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浮点转定点方法总结

CIITechnologies,Inc.浮点转定点方法总结

浮点转定点方法总结

—孔德琦

CIITechnologies,Inc.目录

定点运算方法...................................................................................................................................31.1数的定标...........................................................................................................................3

1.2C语言:

从浮点到定点....................................................................................................4

1.2.1加法.................................................................................................................................4

1.2.2乘法..................................................................................................................................6

1.2.3除法..................................................................................................................................7

1.2.4三角函数运算.................................................................................................................8

1.2.5开方运算.........................................................................................................................91.3附录......................................................................................................................................10

1.3.1附录1:

定点函数库....................................................................................................10

1.3.2附录2:

正弦和余弦表.................................................................................................19

CIITechnologies,Inc.浮点转定点方法总结

定点运算方法

1.1数的定标

对某些处理器而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。

但在许多情况下，数学运算过程中的数不一定都是整数。

那么，如何处理小数的呢,应该说，处理器本身无能为力。

那么是不是就不能处理各种小数呢,当然不是。

这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。

这就是数的定标。

通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。

数的定标用Q表示法。

表1.1列出了一个16位数的16种Q表示能表示的十进制数值范围和近似的精度。

Q表示精度（近似）十进制数表示范围

Q150.00002-1?

0.9999695

Q140.00005-2?

1.9999390

Q130.0001-4?

3.9998779

Q120.0002-8?

7.9997559

Q110.0005-16?

15.9995117

Q100.001-32?

31.9990234

Q90.002-64?

63.9980469

Q80.005-128?

127.9960938

Q70.01-256?

255.9921875

Q60.02-512?

511.9804375

Q50.04-1024?

1023.96875

Q40.08-2048?

2047.9375

Q30.1-4096?

4095.875

Q20.25-8192?

8191.75

Q10.5-16384?

16383.5

Q01-32768?

32767

表1.1Q表示、S表示及数值范围

从表1.1可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。

例如:

16进制数2000H,8192，用Q0表示

16进制数2000H,0.25，用Q15表示

从表1.1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。

Q越大，数值范围越小，但精度越高;相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。

例如，Q0的数值范围是-32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为

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1/32768=0.00003051。

因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价;而想提高精度，则数的表示范围就相应地减小。

在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点。

浮点数与定点数的转换关系可表示为:

Qx,（int）x,2x浮点数（x）转换为定点数（）:

Qxx,（float）x,2定点数（）转换为浮点数（x）:

x,，式中表示例如，浮点数x=0.5，定标Q,15，则定点数0.5，32768,16384q，，，，

-15下取整。

反之，一个用Q,15表示的定点数16384，其浮点数为16384×2,16384/32768=0.5。

1.2c语言:

从浮点到定点

下面所描述的几种基本运算是浮点到定点转换中经常遇到的，从中可以体会到一些基本的技巧和方法。

1.2.1加法

设浮点加法运算的表达式为:

floatx,y,z;

z=x+y;

将浮点加法/减法转化为定点加法/减法时最重要的一点就是必须保证两个操作数的定标值一样。

若两者不一样，则在做加法/减法运算前先进行小数点的调整。

为保证运算精度，需使Q值小的数调整为与另一个数的Q值一样大。

此外，在做加法/减法运算时，必须注意结果可能会超过16位表示，即数的动态范围。

如果加法/减法的结果超出16位的表示范围，则必须保留32位结果，以保证运算的精度。

1（结果不超过16位表示范围

设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加法/减法结果z的定标值为Qz，则

z,x+y,

Q,Q,Qyxzz,2,x,2，y,2qqq

（）Q,Q,Q,Qxyxxx,2，y,2,2=qq

（）Q,Q,Qxyx[x，y,2],2=,qq

（Q,Q）（Q,Q）xyzxz,[x，y,2],2qqq

一般情况，我们取x,y和z的定标值相同，即Qx=Qy=Qz=Qa。

所以定点加法可以描述为:

shortx,y,z;//Qa

z=add（x,y）;//Qa

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函数add（）有防饱和机制，如果可以确信x+y不会溢出（-2^15<=z<=2^15-1），可以直接写为z=x+y.

定点减法:

shortx,y,z;//Qa

z=sub（x,y）;//Qa

函数sub（）有防饱和机制，如果可以确信x-y不会溢出（-2^15<=z<=2^15-1），可以直接写为z=x-y.

2（结果超过16位表示范围

设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加法结果z的定标值为Qz,则定点加法为:

intx，y;

longtemp，z;

temp,y<<（Qx-Qy）;

temp,x，temp;

z,temp>>（Qx-Qz），若Qx?

z,temp<<（Qz-Qx），若Qx?

