有理数域上多项式的因式分解.docx

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有理数域上多项式的因式分解

本科毕业论文（设计）

论文题目：

有理数域上多项式的因式分解

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有理数域上多项式的因式分解

内容摘要

多项式理论是学习高等代数和解析几何必不可少的内容，它具有独立完整不基于其他爲代理论基础的体系，并且为学习代数和其他的数学分支提供理论依据•因式分解，也叫做分解因式，是我们研究有理数域上多项式理论的核心之一，也是进一步学习代数和科学知识的必备基础•因此，在这里我们要对有理数域上多项式的因式分解进行研究.

本文讲述了有理数域上多项式因式分解的条件和方法，通过多个判别方法判斷多项式因式分解的充分条件；在多项式可以因式分解的基础上，总结出应用于多项式因式分解的简便算法，给出实例供参考：

并在实际应用中融入因式分解的意艾和目的.

关键谟］:

有理数域多项式因式分解

RatiOnaIPOIynomiaIfactoriZatiOndomain

AbStraCt

POlynOmialtheoryiSthestudyOfHigherAIgebraandanalyticgeometryessentialCOntent,ithasindependentandCOmPIetenotSyStembasedOnOthergenerationOfhightheoretiCaIbasiSandalgebraandOtherbranchesOfmathematicsIearningandPrOVideatheoretiCaIbasis・FaCtorization,alsocalledfactorization,WeStudytheratiOnalnumberfieldPOIynomiaItheoryiSOneOfthecore,aISOforfurtherStUdyOftheessentialbasisOftheaIgebraandSCientificknov∕Iedge・TherefOrefhereWeWanttofactorthePOIynOmialOVertherationalnumberfielddecompositionWaSStUdied・

ThiSPaPertellsthefactorizationOfPOIynOmialfactorizationOfratiOnalnumberfieldCOnditionsandmethods,throughmultiplediscriminantmethodtodetermineSUffiCientCOnditionsforPOlynOmiaIfactoriZation;inPOlynOnliaICanfactoriZatiOnbased,SUmmedforSimPlealgorithmforPOlynOmialfactorization,giveanexampleforreference;andinthePraCtiCaIapplicationintofactorizationOfmeaningandPUrPOSe・

Keywords：

RatiOnaInumberfieldPOIynOmialfactoring

一、多项式的相关概念1

（一）一元多项式和一元多项式环的概念1

（二）多项式整除的概念2

二、有理数域上的多项式的可约性3

（一）有理数域与实数域和复数域的区别3

（二）多项式的可约性和因式分解的相关理念3

（三）本原多项式的基本内容4

1.本原多项式的槪念4

2.本原多项式的性质4

（四）判断多项式在有理数域上的可约性5

1.爱森斯坦（EiSentein）判别法5

2.布朗（BrOWn）判别法6

3.佩龙（PerrOn）判别法6

4.克罗内克（KrOneCker）判别法7

5.反证法7

6.有理法（利用有理根）8

7.利用因式分解唯一性定理8

8.综合分析法8

三、多项式的有理根及因式分解9

（一）求才艮法9

（二）待定系数法9

（三）重因式分离法10

（四）应用矩阵的初等行变换法10

（五）利用行列式的性质11

四、结论12

参考文献13

代数问题是方程问题，方程问题就是求解问题•低阶方程的求解具有一般的代数方法（一次到四次）3,而对于离次方程的求解关馋在于掌握多项式的因式分解.

因式分解是集分解变形为之意，综合应用以前所学的知识，是解决许多数学问题的有力工具.它是研究各种运算和代数的恒等变形，采用了大部分相同的变形技能和技巧，如常用的因子提取、公式化配方等•因此，因式分解不只是数学上的一个重点，也是一个难点.

在本文中，研究的有理数域上多项式的因式分解实际上是整系数多项式的分解.整系数多项式是一个无限集，如何判断它可约迄今为止还没有箱确和易操作的方法，所以文中针对这个难点进行研究讨论.

一、多项式的相关概念

（1）一元多项式和一元多项式环的概念

多项式是代数学中宜要的基铀知识，它不仅与高次方程有密切联系，在其他方向为学习代数知识也做了很好的铺垫，因此，我们必须清惡多项式的基本内容.

