高考高考数学一轮复习对点提分专题78 利用空间向量解决有关空间角的开放问题 文理科通用.docx

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高考高考数学一轮复习对点提分专题78利用空间向量解决有关空间角的开放问题文理科通用

第七篇立体几何与空间向量

专题7.08　利用空间向量解决有关空间角的开放问题

【考点聚焦突破】

考点一　与线面角有关的探索性问题

【例1】（2019·湖北重点中学协作体联考）等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足

＝

＝

（如图

（1）），将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C（如图

（2））．

（1）求证：

A1D⊥平面BCED；

（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？

若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．

【规律方法】　解决此类问题的基本策略是执果索因，其结论明确需要求出使结论成立的充分条件，将题设和结论都视为已知条件即可迅速找到切入点，建立方程（组）并解方程（组），若有解，则存在并求得结论成立的条件，若无解，则不存在．

【训练1】如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2

，E为CD的中点，点F在线段PB上．

（1）求证：

AD⊥PC；

（2）试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．

考点二　与二面角有关的探索性问题　

角度1　已知二面角探求长度

【例2－1】（2019·潍坊模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝

AD＝1，CD＝

.

（1）求证：

平面PBC⊥平面PQB；

（2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°？

角度2　已知二面角探求角度

【例2－2】（2019·河北“五个一”名校联考）如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝2BC＝2CD，四边形DCEF是正方形，N，G分别是线段AB，CE的中点．

（1）（一题多解）求证：

NG∥平面ADF；

（2）设二面角A－CD－F的大小为θ

，当θ为何值时，二面角A－BC－E的余弦值为

？

【规律方法】　

1.解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．

2．探索线段上是否存在点时，注意三点共线条件的应用．

3．利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．

【训练2】（2019·华南师大附中质检）如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AD⊥CD，∠DCF＝60°，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，平面CDEF⊥平面ABCD.

（1）求证：

CE⊥平面ADF；

（2）已知P为棱BC上的点，试确定点P的位置，使二面角P－DF－A的大小为60°.

考点三　与空间角有关的最值问题

【例3】（2019·新高考联盟考试）如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝

，EC⊥BD.

（1）求证：

平面BED⊥平面ABCD；

（2）若点P在平面ABE内运动，且DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．

【规律方法】　解决空间角的最值问题一般是把空间角的某个三角函数值表示为某个变量的函数，利用这个函数的单调性求三角函数值的最值，求解时需要注意的是函数中自变量的取值范围对最值的决定作用．

【训练3】（2019·上海静安区质检）如图所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2.

（1）求二面角A－PE－D的余弦值；

（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

【反思与感悟】

用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想．

【易错防范】

求出法向量夹角的余弦值后，不清楚二面角的余弦值取正值还是负值，确定二面角余弦值正负有两种方法：

（1）通过观察二面角是锐角还是钝角来确定其余弦值的正负；

（2）当不易观察二面角是锐角还是钝角时可判断两半平面的法向量与二面角的位置关系来确定．

【分层训练】

【基础巩固题组】（建议用时：

40分钟）

1.如图，在三棱锥P－ABC中，D为棱PA上的任意一点，点F，G，H分别为所在棱的中点．

（1）证明：

BD∥平面FGH；

（2）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，∠BAC＝45°，当二面角C－GF－H的平面角为

时，求棱PC的长．

2．（2018·天津卷）如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2.

（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：

MN∥平面CDE；

（2）求二面角E－BC－F的正弦值；

（3）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．

3.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l.

（1）求证：

l⊥平面PAC；

（2）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？

若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．

4．（2019·济南质检）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．

（1）求证：

AE⊥PD；

（2）设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为

，求二面角E－AF－C的余弦值．

【能力提升题组】（建议用时：

20分钟）

5.（2019·天津和平区质检）如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC＝

，点E在AD上，且AE＝2ED.

（1）已知点F在BC上，且CF＝2FB，求证：

平面PEF⊥平面PAC；

（2）当二面角A－PB－E的余弦值为多少时，直线PC与平面PAB所成的角为45°？

6.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝

，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.

（1）求证：

AD⊥平面BFED；

（2）点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．