平面几何中的几个重要定理doc.docx
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平面几何中的几个重要定理
自欧几里得的《几何原本》问世以来，初等几何以其新奇、美妙、丰富、完美的内容和形式引发了历代数学家们浓厚的兴趣.许多杰出的人物为了探索几何学中的奥秘而奉献了毕生的精力，他们发现了一个又一个新的定理，推动了几何学的迅速发展.为了纪念他们，人们以他们的名字来命名他们所获得的重要成果.这些优秀成果如同璀璨的明珠照亮了儿何学的历程.
这里我们介绍儿何学中的儿个重要定理以及它们在数学竞赛解题中的应用。
一、塞瓦定理
塞瓦（G.Ceva1647—1743）,意大利著名数学家.
塞瓦定理设S为A/WC三边所在直线外一点，连接AS,BS,CS分别和\ABC的边或三边的延长线交于P,Q,R（如图1）,则竺.丝.坐=1.
PCQARB
证明（面积法）考虑到ACS有公共底边AS,因此它们面积之比等于分别从顶点
B、C向底边AS所引垂线长的比，而这个比乂等于BP与PC之比，所以有
P174
BP_S^abs
PCSmcs
同理可得
CQ_S〉BCS
QAS^bas
ARS^cas.
RBS^cbs
三式相乘，即得
BP.£Q.ARS二A〉-.S隽us
PCQARBSiACSS^bas
与塞瓦定理同样重要的还有下面的定理.
塞瓦定理逆定理设P,Q,R为AABC的边或三边的延长线上的三点（P,0R都在三边
证明因三点P、Q、R中必有一点在三角形的边上，不妨假定P点在BC边上。
若BQ与CR相交，设交点为S,又设AS和BC的交点为P',由塞瓦定理，应有
BPCQAR_
PC#QA#RB"1
与已知条件中的式子比较，得
BPBP，
PC"PrC
但由于点P和P'同在BC边上，所以P和P'重合，即三直线AP、BQ、CQ交于一点。
P175
ARACRPCOAC
若BQ与CR平行，则—.把它代入己知条件的式子中，——=h
RBQCPCQAQC
:
.—=—BQ//PAo即AP、BQ、CR三线互相平行。
PCAC
利用塞瓦定理的逆定理，可以证明三条直线共点，下而看儿个具体的例子。
例1.如图3,F是AA8C内一•点，AP,BP,CP分别与边BC.CA.AB交于D,E,F,过三点作圆，与三边交于D,,E\F,.求证：
AD',BE',CF'交于一点.
分析要证AD\BE\CF，三线共点，考虑到AD、BE、CF三线共点，显然可利用塞瓦定理。
又考虑到D、E、F、D\E\F，六点共|员I，因此可利用圆幕定理将等式转换。
证明・.・AD、BE、CF三线共点，
由塞瓦定理得竺•—=lo
DCEAFB
但D、E、F和D'、E'、F共圆,
所以BD'*BD=BF'*BF,CE'*CE=CD'*CD,AF'*AF=AE'*AE。
三式相乘得BD'*CE*AF'*BD*CE*AF=BF'*CD'*AE'*BF*CD*AE,
RIIBD'CE'AF'BDCEAF〔mBDCEAFtrrrI
即=1o因=1所以
DCEAF'BDCEAFBDCEAFB
BD'CE'AF'[
=]
D'CE'AF'B
由塞瓦定理逆定理可知，AD，、BE，、CF，共点。
注由木题可知，一个圆周与△ABC交于D、D\E、E\F、F，，若AD、BE、CF三线交于一点，则AD\BE\CF，也相交于一•点。
例2.设A\B\C分别为A4BC三边的中点，P为M'B'C'内一点,ARBRC'P分别交BC,CA,AE于L,M,N（如图4）.求证:
AL,BM,CN三线共点.
PI76
证明•・・4L、B'M>C'N三线共点、,
B'LCMAN,LCMA'NB'
设AL.BM、CN分别交BC、C4、ABT点V、"、V.
B\C'分别为AC、AB的中点，
・•・B'C'/IBC,
BLCL
Bl：
.CM'.AN'_CL.B、N.A'M
BM、CN三线共点.
由塞瓦定理的逆定理，AL.BM、CN三线共点，即AL、
例3.以MBC各边为底边向外作相似的等腰三角形BCD,CAF,ABG（如图5）.求EAE,8尸,CG相交于一点.