定义1设n是一非负整数，表达式

a∏×r,+a∏-ι×"~1÷∙,ao

其中a。

，aι,-an全属于数域P,称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式.⑸

多项式可以加-减、乘,例如：

（2×2-1）+（x'-2χ2+X+2）=X3+X+1

（2χ2-1）（x2-X+1）=2x4-2x3+2x2-X2+X-1

=X4-2x3+X2÷X-1

根据上述式子的计算，可以看出数域P上的两个多项式通过加、减、乘等运算后，其结果仍然是数域P上的多项式.

接下来，我们引入一个槪念.

定义2所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P∣x],P称为P[χ]的系数域•⑸

之后我们要讨论的有理数域上多项式的因式分解是在一个固定的数域P上的多项式环p[χ∣中进行的.

（二）多项式整除的概念

我们讨论过一元多项式可以容易地进行加、减.乘法运算，但是多项式之间的除法并不像其他运算那样可以普遍地做.因此整除运算就成为了两个多项式之间区别于其他运算更值得探讨的课题.

和鬲中代数一样，作为一种表达式，可以用一个多项式去除另一个多项式，求得商和余式，如:

设f（x）二3x3÷4x2-5x+6

g（x）=X2-3x÷1

于是，求得商为3x十13,余式为35-7,所得结果可以写成下列形式：

3x3+4x2-5χ+6=（3x413）（x2-3x÷1）+（31x-7）

定理1（带余除法）对于PlXl中任意两个多项式f（χ）和g（x）,其中g（x）≠0,—定有P[χ]中的多项式q（x）,r（x）存在，使

f（×）=q（×）g（×）÷r（x）

成立，并有r（x））<3（g（x））或r（x）=0,并且这样的q（x）,r（x）是唯一决定的.

证明（唯一性）

设另外有多项式q（x）fr∙（x）使

f（x）二q∙（x）g（x）+r∙（x）

成立，其中3（^（X））

q（x）g（x）+r（x）=q√x）g（x）+厂（x）

即

（q（x）-q（x））g（x）=r∙（x）-r（x）

如果q（x）≠q*（x）,就假设g（x）≠0,那么r（x）-r（x）≠0

即可得出

O（q（x）-q,（×））+5（g（x））=a（r*（x）-r（x））

又因为

Xg（X））>0（r>（x）-r（x））

所以上述式子不可能成立，这也证明了q（x）=q∙（x）,同时r（x）二r（x）

定义3数域P上的多项式q（x）通常称作g（x）整除f（x）,存在数域P上的多项式h（x）使等式f（x）=g（x）h（x）成立，我们用“g（x）lf（x）"表示g（x）整除f（x）,用rtg<χ）If（χ）"表示g（χ）不可以整除f（x）.当g（x）lf（x）时，g（x）就称为f（x）的因式,f（x）称为g（x）的倍式.

事实上，整除多项式原理使我们很轻松的了解多项式因式分解的原理.

二、有理数域上的多项式的可约性

（1）有理数域与实数域和复数域的区别

我们知道，有理数域，实数域和复数域的范围不同•为了能更好的分析有理数域上多项式的因式分解，我们要区分有理数域，实数域和复数域的概念，只有将单项涵义牢记于心，我们才能知道多项式在各个数域中需要分解到何种形式.这里先做简要介绍.

首先，有理数包括：

（1）整数：

正整数，负整数和0：

（2）分数：

正分数，负分数；（3）小数：

有限小数和无限循环小数4.所有有理数组成一个集合，即为有理数集•而有理数集是一个域，可以在其中进行四则运算（0作除数除外），用字母0表示.

其次，实数可以包含所有的轴点数董，直观的看作是有限小数和无限小数，是有理数和无理数的统称，用字母R表示.

再次，复数是写成如下形式日+bi的数，a和b是实数，i是虛数单位，是实数和虚数的统称，用字母C表示.

（2）多项式的可约性和因式分解的相关理念

定义4数域P上次数A1的多项式P（X）称为域P上的不可约多项式，如果它不能表成数域P上两个次数比P（X）的次数低的多项式的乘积.

