数学案例2.docx

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数学案例2

七年级数学教案：

“实数”教学案例

　　①知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；

　　②学会比较两个实数的大小；

　　③了解在有理数范围内的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；在实数运算时，根据问题的要求取其近似值，转化为有理数进行计算；

　　通过学习“实数与数轴上的点的一一对应关系”，渗透“数形结合”的数学思想。

　　教学重点与难点

　　重点：

实数与数轴上的点一一对应关系。

　　难点：

对“实数与数轴上的点一一对应关系”的理解。

　　教学准备

　　教师：

直径为1cm的硬纸板的圆。

　　教学设计

教学过程

设计意图说明

试一试

　　我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点是否都表示有理数？

无理数可以用数轴上的点来表示吗？

　　①课件演示课本第175页探究题；学生动手操作，利用课前准备好的硬纸板的圆片在自己画好的数轴上实践体会。

　　②你能在数轴上画出坐标是2的点吗？

画一画，说说你的方法。

　　教师启发学生得出结论：

每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来。

　　练习：

学生自己完成课本第178页练习第1题。

　　在此基础上，教师引导学生进一步得出结论：

在数从有理数扩充到实数后，实数与数轴上的点是一一对应的。

即：

每一个实数都可以用数轴上的点来表示；数轴上的每一个点都表示一个实数。

　　类比在有理数范围内相反数、绝对值的几何意义，结合数轴，在实数范围内理解相反数、绝对值的几何意义。

　　③深入探讨：

平面直角坐标系中的点与有序实数对之间也存在着一一对应关系吗？

　　除了课件演示外再让学生动手实践操作的目的是让学生直观认识到可以用数轴上的点来表示无理数，而每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示，即无理数与数轴上的点之间的对应关系。

　　通过练习，让学生对于实数可以用数轴上的点表示，数轴上的一个点表示一个实数有了直观的认识，体会实数与数轴上的点之间的一一对应关系。

将数与图形联系起来，体会数形结合的思想。

　　教师在此环节中要留给学生充足的时间，让学生自己归纳和总结。

比一比

　　①问：

利用数轴，我们怎样比较两个有理数的大小？

　　在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大。

这个结论在实数范围内也成立。

　　②我们还有什么方法可以比较两个实数的大小吗？

　　两个正实数的绝对值较大的值也较大；两个负实数的绝对值大的值反而小；正数大于零，负数小于零，正数大于负数。

　　例1比较下列各组数里两个数的大小：

（1）

，1．4；

（2）－

，－

；（3）－2，

　　分析：

像例1

（1），即可以将

，1．4的大小比较转化为

，

的大小比较；也可以先求出

的近似值，再通过比较它们近似值（取近似值时，注意精确度要相同）的大小，从而比较它们的大小。

　　让学生回忆有理数范围内比较大小的方法，体会在实数范围内这些比较两个数大小的方法依旧成立。

　　通过例题，使学生掌握比较两数大小的方法。

算一算

　　问：

在数从有理数扩充到实数后，我们已经学过哪些运算？

　　答：

加、减、乘、除、乘方和开方运算。

　　接着问：

有哪些规定吗？

　　除法运算中除数不为0，而且只有正数及0可以进行开平方运算，任何一个实数都可以进行开立方运算。

　　问：

有理数满足哪些运算律？

　　加法交换律：

a+b＝b+a

　　加法结合律：

（a+b）+c＝a+（b+c）

　　乘法交换律：

ab＝ba

　　乘法结合律：

（ab）c＝a（bc）

　　分配律：

a（b+c）＝ab+ac

　　我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？

例2计算下列各式的值：

（1）

；

（2）

　　例3计算：

（1）

（精确到0．01）

（2）

（保留三个有效数字）

　　（3）

（保留三个有效数字）

　　（在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似的有限小数去代替无理数，再进行计算。

）

　　鼓励学生多举一些实际例子来验证。

其意义一是为了避免学生产生片面认识，以为从几个例子就可以得出普遍结论，二让学生了解结论的重要性。

　　例2与例3要求是不同的。

例2在运算中遇到无理数但并不需要求出结果的近似值，例3却不同，不仅在运算中遇到无理数且需要求出结果的近似值，在教学中应该提醒学生注意按照问题的要求解决问题。

课堂巩固

　　课本第178页练习第2、3题。

小结

布置作业

　　①必做题：

课本第179页习题10．3的第4、5、6、8题。

　　②选做题：

课本第179页习题10．3的第9题。

　　③备选题：

（1）若m表示一个实数，则－m表示一个（）

　　A．负数　B．正数　C．实数　D．非正数

（2）计算：

　　①求5的算术平方根与2的平方根之和（保留三个有效数字）；

　　②

（精确到0．01）；

　　③已知

，求ab的值。

　　④个钢球的体积是200cm3，求它的半径（π取3．14，结果保留三个有效数字）。

　　设计思想

　　本节课的教学设计中注重从学生已有的知识经验出发，如学生在有理数章节中已经学习了有理数可以用数轴上的点表示，所以在教学中充分发挥学生的主体意识，让学生主动参与学习活动，除了让学生看课件演示外，更通过让学生动手实验操作，感悟知识的生成、发展和变化，自己探索得到结论：

