高中数学同步训练必修二.docx
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高中数学同步训练必修二
高中数学课程标准
（必修2）
在本模块中，学生将学习立体几何初步、平面解析几何初步。
操作确
几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学学科。
人们通常采用直观感知、认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质。
三维空间是人类生存的现实空间，认识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力、以及几何直观能力，是高中阶段数学必修系列课程的基本要求。
在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；能用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。
学生还将了解一些简单几何体的表面积与体积的计算方法。
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。
在本模块中，学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解空间直角坐标系。
体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。
内容与要求
1．立体几何初步（约18课时）
（1）空间几何体
1利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
2能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：
纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。
3通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
4完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。
5了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
（2）点、线、面之间的位置关系
1借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理：
♦公理1:
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
♦公理2:
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
♦公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
♦公理4:
平行于同一条直线的两条直线平行。
♦定理:
空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
2以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理:
♦平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
♦一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
♦一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
♦一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明:
♦一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
♦两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
♦垂直于同一个平面的两条直线平行。
♦两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
3能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
2．平面解析几何初步（约18课时）
（1）直线与方程
1在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
2理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
4
，体
根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）会斜截式与一次函数的关系。
5能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
6探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程
1回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
2能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
3能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
（4）空间直角坐标系
①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻
画点的位置。
②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。
说明与建议
1•立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空间想像能力。
本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，教师应提供丰富的实物模型或利用计算机软件呈现的空间几何体，帮助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图学习和理解，帮助学生运用平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上表示空间图形的方法和技能。
（参见例1）
2•几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言。
教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。
（参见例2）
3•立体几何初步的教学中，要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；对相应的判定定
理只要求直观感知、操作确认，在选修系列2中将用向量方法加以论证。
4•有条件的学校应在教学过程中恰当地使用现代信息技术展示空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形象的支持，提高学生的几何直观能力。
教师可以指导和帮助学生运用立体几何知识选择课题，进行探究。
5•在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的过程：
首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。
这种思想应贯穿平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。
参考案例
正视图
20cm
12cm
8c
m
y
16
俯视图
例1如图是一个奖杯的三视图，请你画出它的直观图，并求出这个奖杯的体积。
例2观察自己的教室，说出观察到的点、线、面之间的位置关系，并说明理由。
4cm
侧视图
数学（必修2）有效教学内容分解
第一章：
空间几何体
i空间几何体的结构
⑴常见的多面体有：
棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：
圆柱、圆锥、圆台、球。
⑵棱柱：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积
1公理1如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
2、公理2:
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
3、公理3:
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
4、公理4:
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
6、线线位置关系：
平行、相交、异面。
7、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。
8、面面位置关系：
平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
10、面面平行：
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
11、线面垂直：
⑴定义：
如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。
⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
第三章：
直线与方程
x2x1
2、直线方程:
⑵斜截式：
ykx
⑶两点式：
—一匕
y2yiX2xi
⑷一般式：
AxByC0
3、对于直线:
li:
ykixb,丨2：
yk?
xb?
有:
⑴l1〃l2
ki
k?
⑵li和丨2相交kik?
；
⑷lil2kik2i.
4、对于直线:
11
:
AxByCi
12:
A2xB2yC2
⑵li和l2相交AiB2A2Bi:
⑶li和l2重合AiB2A2Bi
BiC2B2G
第四章：
圆与方程
1、圆的方程：
⑴标准方程：
X
2a
.22
ybr
⑵一般方程：
2X
2
y
DxEyF0
2、两圆位置关系：
d
O1O2
⑴外离：
d
R
r；
⑵外切：
d
R
r；
⑶相交：
R
r
d
Rr；
⑷内切：
d
R
r；
⑸内含：
d
R
r.
3、空间中两点间距离公式:
RP2
2
Xi
y2
2
yi
Z2
2
Zi
高中数学同步训练＜01＞
＜必修2空间几何体的三视图和直观图＞
【基础训练】
•、空间几何体的三视图
1.画出正四棱锥的三视图
2.给出下列命题：
1如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；
2如果一个几何体的正视图和俯视图都是矩形，则这个几何体是长方体；
3如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几体体是长方形；
4如果一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台。
其中正确命题的序号是
二、空间几何体的直观图
1.画出水平放置的等腰梯形ABCD的直观图
3.已知△ABC的平面直观图△A'B'C'
是边长为
V32
732
-■62
A.a
B.a
C.
a
2
4
2
a的正三角形，那么原厶ABC的面积为（）
D.6a2
4.画出正六棱锥的直观图（底面边长为
3cm,侧棱长为5cm）
.画出正方体及以正方体各个面的中心为顶点的多面体。
【提高训练】
1•若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是（）
A.圆锥B.正四棱锥C.正三棱锥D.正三棱台
2.已知正四棱锥P—ABCD的侧棱长为2,3a,侧面等腰三角形的顶角为30°,则从点A出发环绕侧面
-周后回到A点的最短路程等于（）
A.2、、2aB.4aC.6aD.12.3a
3.水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的直观图是正三角形，则△ABC是（）
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.任意三角形
4.