一般情况，我们取x,y和z的定标值相同，即Qx=Qy=Qz=Qa。

所以定点加法可以描述为:

intx,y,z;//Qa

z=L_add（x,y）;//Qa

函数L_add（）有防饱和机制，如果可以确信x+y不会溢出（-2^31<=z<=2^31-1），可以直接写为z=x+y.

定点减法:

intx,y,z;//Qa

z=L_sub（x,y）;//Qa

函数L_sub（）有防饱和机制，如果可以确信x-y不会溢出（-2^31<=z<=2^31-1），可以直接写为z=x-y.

3.结果超过32位表示范围

这种情况下位数超出了标准c语言的数的表示范围，只能用数组来保存变量。

定点加法可以描述为:

#defineNN_DIGITunsignedint

NN_DIGITx[digits],y[digits],z[digits];//Qa

NN_Add（z,x,y,digits）;//Qa

定点减法:

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NN_DIGITx[digits],y[digits],z[digits];//Qa

NN_Sub（z,x,y,digits）;Qa

应注意的是以上32位定点加减法都是无符号数操作。

1.2.2乘法

1（16位乘法

设浮点乘法运算的表达式为:

floatx,y,z;

z=xy;

假设经过统计后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定标值为Qz，则

z=xy,

（Q，Q）,Qxyzz,2x,y,2=,qqq

Q,（Q，Q）zxyz（xy）2=qqq

所以定点表示的乘法为:

shortx;//Qx

shorty;//Qy

intz;//Qz

z=L_mult（x,y）>>（Qx+Qy+1-Qz）;

上式中x乘y的定标本来应该是Qx+Qy,但为了处理方便，函数L_mult（）多乘了一次2，因此要再加1。

函数L_mult（）有防饱和机制，如果可以确信z=xy不会溢出（-2^31<=z<=2^31-1），可以直接写为z=（xy）>>（Qx+Qy-Qz）。

2.结果超过32位表示范围

这种情况下位数超出了标准c语言的数的表示范围，只能用数组来保存变量。

定点乘法可表示为:

#defineNN_DIGITunsignedint

NN_DIGITx[digits];

NN_DIGITy[digits];

NN_DIGITz[2*digits];

NN_Mult（z,x,y,digits）;

应注意的是以上32位乘法都是无符号数操作，如果需要做有符号数乘法，则需要根据乘数的符号来判断。

例1

设x=18.4，y=36.8，则浮点运算值为z=18.4×36.8=677.12;

设Qx=10，Qy=9，Qz=5，所以

intx=18841;//Q10

inty=18841;//Q9

z=L_mult（18841,18841）>>（10+9+1-5）=354983281L>>14=21666;

因为z的定标值为5，故定点z=21666即为浮点的z=21666/32=677.08。

例2

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设x=18.4，y=36.8，则浮点运算值为z=18.4×36.8=677.12;

#defineNN_DIGITunsignedint

设Qx=20,Qy=20,Qy=20,所以

NN_DIGITx=18.4*（1<<20）;//Q20

NN_DIGITy=36.8*（1<<20）;//Q20

NN_DIGITz[2];//Q20

NN_Mult（z,&x,&y,1）;//Q40

NN_Rshift（z,z,20,1）;//Q（40-20）1.2.3除法

1.32位除法

设浮点除法运算的表达式为:

floatx,y,z;

z=x/y;

假设经过统计后被除数x的定标值为Qx，除数y的定标值为Qy，商z的定标值为Qz，则

z=x/y,

Qxx,2q,Qzz,2=,q,Qyy,2q

QQQ（,，）zxyx,2qz,qyq

所以定点表示的除法为:

intx,y,z;

z=L_shl（x,（Qz-Qx+Qy））/y;//Qz

2.32位以上的除法

这种情况下位数超出了标准c语言的数的表示范围，只能用数组来保存变量。

#defineNN_DIGITunsignedint

NN_DIGITx[2*digits];//Qx

NN_DIGITy[digits];//Qy

NN_DIGITz[digits];//Qz

NN_Lshift（x,x,（Qz-Qx+Qy）,2）;

NN_Div（z,x,2*digits,y,digits）;

做以上运算是要保证Qz-Qx+Qy<32,否则要多次移位来实现;应注意的是以上除法都是无符号数操作，如果需要做有符号数除法，需要根据被除数和除数的符号来判断。

例1:

设x=18.4，y=36.8，浮点运算值为z=x/y=18.4/36.8=0.5;

根据上节，得Qx=10，Qy=9，Qz=15;所以有

intx=18841,y=18841;

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z=L_shl（x,（15-10+9））/18841;//308690944L/18841=16384

15因为商z的定标值为15，所以定点z=16384即为浮点z=16384/2=0.5。

1.2.4三角函数运算

1正弦和余弦

一般求cos、sin用查表法，方法是预先定义正弦和余弦表，表的长度及表中各元素的定标是根据精度要求确定的，精度要求越高，表的长度及元素的定标都可以增加。

余弦表制作步骤:

1）计算cos（2*pi*t/N），其中0<=t<=N-1，N是0,2*pi之间的采样点数。

2）将以上结果（浮点数）按精度要求定标，如Q15，

3）建立数组tab_cos[N]，将以上结果作为该数组的元素。

正弦表的定义方法同上。

附录2中给出了余弦表tab_cos[360]和正弦表tab_sin[360]，精度是Q15。

例1求cos（2*pi*x/32）,x是定标为Qx的整数

cos（2*pi*x/32）=cos（（2*pi*（360*x/32）/360）;

程序如下:

intu=（L_mult（360,x）/32）%360;//Qx

intresult;

result=tab_cos[u];//Qx

例2求cos（x）,x是定标为Qx的整数

cos（x）=cos（2*pi*（360*x/（2*pi））/360），

程序如下:

intpi_Qx=3.1415*（1<

intu=（L_mult（360,x）/（2*pi_Qx））%360;//Q0

intresult;

result=tab_cos[u];//Qx

上式中将pi定标为Qx的定点数。

如何进一步提高精度

一般可以增加表的长度即采样点数来提高精度，但在现有采样情况下，也有办法来提高精度。

方法是求出两采样点之间的斜率，根据当前采样点的位置求出更加精确的值。

position

tab_cos[t]

tab_cos[t+1]

tt+1

例3求cos（x）,x是定标为Qx的整数

intpi_Qx=3.1415*（1<

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intu=（L_mult（360,x）/（2*pi_Qx））%360;//Q0

intpos=（L_mult（360,x））%（2*pi_Qx）;

intresult;

result=tab_cos[u]+（tab_cos[（u+1）%360]–tab_cos[u]）*pos/（2*pi_Qx）;

上面（u+1）%360以防u=359时越界。

2反正切atan（）

反正切函数

y=atan（x）

在x=-0.5,0.5之间近似线性，可以用y=x代替，在abs（x）>0.5时可以采用拟合的方法。

因此:

xabs（x）<0.5

y=atan（x）?

（-0.06）*x.^2+0.5*x+0.30.5

拟合可以调用matlab的命令ployfit来做，例如:

x=[start:

0.1:

stop];

y=atan（x）;

pa=polyfit（x,y,2）;

上式中的运算都是简单的乘法运算，较为简单。

1.2.5开方运算

浮点开方运算描述为:

floatx,y;

y=sqrt（x）;

定点求开方有多种方法，各种方法在收敛速度上不尽相同，下面介绍几种常用的迭代算法。

1（Newton-Raphson-Babylonian算法:

给定整数N,求sqrt（N）。

首先确定初值x[0],然后利用一个简单的迭代公式:

x[n+1]=（x[n]+N/x[n]）/2

迭代次数的选择:

迭代次数与初值x[0]的选取很有关系，x[0]越接近sqrt（N）,收敛越快。

但总的来说，该方法收敛较快。

缺点是收敛时间不确定。

2（确定收敛速度的算法:

该方法描述如下:

intsqrt（intx）

{inttest,step;

if（x<0）return（-1）;if（x==0）return（0）;

step=1<<15;

test=0;

while（step!

=0）

{

registerinth;

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h=（test+step）*（test+step）;

if（h<=x）{test+=step;}

if（h==x）break;

step>>=1;

}

return（test）;}

以上例子是32位开放运算，32位以上的开方运算可参考附录1voidfixsqrt（UINT4*a,

UINT4*b,intdigits），方法同上。

求开方还可以运用线性拟合的方法，由于曲线变化较快，必须根据自变量的范围分段拟合才

能达到理想的精度。

1.3附录

1.3.1附录1:

定点函数库

/*___________________________________________________________________________

|FunctionName:

L_add|

|Purpose:

|32bitsadditionofthetwo32bitsvariables（L_var1+L_var2）with|

|overflowcontrolandsaturation;theresultissetat+2147483647when|

|overflowoccursorat-2147483648whenunderflowoccurs.|

|Complexityweight:

|Inputs:

|L_var132bitlongsignedinteger（Word32）whosevaluefallsinthe|

|range:

0x80000000<=L_var3<=0x7fffffff.|

|L_var232bitlongsignedinteger（Word32）whosevaluefallsinthe|

|range:

0x80000000<=L_var3<=0x7fffffff.|

|Outputs:

|none|

|ReturnValue:

|L_var_out|

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|32bitlongsignedinteger（Word32）whosevaluefallsinthe|

|range:

0x80000000<=L_var_out<=0x7fffffff.|

|___________________________________________________________________________|*/

Word32L_add（Word32L_var1,Word32L_var2）

/*_____________________________________________

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