定理2（因式分解及唯一性）数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以唯一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积.而唯一性是指，若有两个分解式

f（x）=Pl（X）P2（×）∙∙∙Ps（×）=q1（x）q2（Q…qt（x）

那么必有S=匕根据因式的次序适当排列得到

Pi（X）ZCiQi,i=1,2.∙∙∙,s

其中Ci（i=1,2,∙∙∙,s）属于非零常数.

多项式因式分解看似简单，实质蕴含了许多深奥的理论.多项式在不同数域上分解程皮是不同的，我们不应该想当然的提出多项式因式分解后，就说它已经不能再分，并完成了多项式分解•我们可以比较一下复数域、实数域和有理数域上多项式因式分解的差异.

如：

分别求多项式√t-4在复数域，实数域以及有理数域上的因式分解・

1在复数域上这个多项式的因式分解为（X+J刃（X-\②（X+√5i）（×-√5i）

2在实数域上这个多项式的因式分解为（x2+2）（x÷√5）（X-λ∕2）

3在有理数域上这个多项式的因式分解为（/+2）（x2-2）

从上述结果可以看出，对于一个多项式能否因式分解，不能单独考虑它是否满足因式分解的定理.我们具体情况具体分析，有理数域的多项式的因式分解比较困难.因为在有理数域上多少次的不可约多项式都存在，我们有时还认不出其究竟是否可约，所以研究非常麻烦•故而确定有理数域上多项式是否可约是麻烦的，掌握多项式因式分解不如想象中那么简单.

（3）本原多项式的基本内容

1.本原多项式的槪念

定义5设g（×）二bnχt1÷bn-1×n^1+…+bo是非零的整系数多项式，如若g（x）的系数b∏,bn-l,∙∙∙,bo互素，就称g（x）是本原多项式.

所以，任何一个非零的有理系数多项式f（x）都能表示为一个有理数r与一个本原多项式g（x）⅛0乘积.FPf（X）=rg（x）.

由此证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的，可以说•若f（x）Zrg（x）=ngl（X）,且r,"是有理数，g（x），S1W是本原多项式，那么必定有r=±r,g（x）=±gι（×）.

因为多项式f（x）和本原多项式g（x）只相差一个非零的常数倍，他们都有看相同的整除性质，因此f（x）的因式分解问題可以归结为本原多项式g（χ）的因式分解问题.所以我们可以讨论本原多项式的性质，之后考虑整系数多项式的因式分解问题.

2.本原多项式的性质

性质1（鬲斯（GUaSS）引理）设f（x）与g（x）为两个本原多项式，那么他们的乘积

h（x）=f（x）g（x）

也是本原多项式.

性质2设f（x）是非零整系数多项式，若f（x）分成为两个有理数域上的多项式g（x）与h（x）的乘枳,

a（g（χ））

那么f（x）定能分解成两个次数较低的整系数多项式乘积.

例1:

设f（x）,g（x）是两个整系数多项式，且g（x）是本原多项式.证明：

若f（x）=g（x）h（x）,且h（x）是有理数域上的多项式，那么h（x）—定是整系数多项式.

证明：

根据本原多项式的性质来证明，设

f（x）=afι（x）,h（x）=rh1（x）

其中*（x）,hι（x）都是本原多项式，a是整数，r是有理数•于是有

afι（x）≡rg（x）h1（x）

因为g（x）hl（×）是本原多项式•故r=±a,即r是一个整数，所以h（x）=rh1（x）是整系数多项式.

（4）判斷多项式在有理数域上的可约性

基于整系数多项式，我们需要判断它是否可约，这是我们讨论有理数域上多项式因式分解的重点，接下来列出一些判别整系数多项式不可约的方法.

1•爱森斯坦（Eisentein）判别法

定理3设f（x）=a0+aιx+…+aπxn,an≠O是一个整系数多项式，若找到一个素数p,使

⑴P与冇不可约：

（2）p与a“-ι,a∏-2,∙∙∙,acι是可约的：

⑶『与ao不可约，

那么多项式f（x）在有理数域上不可约.

证明：

如果

3o=-PlP2…PmaI=32≡∙∙∙≡an-1=0,anz1

可找到素数PI满足

ρ∣aχ（i=0,1,∙∙∙n-1）,m∣arvp*Ia（I

所以，根据爱森斯坦（EiSentein）判别法可知,f（x）在有理数域上不可约旺

特别注意的是，爱森斯坦判别法的条件只是充分条件，即满足三个条件的多项式不可约.