实数与数轴上的点的一一对应关系，从而培养学生自主探索的学习方法。

　　在“比一比”教学环节中，先让学生回忆有理数范围内数的大小的比较方法，体会在实数范围内这些比较两个数大小的方法依旧成立，在比较的过程中让学生体会一个很重要的数学思想：

转化思想。

　　在“算一算”教学环节中，先复习七年级上已经学习过的有理数范围内的运算律，然后提出一个富有启发性且具有探索意义的问题“我们如何知道运算律在实数范围内是否适用？

”

　　然后鼓励学生多举一些例子来验证，其意义一是为了避免学生产生片面认识，以为从几个例子就可以得出普遍结论，二让学生了解结论的重要性。

　　背景资料

　　中国古代科学家对π的研究

　　圆周率是一个极其驰名的数。

从有文字记载的历史开始，这个数就引起了外行人和学者们的兴趣。

作为一个非常重要的常数，圆周率最早是出于解决有关圆的计算问题而提出的。

几千年来古今中外一代一代的数学家为了求出它的尽量准确的近似值献出了自己的智慧和劳动。

德国数学史家康托曾说过：

“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展水平的指标。

”直到19世纪初，求圆周率的值仍然是数学中的头号难题。

　　在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传。

我国第一部《周髀算经》中，就记载有圆“周三径一”这一结论。

在我国，木工师傅有两句从古流传下来的口诀：

叫做：

“周三径一，方五斜七”，意思是说，直径为1的圆，周长大约是3，边长为5的正方形，对角线之长约为7。

这正反映了早期人们对圆周率π和

这两个无理数的粗略估计。

东汉时期官方还明文规定圆周率取3为计算面积的标准。

后人称之为“古率”。

东、西汉之交，新朝王莽令刘歆制造量的容器──律嘉量斛，刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率的值。

为此，大约也是通过做实验，得到一些关于圆周率的并不划一的近似值。

现在根据铭文推算，其计算值分别取为3．1547，3．1992，3．1498，3．2031比“径一周三”的古率已有所进步。

人类的这种探索的结果，当主要用来估计圆田面积时，对生产没有太大影响，但以此来制造器皿或其他计算就不合适了。

凭直观推测或实物度量，来计算π值的实验方法所得到的结果是相当粗略的。

在我国，首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率。

公元263年前后，刘徽提出著名的割圆术，得出π＝3．14，通常称为“徽率”，他指出这是不足近似值。

虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些，但其方法却有着较阿基米德方法更美妙之处。

割圆术仅用内接正多边形就确定出了圆周率的上、下界，比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多。

另外，有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法，以至于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均，竟然获得具有4位有效数字的圆周率π＝3927/1250＝3．1416。

而这一结果，正如刘徽本人指出的，如果通过割圆计算得出这个结果，需要割到3072边形。

这种精加工方法的效果是奇妙的。

这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分，令人遗憾的是，由于人们对它缺乏理解而被长期埋没了。

恐怕大家更加熟悉的是祖冲之所做出的贡献吧。

对此，《隋书·律历志》有如下记载：

“宋末，南徐州从事祖冲之更开密法。

以圆径一亿为丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。

密率：

圆径一百一十三，圆周三百五十五。

约率，圆径七，周二十二。

”这一记录指出，祖冲之关于圆周率的两大贡献。

其一是求得圆周率3．1415926＜π＜3．1415927；其二是，得到π的两个近似分数即：

约率为22／7；密率为355／113。

他算出的π的8位可靠数字，不但在当时是最精密的圆周率，而且保持世界纪录九百多年。

以至于有数学史家提议将这一结果命名为“祖率”。

这一结果是如何获得的呢？

追根溯源，正是基于对刘徽割圆术的继承与发展，祖冲之才能得到这一非凡的成果。

因而当我们称颂祖冲之的功绩时，不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故。

后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话，得到这一结果，需要算到圆内接正12288边形，才能得到这样精确度的值。