分析如图15-5,要证AE.BF、CG三线共点，由塞瓦定理的逆定理，只需证
=1即可.但是图中没有平行线，，得不到比例关系，我们尝试通过三角形面LCMANB
积之比来转换，看能否得到要证的式子.
证明设三个相似等腰三角形的底角为。
AE、BF、CG分别交BC、CA、A8于七、
M、N，则
BL_5海£_+一曲sin（。
+8）
任S^celAC*CEsin（＜9+c）ACsin（0+C）
P177
同理您8Csin3+C）,心ACsin（"）
MAABsin3+A）NBDCsin（9+B）
.BLCMNA,
••••=1
LCMANB
山塞瓦定理的逆定理，AB、BF、CG交于一点
二、梅涅劳斯定理
Menelaus（公元98年左右），希腊数学家、天文学家，梅涅劳斯定理包含在其几何著
作《球论》里.
梅涅劳斯定理设AABC的三边BC,CA,AB或它们的延长线与一条不经过其顶点的直
线交于P,Q,R三点（如图6）,则
证明过C点引直线PQ的平行线交AB于S,则
BP_BRCQ_SR
7c~~rs'^a~~ra
•BP.CQ.AR_BR.SR.AR
.方•而—而•声'疝―
梅涅劳斯定理的逆定理也成立
梅涅劳斯定理逆定理设PQR分别是AABC的三边BC,CA,AB上或它们延长线
上三点，若有
BPCQAR|
PCQARB
则P,Q,R三点在同一直线上.
证明不妨设点P在BC边的延长线上，点Q和R在AC、AB或者它们的延长线上，
设QR与BC延长点的交点为P\根据梅涅劳斯定理有竺1.丝.坐=1
P'CQARB
P178
npRp，
与已知条件的式子加以比较，得——=——.
PCP'C
因P和P'都在BC的延长线上，.・・P和P重合，.・.P、0R三点共线.
梅涅劳斯定理及其逆定理应用非常广泛，尤其在三点共线问题的讨论中，常常给解题带来很多方便.
例4.设MBC的ZA的外角平分线与BC的延长线交于P.ZB的平分线与AC交于Q,ZC的平分线和AB交于R.求证：
P,Q,R三点在同一直线上.
图7
分析要证P、Q、R三点共线，只须证明.图8
BPCQAR
~PC~QA~RB~，
利用三伯形内的及外伯平分线的性质不难得到，请读者自证.
例5.图8,过AABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于P、Q、R,求证：
P、Q、R三点共线.
分析欲证P、Q、R三点共线.只需证明竺篷•至二1.
PCQARB
ADADARAp
证明因AP为圆的切线，所以*CPs*PB,从而有——=——,——=——.两式
ACACACCP
n_ZHBPAB-IFCQBC2ARCA2相乘得——=一•同理门J得—=—,—=—
CPAC2QAAB2RBBC2
BPCQARt
••.=j
.CPQARB.
山梅涅劳斯定理得，P、Q、R三点共线.
注：
直线PQR叫做Z^ABC的莱莫恩（Lemoine）线
P179
例6.（戴沙格定理）设ZXABC和左A,B,C,对应点的连线A#、BB，、
CCr交于一点S,这时■如果对应边BC和BC、CA和CA、AB和
（或它们的延长线）相交，则它们的交点D、E、F在同一直
线上.
分析由于。
、E、F三点、分
别在AABC三边延长线上，要证三点
共线,只能证明
AFBDCE|
FBDCEA
注意图中多个三角形被多条直线所截，反复利用梅涅劳斯定理，即
可得证.
证明因直线FA，W截ASAB,由梅涅劳斯定理，有
SA*AFBB'|
••=1.
A'AFBB'S
同理，直线网'截ASAC,有
44'SC'CE|
A'SCCEA
直线〃Bf截ASBC,有
SB'BDCCi
B'BDCCS
三式相乘，得
AFBDCEtFBDCEA
山梅涅劳斯定理逆定理，D、E、尸三点共线
注：
戴沙格定理是射影儿何中的重要定理.
例7.（牛顿定理）设四边形ABCD的一组对边和CD的延长线交于点另一组对边和BC的延长线交于点F,则AC的中点乙、BO的中点M及EF的中点7V,三点共线.