如：

多项式f（x}=2×π-5χ÷10,满足爱森斯坦判别法的三个条件，故而不可约•但并不是说所有不满足定狡要求的多项式都可约，因为有很多多项式不满足上述三个条件但却是不可约的，譬如/÷2.

当然，也有可约的多项式，如：

X2÷X-6不满足上述的三个条件，但却可以分解为

X2÷X-6=（X-2）（X-3）

有时，对于菜个多项式来说，爱森斯坦判别法不能直接应用，但我们可以把其适当变形.设日和b是两个有理数，且a≠0,整数系多项式f（x）在有理数域上不可约当且仅当f（ax+b〉在有理数域上不可约

例2:

证明f（x）=X6+X3+1在有理数域上不可约.

证明：

因为f（“的系数都是1,无法应用爱森斯坦判别法.

因此，我们令X=y+1并把其代入f（x},则多项式变为

（y+D6+（y+D3÷1=y6÷6y5+15y4+21y3+18y2+9y+3=g（y）

根損爱森斯坦判别法判别g（y）,取p=3,即证上式不可约，故而可知f（x〉=×6+x3+1在有理数域上不可约.

2•布朗（BrOWn）判别法

定理4设f（x）为n次整系数多项式，令

Sf（X）={∙∙∙,∣f（-I）Lf（O）IJf（I）I,.••}

其中Nl表示Sf（X）中1的个数，W表示Sf（X）质数的个数，令Np÷2N1>n+4j则f（x）在Q上不可约.

例3:

证明f（x）=2x3-X2+X-1在Q上不可约.

证明：

因为无法找到素数P来判斷f（x）满足爱森斯坦（EiSentein）判别法的条件，因此我们无法根据爱森斯坦（EiSentein）判别法来判别可约性.但是我们可以根据布朗（BrQWn）判别法判断多项式的可约性.

因此，我们可以得到:

f（0）=-1,f

（1）=1,f（-1）=-5,f（-2）=-23,f（3）=47∙∙∙

故而，％24,N（M2

所以得到NP+2NiE8>3+4

由此根摇布朗（BrOWrl）判别法可知，f（x）在有理数域上不可约.

3•佩龙（Perron）判别法

定理5设

f（x）=xn+an-Ixr"14∙∙∙a1χ+ao（ao≠OTa∣eZ,∣=0,1,∙∙∙,π-1）

是整系数多项式，若此系数满足Ian-Il>1÷Ian-2∣÷Ian-3∣+-IaIl+Iaol,则f（x）在有理数域上不可约.

例4:

证明f（x）=x5÷4x4+x2+1在有理数域上不可约.

证明：

因为无法找到素数P来判斷f（x）满足爱森斯坦（EiSentein）判别法的条件，因此我们不能用爱森斯坦（EiSentein）判别法，但是我们可以看出多项式f（x）满足佩龙（PerrOn）判别法的条件.

因此根据佩龙（PerrOn）判别法定理以及题目得出4>1÷1+1,所以该多项式在有理数域上不可约.

4.克罗内克（KrOneCker）判别法

定理6设

f（x）二anxr+an-ι×r~1÷…+a↑×+ao

是一个整系数多项式，可以在有理数域上将f（0分解成两个不可约多项式的乘积.

例5:

证明f（x）=X5+1在有理数域上不可约.

证明：

s=2<-,取a°二一Itaι二O,a2=1,则有f（-1）二O,f（0）=1,f

（1）=22

因此，f（-1）的因子为0,f（x）的因子为1,f（x）的因子为1,2

故令g（-1）=0,g（0）=1,g

（1）=1：

g（-1）=0,g（0）=1,g

（1）=2

应用插值多项式得

（X+D（X-D

SI（X）二°十（0÷1）（O^I）

（X+D（X-Dg2（X）=047δ+1）（0ς71）

由带余除法可知：

81（×）不能整除f（x）,g2（x）不能整除f（x）,从而得到f（x）在有理数域上不可约.

