房屋供求关系，物价指数，居民可支配收入等等。
本文选取了商品房价格，居民可支配收入，全市的GDP，居民消费价格指数4个主要因素作为研究对象，并假设商品房价格与这些因素之间的关系均为线性关系，且：
（1）忽略炒房行为等
（3）各变量间相互独立
（4）国家对房地产行业的调控政策在一定时期内保持稳定
3.2符号说明
x1=人均可支配收入
x2=GDP
x3=CPI
y=商品房价格
t：
从2001年开始第t年（2001年为第一年）
3.3建模分析
房价是指建筑物连同其占用土地在特定时间段内房产的市场价值。
由于房地产不完全是劳动产品，不能完全由社会必要劳动时间决定的。
因此，房价的价格定位由多种因素构成。
在正常的经济学原理下，我们可以知道因此，居民可支配收入，全市的GDP，居民消费指数，房地产竣工面积和土地价格对于房价影响显著。
为此，我们仅选取几个经济变量，进行对于影响商品房价格因素的分析：
（1）年人均可支配收入对商品房价格的影响
住宅作为一种高档耐用的消费品，从所有制、经营者过度，转让给消费者，以实现其价值，在很大程度上受到居民可支配收入水平的制约，城市居民家庭收入的变化与住房需求成正向关系，而住房需求在一定程度上和商品房价格也存在着强烈的正相关。
（2）全市GDP对商品房价格的影响
GDP对于商品房价格的影响表现在连个方面，一方面GDP的增长与居民可支配收入的存在着很强烈的正的线性关系，GDP从影响居民可支配收入的角度影响商品房的价格。
另一方面，GDP的增长代表了该地区经济水平的增长，从而在整体的经济环境中影响了商品房价格的变化。
（3）CPI因素对于商品房价格的影响
居民消费价格指数的变动率在一定程度上反映了通货膨胀（或紧缩）的程度，我们假定CPI对于商品房价格也有一定的影响。
（4）人口密度对商品房需求的影响
人口密度与住宅的需求量成正比关系。
在人口密度增长的过程中，会加大对城市住宅的需求，这就是城市人口的机械增长，从而推动了房价的上升。
3.4模型建立与检验
根据假设，我们分别对杭州市的商品房价格与各个影响因素建立一元线性回归模型。
首先，分别绘制出各个因素与商品房价格的散点图，再利用Eviews统计软件对各个点进行一元线性回归，得出相应的回归直线方程和相应参数。
最后，我们通过得出的相关系数和F统计量等参数对回归方程的显著性进行评估，确定变量之间是否具有显著的线性关系。
我们从杭州统计网上获得了杭州市近十年来商品房的销售价格、年人均可支配收入、全市GDP、等数据如下表1：
杭州市（2001年-2011年）房地产价格及影响因素的相关经济数据统计表
年份
房地产价格（元/平方米）
年人均可支配收入（元）
GDP（万元）
CPI
2001
2844.85369
10896
15680138
99.5
2002
3526.148362
11778
17818302
98.8
2003
3938.572046
12898
20997744
99.5
2004
4184.52695
14565
25431796
102.5
2005
5618.583053
16601
29438430
101.7
2006
6218.302352
19027
34434972
101.2
2007
7615.69444
21689
41040117
103.5
2008
8409.41266
24104
47889748
104.9
2009
10555.09276
26864
50875529
98.6
2010
14132.49084
30035
59491687
103.9
2011
13281.88717
34065
70190579
104.8
表1
（资料来源：
《杭州市统计年鉴》（2001-2011），杭州市统计信息网站）
1、商品房价格的数学模型
为了分析人均可支配收入、GDP、CPI等因素对商品房价格的影响，首先我们利用表1和表2中的样本数据分别作出
对
、
、
的散点图。
我们发现，随
、
、
的增加，
的值有比较明显的线性增长趋势，于是我们分别构造人均可支配收（
）、GDP（
）、CPI（
）与商品房价格（
）的一元线性回归模型：
图1居民可支配收入对于商品房价格的回归结果
图2GDP对于商品房价格的回归结果
图3居民消费物价指数对于商品房价格的回归结果
由图1至图3可知人均可支配收入、GDP与商品价格相关系数
分别为0.960282（调整后的相关系数
=0.955869），0.997454，（调整后的相关系数
=0.997171），即有较强的相关性。
而CPI与商品价格的相关系数
仅为0.333571（调整后的
=0.259524），说明CPI与商品房价格的相关度较低。
经分析，我们建立如下的多元线性回归模型：
在日常的学习中，我们知道人均可支配收入近似是GDP的线性函数，即上述模型可能存在多重共线问题。
根据样本中的数据，利用EViews将
对
进行回归：
图4GDP对于居民可支配收入的相关图
并进行OLS估计，可得近似满足如下关系：
其中：
=3895.823
=4.35*10^（-8）
于是修正模型并用SPSS软件估计后，可得
其中，
=—2660.007
=0.492471
2、GDP与时间的数学模型
图5GDP的自回归分析图
从图中我们可以看出GDP与时间的函数关系可拟合为一条直线，故构造一元线性回归模型：
其中：
=56400000000
=53200000000
3.5模型预测
针对国十一条、新国十条、限购令等调控政策，基于我们所建立的数学模型，将关于未来三年商品房的价格我们可以得到如下表2结论：
年份
t
GDP（元）
人均可支配收入（元）
商品房价格（元/平方米）
2012
12
6.948E+11
34119.623
14142.91786
2013
13
7.48E+11
36433.823
15282.59425
2014
14
8.012E+11
38748.023
16422.27063
表2