分析为了证明L、M、N共线，可考虑八从"三点是否分别在一个三角形的边或延长线上.由它们是UBD、泌的中点，设AEBC三边中点为P、R、Q,则显然有树在ZW上，匕在必上，N在国延长线上，再利用海涅劳斯定理不难得到证明。
P180
证明:
设P、R、Q分别为EB、BC、CE中点，因为L、Q、R分别是CA、CE、CB中点，所以它们在同一直线上，且有
QLEA
LR~AB
同理，m、r、p三点在同一直线上，n
RMCD
MP~DE
N、P、Q三点在同一直线上，且
PNBF
~NQ~~FC
三式相乘得
QLRMPNEACDBF
Tr~MP~NQ~~AB~DE~FC
但因直线ADF切割Z\EBC,山海涅劳斯定理，有
EABFCD|QLRMPN〔
ABFCDELRMPNQ
因L、M、N三点分别在△PQR三边或其延长线上，故山梅涅劳斯定理逆定理，L、M、N三点共线。
注直线LMN叫做四边形ABCD的牛顿线
三、斯特瓦尔特定理
Stewart（1753—1828）,英国数学家、哲学家.
斯特瓦尔特定理设P是AABC的边BC上一点，且BP:
PC=M:
N=m:
nf则有
nAB1+mAC2=（m+n）AP2+-BC2
m-\-n
P181
证明设ZAPB=e,山余弦定理，
AB2=AP）+BP2—2AP・BPc",
即AB2=4户2+（_2!
_・bc）2_2AP^~^—BC^cos0.①
m+nm+n
又AC2=时2+«2+2AP"Ccos。
=时2+（_E_・BC）?
+2AP・一^—・BCcos9.②
m+nm+n
CDxn+②xm,得
nAB2+mAC2=（m+n）AP2+BC2.
m+n
注斯特瓦尔特定理还可以写成下而的形式：
CPAB2+BPAC2=BC・Ap2+BP・CP・BC
或…".“e
当朋=〃时，P为BC的中点，有AB2+AC2=2（AP2+BP2）（巴布斯定理）
AP2=L（AB2+AC2）--BC2（中线定理）
2、74
2
当AP是△ABCNA的平分线是，有AP=』bcp（p-a）.（2p=o+/?
+c）
b+c
例8.在AABC中设AB=c,AC=b,c>b,AD是NA的平分线，E为BC±一点，且
BE=CD.求证：
AE2-AD2=（c-Z?
）2.
P182
证明为方便起见，不妨设BD=m,DC=n,则
BE=n,EC=m,ED=m-n.
由斯特瓦尔特定理，有
m+n
4函b2n+c2m
AE=mn
m+n
.化2_AO2=c2（，n-〃）*d）=仃_屏）2
m+nm+n
AD为A的平分线
mcm-nc-h
•—=—.=
nbc+b
:
.AE2-AD2=^—^（c一幻（Z?
+c）=（A+c）2
c+b
下而我们来证明一个关于三角形的重心的定理。
例9.设。
为八ABC的重心，M是平面上任意一点，求证：
MA2+MB2+MC2=GA2+GA2+GA2+3MG2
分析如图15—13,不妨设M点在ABC内部，
在等式中，考察线段MGo由于MG在AADM内部，且G分中线AD为2:
1两部分，故可利用斯特瓦尔特定理得到MG和AM、DM、AG、DG的关系，再在ABMC中，利用中线公式可得到MD和MB、MC、BD的关系，从而有望获得证明。
证明设AABC三条中线分别为AD、BE、CF°在左ADM中，斯特瓦尔特定理，有
MA1DG+MD2GA=MG2AD+ADDGGA
因DG=AD,GA=AD,代入上式并整理，得
I22
MG2=-MA2-^--MD2——AD2①
339
在△MBC中，由中线公式得
P183
MD2=-（MB2+MC2）--BC2
24②
乂因AD2=9GD29在GBC中，
GD2=-（GB2+GC2）--BC2③
24
②、③代入式①，整理得
3MG2=MA2+MB2+MC2-（GB2+GC2）-4G/）2
=MA2+MB2+MC2-GB2-GC2-GA2,
MA2+MB2+MC2=GA2+GB2+GC2+3MG2,
注从上式可看出，当M不同于重心G时，有
MA2-}-MB2+MC2>GA2^GB2+GC2.
所以，到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。
练习
1.AABC的边BC上任意一点D,设ZADB和/ADC的角平分线分别交AB、AC于F和E,求证：
AD、BE、CF交于一点.
2.已知AD是AABC的边BC上的高，P为AD上任意一点，直线BP、CP分别交AC、AB于E、F,求证：
ZFDA=ZADE.