45°,腰和上底为均1的等腰梯形，则这个平
一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为
面图形的面积是（）
12.2
A.B.1+-
222
5.利用斜二测画法得到
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形
③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形
A.①②B.①C.③④D.①②③④
6.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
7.长方形ABCD—AiBiCiDi中，AB=2,BC=3,AA1=5，则一只小虫从A点沿长方体的表面积爬到Ci
点的最短距离是
8•如图（i）直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2,正视图和俯视图如图（i）
（2）所示，则其侧视图的
面积为
9.画正五棱柱的直观图，使底面边长为
3cm,侧棱长为5cm。
高中数学同步训练＜02＞
＜必修2空间几何体的表面积和体积＞
【基础训练】
、图柱、圆锥、圆台的侧面积公式
几何体
侧面展开图
侧面积公式
关系
圆柱
圆锥
圆台
2•圆锥的表面积是9，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是
3•已知一个圆锥的底面半径为R高为H,在其中有一个高为h的内接圆柱。
（1）求圆柱的侧面积；
（2）若h变化，当h为何值时，圆柱的侧面积最大?
、柱体、锥体、台体的体积
1柱体、锥体、台体的体积公式及相互关系
6cm,则这个圆台的体积
8cm。
求它的侧面积和
2.圆台的两个底面半径分别是2cm和4cm,截得这个圆台的圆锥的高为
。
3.已知正四棱台的两底面均为正方形，边长分别为4cm、8cm，侧棱长为
体积？
三、球的体积与表面积:
1公式：
2.已知一个球内切于圆锥，求证：
它们的表面积之比等于它们的体积之比。
【提高训练】
1.若过球心的截面图的周长为C,则这个球的表面积是（）
222
A.C-B.C-C.C-D.2C2
42
2.
若圆锥的侧面积展开图是圆心角为120。
，半径为I的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积之比是（）
A.3:
2B
.3:
2
C
.3:
2D.
3:
2
3.若圆台上下底面半径分别是
1和
3,
它们的侧面积是两底面面积的
2倍，则圆台的母线长是（
）
A.2B
.2.5
C
.5D.
10
4.若圆锥的轴截面为正三角形，
则它的侧面积是底面积的（）
A...2倍B
.3倍
C
.2倍D.
5倍
的是（）
A.111B.丄
xyzy
8.
已知半球内有内接正方体，这个半球的表面积与正方形的表面积之比为
9.表面积为Q的多面体的每一个面都外切于体积为36的一个球，则这个多面体的体积为
10.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这
11.已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的中心角
为120°,底面圆的半径为1,则该圆锥的体积为
12.
3,全面积为88,
一个长方体的长、宽、高的比为2：
1：
则它的体积为，它的外接球的体积为.
高中数学同步训练<03>
<必修2平面的基本性质>【基础训练】一、判断确定平面的个数
1．不共面的四点可以确定的几个平面？
2．过一条直线和这条直线外不在同一直线上的三点，可以确定几个平面？
、共面问题：
一条直线与三条平行直线都相交，求证：
这四条直线共面
三、共线问题
已知在平面夕卜，AB=P,AC=R,BC=Q，如图,
求证：
P、Q、R三点共线
CG2
CD3
四、共点问题:
CF
已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且匕一
CB
求证：
三条直线EF、GH、AC交于一点。
【提高训练】
1.在空间中，下列命题不正确的是（）
A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C.若点A既在平面内，又在平面B内，则与B相交于b，且A在直线b上
D.任意两条直线都能确定一个平面
2.下列推理，错误的是（）
A.
A
l,A
B
l,B
l
B.
A
A
B
B
AB
C.
l
A
lA
D.