4.政策提出与价格预测
在分析考虑政府已经出台的调控政策的基础上，我们提出了自己的调控政策：
为稳定房价，政府因采取措施加快城镇化的速度来提高人口密度。
另外，从表3中我们可以看出，上述模型的偏差还是偏大的。
因此有必要对该模型进行改进。
对于多元回归分析模型，我们应该在原有的基础上再次增加解释变量，让模型的适用性更加广泛。
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
预测值
2997.8082
3585.1765
4459.4113
5527.1630
6799.4448
8195.4934
9462.0063
10909.4497
12572.4363
14685.9133
真实值
3526.1484
3938.5720
4184.5269
5618.5831
6218.3024
7615.6944
8409.4127
10555.0928
14132.4908
13281.8872
偏差
0.0538
0.0167
0.1322
0.3209
0.2102
0.3180
0.2424
0.2973
0.1911
0.0392
表3
在一个城市面积固定的情况下，人口密度会影响对商品房的需求，进而影响商品房的价格。
于是我们对模型进行改进，加入人口密度这一解释变量。
4．1模型假设：
人口增长仅与人口基数和增长率有关
人口的变化是时间的连续可微函数
4．2符号说明：
：
2001年杭州市的人口总数
：
人口增长率
：
从2001年开始，第t年的杭州市的人口总数
：
从2001年开始，第t年的人口密度
：
2001年的人口密度
S：
杭州市面积
4．3模型建立：
1、人口增长模型的建立——马尔萨斯（Malthus）模型的推广
根据马尔萨斯（Malthus）模型
将上式两边同时除以杭州市面积（S）可得
2、商品价格模型的改进——加入人口密度这一解释变量
综上，建立多元线性回归方程：
用EViews软件进行OLS估计结果如下
图6居民可支配收入和人口密度对于商品房价格的回归结果
所以，
=15925.71
=0.580270
=—51404.62
根据从杭州统计信息网上获得的数据，得出表4
年份
总人口数（万人）
人口密度（人/平方米）
2001
629.14
0.3791
2002
636.81
0.3837
2003
642.78
0.3873
2004
651.68
0.3927
2005
660.45
0.3980
2006
666.31
0.4015
2007
672.35
0.4051
2008
677.64
0.4083
2009
683.38
0.4118
2010
689.12
0.4152
2011
695.71
0.4192
表4
可得，
=0.00914
基于改进后的数学模型，关于未来三年商品房的价格我们可以得到如下表5预测：
年份
t
GDP（元）
人均可支配收入（元）
人口密度（人/平方米）
商品房价格（元/平方米）
2012
12
6.948E+11
34119.623
0.423
13980.14938
2013
13
7.48E+11
36433.823
0.4269
15122.53219
2014
14
8.012E+11
38748.023
0.4309
16259.77455
表5
基于以上分析预测，我们提出的调控政策为：
加快城镇化的速度以提高人口密度。
城镇化是指农村人口转化为城镇人口的过程。
反映城镇化水平高低的一个重要指标为城镇化率，即一个地区常住于城镇的人口占该地区总人口的比例。
它主要表现为随着一个国家或地区社会生产力的发展、科学技术的进步以及产业结构的调整，其农村人口居住点向城镇的迁移和农村劳动力从事职业向城镇二、三产业的转移。
城镇化的过程也是各个国家在实现工业化、现代化过程中所经历社会变迁的一种反映。
假设政府实施一系列措施，使得人口增长率下降。
若2012年、2013年、2014的人口增长率分别为0.0095、0.01、0.015，则基于我们建立的数学模型，关于未来三年商品房的价格我们可以得到如下表6预测
年份
t
GDP（元）
人均可支配收入（元）
人口密度（人/平方米）
商品房价格（元/平方米）
2012
12
6.948E+11
34119.623
0.4232
13969.86845
2013
13
7.48E+11
36433.823
0.4274
15096.82988
2014
14
8.012E+11
38748.023
0.4338
16110.70115
表6
与上表相比，人口增长率上升即人口密度增加后商品房价格的增幅降低。
模型预测结果为我们提出的调控政策作出了很好的解释。
5.模型优缺点分析
1、数据来源于杭州市统计网，数据真实可靠。
2、模型的F值很大，即模型的拟合程度较好。
3、现实生活中影响商品房价格的因素还有很多，从商品房供给的角度有土地交易价格、商品房建造成本等因素。
而我们的模型重点放在商品房需求的角度，忽略商品房供给的相关因素即忽略了模型应有的解释变量，会使残差含有较多可利用信息，降低了模型的估计精度。
4、时间序列通常会存在自相关问题，上述模型考虑不够。
5、政策和经济环境的变化也不可忽略。
6、对于综合评价政策实现程度模型，我们应该引入更多的相关因素来诠释政策在市场环境下的实现程度。
7、综合模拟商品住宅价格、GDP增速、市民工资水平间关系的模型，应当考虑其他因素对此的影响大小进行估测，和给出误差函数。
6.参考文献
[1]赵卫亚，彭寿康，朱晋，计量经济学，北京：
机械工业出版社，2008
[2]姜启源，谢金鑫，叶俊，数学模型，北京：
高等教育出版社，2003
[3]杭州市统计年鉴2001-2011，，访问时间：
2013/5/11
[4]杭州价格网，,访问时间：
2013/5/11
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