3.AABC中，内切圆。
0与各边BC、CA、AB相切于D、E、F,求证：
AD、BE、CF交于一点.
4.在ZXABC中，AM为BC边上的中线，AD为NA的平分线，顶点B在AD上的射影为E,BE交AM于N,求证：
DN〃AB.
5.设AABC的三个旁切圆在BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F,则AD、BE、CF交于一点.
6.设平行四边形ABCD内一点E,过E引AB的平行线与AD、BC交于K、G,过E引AD的平行线与AB,CD交于F、H,则FK、BD、GH互相平行或交于一点.
7.一条直线与三角形三边或其延长线交于L、M、N,若点L',M',N'与L、M、N关于三边的中点对称，求证L',M',N'三点共线.
8.设四边形ABCD外切于OO,切点分别为E,四G,H，则HE,DB,GF相交于一点
（或GH,CA,EF相交于一点）
9.设D、E为MBC的边8C上两点，旦BD=DE=EC，则2AB2+AC2=6DE2+3AD2
10.设正三角形ABC边&为a,P为平面上任意一点，证明：
PA1+PB2+PC2>a2.
P184
习题十五简解
1、考虑到DF、DE分别是ABDA和/ADC的平分线，
.BDCEAFBDCDAD,
•DCBAFBDCADBD
AD.BE、CF三点共线.
2、过A作BC的平行线交DF、DE的延长线于尸、E'.
由塞瓦定理有——=1,而竺二竺生二坐1，代入上式得AF'=A£.
DCEAFBEAAE1FBBD
3、由已知有BD=BF,CD=CE,AE=AF
4、延长AC与BE延长线交于F,则AABF为等腰三角形.延长EM交AB于L,则L为AB中
r）A
=——，:
.NDIIABED
5、先证BD=EA,DC=AF,CE=FB,再利用塞瓦定理证明三点共线.
agAFBODKtDHCGBOt
6、设BD与FK交点为0,
P185
•「AABD,=1".=1,
FBODKAHCGBOD
:
.G、H、O在同一直线上，即FK、BD、GH交于一点O.
7.由梅涅劳斯定理有-—
CLAMBN
乂由于,M',N',L'分别与M、N、L关于三边中点对称，所以AN=BN,
BN=AN,BL=CL,CL=BL,AM'=CM,CM=AM,代入上式得竺.当竺BLCMAN'
8.设HE与BD交于M',贝iJHEM*AEBM‘DH|EBM、DHA
又设GF与DB交于M,则醐蒙.由上两式得旦C=型,所以M'、M重合。
M'DMD'
9.利用斯特瓦尔特定理。
10.设左ABC重心为G,则
PA2+PB1+PC?
=ag?
+BG1+CG2+3PG2
a2f+3PG->cr.
P186
四、托勒密定理
Ptolemy（约公元85-165年），希腊大数学家，他的主要著作《天文集》被后人称作“伟大的数学书
托勒密定理设四边形ABCD内接于圆，则有
ABCD-^-ADBC=ACBD.
证明为证明上式，在园内接四边形ABCD内构造相似三角形如图16-1.在对角线BD上取点E,使得ZBAE=ZCAD.又因为NABE=NACD,AAABE-AACD,
.AB_AC
即ABCD=ACBE①
另一方面，・.・ZCAD=ZBAE,
・.・ZEAD=ZBACo
乂•.・ZADE=ZACB,・.・AADE-AACB,
.ADAC
••~DE~~BC"
即ABCD=ACBE②
将①、②两式相加，得
ABCD+ADBC=AC\BE+BD）=ACBD
托勒密定理可作如下推广:
在四四边形ABCD中，有
ABCD+ADBC>ACBD,
等号成立的充要条件是ABCD为圆内接四边形，彷前可证，请读者自证。
P188
例1・设P,Q为平行四边形ABCD的边AB.ADk的两点，\APQ的外接圆交对角线
AC于R.求证：
APAB+AQAD=ARAC.
证明：
连接QR、PR.在圆内接四边形APRQ中，山托勒密定理得
AP•QR+AR•PR=AR•PQ.①
因为匕CAB=ZRQP,ZCAD=ZQPR,而NCAD=ZACB,...△PQRs△ACB.
令义4=「日=PQ=k,并考虑到BC=AD,WABBCCA
QR=kAB,PR=kAD,PQ=kCA.
代入①式得AP•kAB+AQ•kAD=AR•kCA.