此方法是一个通过有限次数计算判定整系数多项式可以分解成若干个次数低的整系数多项式的方法引.然而，有大量的丈献资料显示，整系数多项式的因式分解过程中往往不釆用克罗内克方法®,因为对于工作量来说，克罗内克方法的使用非常大，通常选择使用其他的分解技巧实现.因此克罗内克方法只是一种理论上可行的方法，不能用于因式分解的实际操作，实用价值不大

5.反证法

上述判别法判别多项式在有理数域上的条件并不是所有题目都适用，因此，我们不确定不满足爱森斯坦判别法的多项式是不是可约的，或在无法找到满足判别法中的素数P时，我们选择反证法.

例6：

设P（X）是F（X）上一个次数大于零的多项式，如果对任意f（x）,都有g（y）∈F（x）,且P（X）If（χ）g（y）,并且P（X）If（χ）或者p（×）Ig（y）,那么P（X）不可约.

证明:

若P（X）可约，則有P（X）=P1（×）P2（×）,其中0<8（Pi（X））

令f（χ）=Pl（χ）>g（y）=P2（×）τ则P（X）If（x）g（y）

由题可得:

P（X）If（χ）或P（X）Ig（y）

则有0（P（X））>0（f（x））,0（p（x））>0（g（y））,与前面整除矛盾，故P（X）不可约.

6.有理法（利用有理根）

对于一些次数不超过三次的多项式，利用有理根方法进行判别会更简便，若没有有理根，则该多项式在有理数域上不可约.

例7：

判断f（x）=X3-5x+1在有理数域上是否可约

解：

假设f（x）可约.那么f（x）至少有一个一次因子，即有一个有理根.

但f（x）的有理根只可能是±1,因此带入验算得f（±1）≠0.说明该多项式没有有理根，因此f（x）在有理数域上不可约・

例8:

判断f（x}=X3-46x2+171x-127在有理数域上是否可约

解：

若f（x）可约必有有理根，而f（x）的有理根中只能是±1或±127.

因为f（±1）≠Otf（±127）≠0,所以f（x）无有理根，解得f（x）在有理数域上不可约.

7•利用因式分解唯一性定理

将有理数域看作实数域的一部分，多项式可以分解成几个实数域上的不可约因子.由于其不可约因式的系数不都是有理数，所以通过因式分解唯一性定理，则该多项式在有理数域上不可约.

例9:

证明J+1在有理数域上不可约・

解：

多项式/+1在实数域上分解为不可约因式的乘枳为

X4÷1=（x2+QX+1）（χ2-√5χ+1）

根据因式分解唯一性定理可知，如果/十1在有理数域上可约，应该为上述的分解形式，但上述不可约因式的系数不全为有理数，故而J+1在有理数域上不可约.

8•综合分析法

在多项式因式分解过程中，我们有吋不能只用一种方法判断其是否可约，因为有时靠一种方法并不能推斷出来，所以我们釆取综合分析法.

例10:

证明f（x）=X4÷4kx÷1（k是整数）在有理数域上是否可约

解：

f（X）的有理根只能是±1,且f（±1）≠0.

所以f（x）无一次因式，如若f（x）可约，只能是两个二次因式乘积。

令f（x）=（x2+ax+1）（x2÷bx÷1）,其中a,b为整数，則有

x4+4kx+1=x4+（a+b）x3+（2+ab）×L+（a+b）x+1

比较两端系数a+b=O,2÷ab=O,a÷b=4k,得到F二2.即a不可能是整数，这与理论上a应为整数矛盾•因此，f（x）不可约.

三、多项式的有理根及因式分解

在判斷多项式是否可约之后，我们就要借助于以下方法简单的对有理数域上的一元多项式进行因式分解了.

（1）求根法

设多项式f（X）=aπ×n+ar_ιxπ-1+∙∙∙÷aιx+ao是整系数多项式.

第一步，写出首项系数冇的全部因数Vi,i=1,2,…，s：

第二步，写出常数项ao的全部因数W,j=1,2,…，t;

第三步.用综合除法对Z试验，确定f（x）的根；

Vr

第四步,写出f（x）的标准分解式.⑹

例11:

求f（x）=4x4+7×3+IOx2+5x-2在有理数域上的因式分解.

解：

先把它变成求f（x）=4x4+7×3+IOx2+5x-2的有理根.

Vf（X）的常数项和首项系数的全部因数分别是±1,±2和±1,±2,±4；

则需要检脸的有理数为±