A、
B、C
A、
B、C
B,且AB、C不共线
与B重合
3.下列图形中不--定是平面图形的是（）
A•三角形B•菱形C•梯形D•四边相等的四边形
4•将一个西瓜切三刀，最多可切成a块，最少可切成b块，则a-b=<
5.空间三条直线a、b、c能确定的平面个数有。
6.已知a、b、c、d是不共点且两两相交的四条直线，求证：
a、b、c、d共面。
7.如图，在四面体ABCD中作截面PQR,PQ、CB的延长线交于M,RQ、DB的延长线交于N,RP、
DC的延长线交于K，求证:
M、N、K三点共线。
&如图，已知平面a、B，且a
AB、CD、l共点。
，求证:
高中数学同步训练＜04＞
＜必修2空间中直线与直线的位置关系＞
【基础训练】
「、异面直线的概念、表示、判定
1.判断正误：
1没有公共点的两条直线是异面直线（）
2分别在两个平面内的两条直线一定异面（）
3一个平面内的直线与这个平面外的直线一定异面（）
4分别与两条相交直线都相交的两条直线共面（）
5分别与两条异面直线都相交的两条直线异面（）
2.长方体ABCD—AiBiCiDi的所有棱中与直线BCi异面的有
3.证明：
过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不过该点的直线是异面直线
、公理4及应用如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,
求证：
EFGH是平行四边形
AB与DE所成角的余弦值。
三、异面直线的所成的角
1.如图，正方体ABCD-AiBiCiDi的棱长为a,那么
1直线BAi与CCi所成角的大小为
2直线BAi与BiC所成角的大小为
3直线AB与DDi所成角的大小为2.正四面体ABCD中，E为AC的中点，求异面直线
【提高训练】
3.空间四边形ABCD中，E、F、G
分别是ABBCCDDA的中点，若AC+BD=a,AC-BD=b,则
22
EF+EH=
4.给出下列命题:
1垂直于同一条直线的两条直线一定平行。
2空间中如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。
3如果a、b是异面直线，c//a，那么b与c一定是异面直线。
4若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。
5过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
6过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
7两条直线和第三条直线成等角，则这个两条直线平行
其中成立的是
5.
已知P为厶ABC所在平面外的一点，PC丄AB,PC=AB=2E、F分别为PA和BC的中点。
（1）求证：
EF与PC是异面直线
（2）求EF与PC所成的角
6.已知E、F分别是正方体ABCD-ABiCiDi的棱AiA和棱CiC上的点，且AE=CF。
求证：
四边形EBFD是平行四边形。
高中数学同步训练＜05＞
＜必修2直线、平面平行的判定及性质＞
【基础训练】
1.线面平行的判定及性质
S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证:
例1.如图，已知四棱锥S-ABCDABCD是平行四边形,
SA//平面MDB
例2•两个全等的正方形
ABCD和ABEF所在平面相交于
AB,MAC,NFB。
且AM=FN求证：
MIN/平
面BCE
例3.如图，平面
=a,bII,bII.求证：
bIIa
例4.如图，//,A、C,BD
，且A、BCD不共面，E、F分别是ABCD的中点。
求证：
EF//,EF//
提高训练】
1.下列命题中a、b、l
分别是表示直线，
表示平面，其中正确的命题有（
①若a/
b/
，则
a/b②若a/b,b/,则a/
③若a
b
且
a、b不相交，
则a/b
④若a
b
,a
b=A,l
且l与a、b均不相交，则
l/
A.0个
B
.1个
C.2个D.
3个
2.
若a、b是异面直线，过
b且与a平行的平面（
3.
A.不存在
．存在且只有一个C．
存在无数个D.只存在两个
列说法正确的是（
A.直线l
平行于平面
内的无数条直线，则
l//
a//
B.若直线
C.若直线
a/b,b
则a/
D.若直线
a/b,b
，直线a就平行于平面
内的无数条直线
4.给出下列5个命题：
①已知平面
、和直线
mn,右m
n,m/,n/,则/
②若平面
内任一直线都平行于平面
则/
③若平面
内无数直线都平行于平面
则/
④若直线
/，m，
则m/
⑤若直线l
/平面，直线
m,则
l/m
其中正确命题的个数是（
）
A.0
B.1
C
.2D.3
5.若空间四边形ABCD勺两条对角线ACBD的长分别是8、12,过AB的中点E且平行于BDAC的截面四
边形的周长为（）
A.10B.20C.8D.4
6.在三棱锥P-ABC中，PA=4,BC=6,则与PA、BC平行的截面四边形EFGH的周长I的取值范围
是.
7.分别在两个平行平面内的两个三角形。
（1）若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形
具有关系；
（2）若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有
关系。
8.P是ABC所在在平面外一点，A'、B'、C'分别是△PBC△PCA△PAB的重心，
（1）求证：
平面A'B'C'//平面ABC
（2）求ab，c：
S^abc
9.如图，已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长为2,点E、F分别是棱CC、BB上的点，点M是线段AC
10.
MB/平面AEF?
请给出证明。
上的动点，EC=2FB=2问：
当点M在何位置时,
高中数学同步训练＜6＞
＜必修2直线、平面垂直的判定和性质＞
【提高训练】
例1如图，PA垂直于矩形ABCD所在平面，过A作AELPB于E,过E作EF丄PC于F,
求证
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