・.・AP•AB+AQ•AD=AR•AC.
注此题的特例是：
当P与B重合，Q与D重合，即AADB的外接圆交AC于R时，有
22
AB+AD=AR•AC.
例2.设ABCD为圆内接正方形，P为孤DC±-点，求证：
PA{PA+PC）=PB（PB+PD）
证明设正方形边长为a,在圆内接四边形ABCP中，由托勒密定理，有PA•a+PC•a=PB•V2a,
即PA+PC=V2PB.
同理，在圆内接四边形ABPD中有PB+PD=41PA.
两式相除，即得PA+PC=—■
PB+PDPA
:
.PA（PA+PC）=PB（PB+PD）.
P189
例3.如图，己知圆内接正五边形ABCDE,若PMAB±一点，则
PA+PD+PB=PE+PC.
证明设正五边形ABCDE的边R为a,正五边形对角线长相等，设为b.
因四边形PBDA是园内接四边形，由托勒密定理，有PA・b+PB・b=PD・a.所以
PA•b+PB•b+PD・b=PD・a+PD・b,
PA+PB+PD=PD・（a+b）/b①
乂由四边形PCDE是园内接四边形，有
PE+PC=PD-b/a.②
而由四边形ABCE为园内接四边形，有
a•b+a2=b2,即（a+b）/b=b/a.
比较①②得PA+PB+PD=PE+PC.
例4.设为同心圆，G的半径是G的半径的2倍，四边形A/2A3A4内接于圆G，分别延长1白,&人2，人2人3，&人4交圆于坊，饥，吕，们，求证：
四边形的周长U不小于四边形A的周长的2倍.并指出等号成立的条件.
分析要证的L>2L为不等关系，可尝试利用托勒密定理的推广形式.为此连接0A2、0B2、OB.（图16-5）.在四边形OA2B2B3中，由于。
B2=20A2，可得到关于皿、A3B3.&&、乌贝的关系式.同理还可得到类似的儿个关系式，从而可以设法证得£>2L.
证明设圆C］半径为r,则C2半径为2r.连接。
A?
、。
缶、。
氏.在四边形OA2B2B.中，由托勒密定理的推广，有
0A2・B2B3+OB3・A2B20B2・A2A3,
即
r•B2B3+2r•A2B2>2r•A2A3,
亦即
B2B3+2A2B2>2（m+A383）・
同理可得
P190
B3B4+2A3B3—2（人3A4+A484）
6481+24484—2（^4Ai+AiBi）
B182+2A1BE2（&A2+A282）
四个不等式相加，即得
B\Bi+B2B3+B3B4+B4B]—2（AiA2+A2A3+A3A4+A4Ai）,
eijL>2L
当H仅当四边形A1A2A3A4为园C的内接正方形时等号成立，此时
B1B2B3B4也为正方形（证明略）。
五、西姆松定理
R.Simson（1867—1768）,英国数学家，曾于1756年校订了欧儿里德的《儿何原木》.
西姆松定理从MBC的外接圆上任意一点P向BC.CA.AB或它们的延长线引垂线，
垂足分别为D,E,F,则D,E,F三点共线.
过点D,E,F的直线叫做AABC关于点P的西姆松线，
证明为了证明D、E、F三点共线，只需证明
ZFDB+ZPDB=90°
山于B、P、D、F和D、P、E、C都是四点共圆，所以
Z.FDB=ZFPB=90°-』FBP
=90°-』PCB=90°-ZPDE,
:
.ZFDB+ZPDB=90°
西姆松定理的逆定理也成立，即：
从一点P向AA5C的三边或它们的延长线引垂线，若垂足D、E、F
P191
在同一直线上，则点在*BC的外接圆上.
西姆松定理还可以推广为：
（卡诺定理）过MBC的外接圆上一点P,引与三边BC,CA,AB分别成同向的等角直线
PD,PE,PF,与三边交点分别为。
E,F,则D,E,F三点共线.
这个推广亦称为卡诺定理.
关于西姆松定理的逆定理及其推广，证明并不困难，请读者自己完成
例5.设\ABC的三条高为AD,BE,CF,过。
作AB,BE,CF,AC的垂线，垂足分
别为P,Q,R,S,则P,Q,R,S在同一直线上.
分析要证四点共线可先证三点共线.图中有多组四点共圆，再考虑到从D所引的四条垂线,很容易联想到西姆松定理.
证明设Z\ABC的垂心为H,则B、D、H、F四
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