祖冲之是否还使用了其他的巧妙办法来简化计算呢？

这已经不得而知，因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了。

这在中国数学发展史上是一件极令人痛惜的事。

七年级数学（数轴）教学案例

赵庄中学唐秀娟

本节课主要是在学生学习了有理数概念的基础上，从标有刻度的温度计表示温度高低这一事例出发，引出数轴的画法和用数轴上的点表示数的方法，初步向学生渗透数形结合的数学思想，以使学生借助直观的图形来理解有理数的有关问题。

数轴不仅是学生学习相反数、绝对值等有理数知识的重要工具，还是以后学好不等式的解法、函数图象及其性质等内容的必要基础知识。

通过本节课的学习，使学生初步掌握用数轴解决问题的方法，为今后充分有效利用打下基础。

七年级学生的理解能力和思维特征是，他们的抽象想象能力不强，往往需要依赖直观形象的图形解决问题，而此时七年级学生刚刚学习有理数中的正负数，对正负数的概念理解还很不深刻，造成许多学生知识的遗忘。

为使课堂高效、生动、针对性强，我特将观察、思考、讨论贯穿于整个教学环节之中，采用启发式教学法和师生互动式教学模式，注意师生之间的情感交流，并教给学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法。

在教学中，积极利用板书和练习中的图形，向学生提供更多的活动机会和空间，使学生在动脑、动手、动口的过程中获得充足的体验和发展，从而培养学生的数形结合的思想。

【教学细节】

（一）、温故知新，激发情趣：

首先复习提问：

有理数包括那些数？

学生回答后让大家讨论：

你能找出用刻度表示这些数的实例吗？

学生会举出很多例子，但是由于温度计与数轴最为接近，它又是学生熟悉的带刻度的度量工具，所以在教学中我将用它来抽象概括为数轴这一数学模型，于是让学生观察一组温度计，并提问：

（1）零上5°C用5表示。

（2）零下15°C用-15表示。

（3）0°C用0表示。

然后让大家想一想：

能否与温度计类似，在一条直线上画上刻度，标出读数，用直线上的点表示正数、负数和0呢？

（答案是肯定的，从而引出课题：

数轴。

）

（这样设计，对刚刚学习有理数中的正负数，对正负数的概念理解还不是很深刻，容易造成知识遗忘的七年级学生来说是合理的。

结合实例使学生以轻松愉快的心情进入了本节课的学习，也使学生体会到数学来源于实践，同时对新知识的学习有了期待，为顺利完成教学任务作了思想上的准备。

）

（二）、得出定义，揭示内涵：

教师设问：

到底什么是数轴？

如何画数轴呢？

（1）画直线，取原点（这里说明在直线上任取一点作为原点，这点表示0，数轴画成水平位置是为了读、画方便，同时也为了有美的感觉。

）

（2）标正方向（这里说明我们在水平位置的数轴上规定从原点向右为正方向是习惯与方便所作，由于我们只能画出直线的一部分，因此标上箭头指明正方向，并表示无限延伸。

）

（3）选取单位长度，标数（这里说明任选适当的长度作为单位长度，标数时从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1、2、3…负数反之。

单位长度的长短，可根据实际情况而定，但同一单位长度所表示的量要相同。

）

（由于画数轴是本节课的教学重点，教师板书这三个步骤，给学生以示范。

）

画完数轴后教师引导学生讨论：

“怎样用数学语言来描述数轴？

”（通过教师的亲切的语言启发学生，以培养师生间的默契。

）通过讨论由师生共同得到数轴的定义：

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

（至此，我们将一个具体的事物“温度计”经过抽象而概括为一个数学概念“数轴”，使学生初步体验到一个从实践到理论的认识过程，完成了第一个教学目标：

使学生理解数轴的三要素，会画数轴。

）

（三）、手脑并用，深入理解：

1、让学生讨论：

给出图形哪些是数轴，哪些不是，为什么？

（负数次序不对、没有方向、没有原点、单位长度不统一）

给学生足够的观察、思考的时间然后展开充分的讨论，教师参与到学生的讨论之中去接触学生，认识学生，关注学生。

2、为进一步强化概念，在对数轴有了正确认识的基础上，请大家在练习本上画一个数轴（请三位同学画在黑板上），学生在画数轴时教师巡视并予以个别指导，关注学生的个体发展，画完后教师给出评价，如“很好”、“很规范”、“老师相信你，你一定行”等语言来激励学生，以促进学生的发展；并强调：

原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，画数轴时这三要素缺一不可。

（学生对数轴概念和数轴的三要素，学生不易理解，容易造成画图中掉三落四的现象，所以教学中教师应予以简单明白、深入浅出的分析。

而我设计以上两个练习的目的正是：

一、通过动手操作加深对概念的理解；二、动脑想，通过分析、判断正误来加深对正确概念的理解。

）

（四）、启发诱导，初步运用：

有了数轴以后，所有的有理数都可以表示在数轴上，那么反过来，数轴上的点是否只表示有理数呢？

（作为一个问题我让学生去思考，为后面实数的学习埋下伏笔，这里不再展开。

）

例在数轴上画出表示下列各数的点：

3.5，-1.5，0，6，-4

A点表示-4；B点表示-1.5；O点表示0；C点表示3.5；D点表示6．

利用黑板上的例题图形让学生来操作，教师提出要求：

1、要把点标在线上

2、要把数标在点的下方

这时，此题再拓展成说出几个有理数让学生去标点，好让更多的学生去展示自己，并进一步让学生从中感受已知有理数能用数轴上的点表示，从而加深对数形结合思想的理解。

（通过学生实际操作，可以加深对数轴的理解，进一步掌握用数轴上的点表示数的方法，同时激发学生的学习兴趣，调动学生的积极性，从而使学生真正成为教学的主体。

）

从上面的例子不难看出，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，又从正数和负数在数轴上的位置，可以知道：

（1）在数轴上表示的两数，右边的数总比左边的数大。

（2）正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

（3）比较大小时，用不等号顺次连接三个数要防止出现“”的写法，正确应写成“”。

（至此，已完成了第二个教学目标：

学生会用数轴上的点表示有理数；会利用数轴比较有理数的大小；并在这个学习过程中，初步了解数形结合的思想方法，培养了学生用联系的观点看待问题。

）

（五）、反馈矫正，注重参与：

（为巩固本节的教学重点，让学生独立完成：

）

1、课本22页练习1、2

2、课本22页3题的（给全体学生以示范性，让一个同学板书）

（为向学生进一步渗透数形结合的思想，让学生讨论：

）

3、数轴上的点P与表示有理数3的点A距离是2，

（1）试确定点P表示的有理数；

（2）将A向右移动2个单位到B点，点B表示的有理数是多少？

（3）再由B点向左移动9个单位到C点，则C点表示的有理数是多少？

（先让学生通过小组讨论得出结果，通过以上练习使学生在掌握知识的基础上达到灵活运用，形成一定的能力。

）

（六）、归纳小结，强化思想：

根据学生的特点，师生共同小结：

1、为了巩固本节课的教学重点提问:

你知道什么是数轴吗？

你会画数轴吗？

这节课你学会了用什么来表示有理数？

2、数轴上，会不会有两个点表示同一个有理数？

会不会有一个点表示两个不同的有理数？

（让学生牢固掌握一个有理数只对应数轴上的一个点，并能说出数轴上已知点所表示的有理数，它们之间不存在“一一对应”的关系，为以后学习实数打下基础。

）

【课堂效果】

小学里学生曾学过利用射线上的点来表示数，本节课学生在知识技能、情感态度和价值观上得到了新的发展：

1、数轴的概念：

数轴是一条具有三个要素（原点、正方向、单位长度）的直线，这三个要素是判断一条直线是不是数轴的根本依据。

数轴与它所在的位置无关，但为了教学上需要，一般水平放置的数轴，规定从原点向右为正方向。

要注意原点位置选择的任意性。

2、关于有理数与数轴上的点的对应关系，应该明确的是有理数可以用数轴上的点表示，但数轴上的点与有理数并不存在“一一对应”的关系。

根据几个有理数在数轴上所对应的点的相互位置关系，应该能够判断它们之间的大小关系。

通过点与有理数的对应关系及其应用，逐步渗透数形结合的思想，让学生知道数学来源于生活实践，培养学生用相互联系的方法解决问题的能力。

【教学评析】

有了数轴，数和形得到了初步结合，这有利于学生对数学问题的研究，数形结合是学生理解数学、学好数学的重要思想方法。

为了突出正确理解数轴的概念和有理数在数轴上的表示方法这个教学重点，突破建立有理数与数轴上的点的对应关系（数与形的结合）这个教学难点，在本节课的教学过程中，我始终注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主、探究、合作学习来主动发现结论，实现师生互动，通过这样的教学实践取得了良好的教学效果，学生在课堂上得到了新的发展。

从中，我认识到教师不仅要教给学生知识，更要培养学生良好的数学兴趣和数学素养，让学生学会学习，爱上学习，才能使自己真正。