ε0r4πε0rrra
3.12电场中有一半径为a的圆柱体,已知柱内外的电位函数分别为
r≤a⎧ϕ(r)=0
ϕ(r)=
1
ra
⎰
Ddr=
Ze
ra
⎰(
1
2
-
r
)dr=3
Ze
4πε0r
(
1
+
r
2
2ra
-
32ra
)
r>a时,E=-∇ϕ=-er
-erA(1+
a
22
∂∂r
[A(r-
a
2
r
)cosφ]-eφ
∂r∂φ
[A(r-
a
2
r
)cosφ]=
rr
(2)该圆柱体为等位体,所以是由导体制成的,其表面有电荷分布,电荷面密度为
)cosφ+eφA(1-
a
22
)sinφ
σ=ε0nE
r=a
=ε0erE
r=a
=-2ε0Acosφ
2
3.13验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足∇ϕ=0
(1)sin(kx)sin(ly)e-hz其中h2=k2+l2;
(2)rn[cos(nφ)+Asin(nφ)]圆柱坐标;(3)r-ncos(nφ)圆柱坐标;(4)rcosφ球坐标;(5)r-2cosφ球坐标。
解
(1)在直角坐标系中∇ϕ=而
∂ϕ∂x
2
2
∂ϕ∂x
2
2
+
2
∂ϕ∂y
2
2
+
∂ϕ∂z
2
2
-hz
2
2
==
∂∂
22
∂x∂y
[sin(kx)sin(ly)e[sin(kx)sin(ly)e
-hz
]=-ksin(kx)sin(ly)e]=-lsin(kx)sin(ly)e
2
∂ϕ∂y
22
2
-hz
-hz
2
∂ϕ∂z
2
=
∂
2
22
∂z
[sin(kx)sin(ly)e
2
2
2
-hz
]=hsin(kx)sin(ly)e
)lysien(=)
-hz
2-hz
n(故∇ϕ=(-k-l+h)sikx+∂ϕ∂z
22
(2)在圆柱坐标系中∇ϕ=
2
1∂r∂r
(r
∂ϕ∂r
)+
∂ϕr∂φ
2
2
2
而
1∂∂ϕ1∂∂n
(r)={rr[cos(nφ)+Asin(nφ)]}=n2rn-2[cos(nφ)+Asin(nφ)]r∂r∂rr∂r∂r
1∂ϕr∂φ
2
22
=-nr
2n-2
[cos(nφ)+Asin(nφ)]}
∂ϕ∂z
2
2
=
∂
22
∂z
r[cos(nφ)+Asin(nφ)]=0
2
-n
故∇ϕ=0
(3)
1∂r∂r
2
(r
2
∂ϕ∂r
)=
2
1∂r∂r
-n-2
{r
∂∂r
[r
-n
cos(nφ)]}=nr
2-n-2
cos(nφ)
1∂ϕr∂φ
2
=-nrcos(nφ)
∂ϕ∂z
2
2
=
∂
22
∂z
[r
-n
cos(nφ)]=0
故∇2ϕ=0
(4)在球坐标系中∇ϕ=
2
1∂r∂r
2
(r
2
∂ϕ∂r
2
)+
1
2
∂
rsinθ∂θ
2
(sinθ[r
∂ϕ∂θ
2
)+
1
2
2
∂ϕ
2
2
rsinθ∂φ
2r
而
1∂r∂r
1
2
(r
∂ϕ∂r
∂
)=
1∂r∂r
∂ϕ∂θ
2
∂∂r
2
(rcosθ)]=
1
∂
cosθ
∂∂θ
2
rsinθ∂θ
(sinθ)=
rsinθ∂θ1∂
2
[sinθ
(rcosθ)]=
2rcosθ
rsinθ∂θ2
1∂ϕ1∂
=2(rcosθ)=022222
rsinθ∂φrsinθ∂φ
2
(-rsinθ)=-
故∇2ϕ=0
(5)
1∂r∂r
1
2
2
(r
2
∂ϕ∂r
∂
)=
1∂r∂
∂ϕ∂θ
2
2∂
[rr∂
(rr
1
-2
2
cθos=2
∂[sinθ(-r
-2
r
(r
θcos
-2
rsinθ∂θ
(sinθ)=
∂∂θ
2
rsinθ∂θ
1∂
2
2
cosθ)]=
2r
4
rsinθ∂θ2
1∂ϕ1∂-2
=(rcosθ)=0222222
rsinθ∂φrsinθ∂φ
2
sinθ)=-
cosθ
故∇ϕ=0
3.14已知y>0的空间中没有电荷,下列几个函数中哪些是可能的电位的解?
(1)e-ycoshx;
(2)e-ycosx;(3
)e2
cosxsinx
22
(4)sinxsinysinz。
解
(1)
∂∂x
(e
-y
coshx)+
∂
22
∂y
(e
-y
coshx)+
∂
22
∂z
(e
-y
coshx)=2e-ycoshx≠0
所以函数e-ycoshx不是y>0空间中的电位的解;
(2)
∂
22
∂x
(e
-y
cosx)+
∂
22
∂y
(e
-y
cosx)+
∂
22
∂z
(e
-y
cosx)=-e-ycosx+e-ycosx=0
所以函数e-ycosx是y>0空间中可能的电位的解;
(3)
∂
22
∂x
(e
∂
cosxsixn+2
∂y
2
y
cxos
∂x+s2)∂z
2
y
(xco=sxsin)
-4e
cosxsinx+2e
cosxsinx≠0
2
所以函数e-
(4)
2y
cosxsinx不是y>0空间中的电位的解;
22
∂
∂x
(sinxsiynszi+n
2
∂y
∂
2
∂
x(sinysinz+2in
∂z
)xsin(ysin=zsin)
-3sinxsinysinz≠0
所以函数sinxsinysinz不是y>0空间中的电位的解。
3.15中心位于原点,边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为
P=P0(exx+eyy+ezz)。
(1)计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度;
(2)证明总的束缚
电荷为零。
P解
(1)ρP=-∇
σP(x=
L2
=3-P0
x=L)=nPL2
=exP
x=L2
=
L2
P0=LP0
σP(x=-
)=nP
x=-L2
=-exPL
2
3
x=-L同理σP(y=
L
L
)=σP(y=)=σPz(22
)=σPz(
2
2
LL-=P022
(2)qP=
τ
⎰
ρPdτ+
⎰σPdS=-3P0L+6L⨯
S
L2
P0=0
3.16一半径为R0的介质球,介电常数为εrε0,其内均匀分布自由电荷ρ,证明中心点的电位为
2εr+12εr
(
ρ
3ε0
)R0
2
⎰DdS=q,可得到解由
S
r2
4πr3
3
ρ
D1
=
即D1=
2
ρr3
,E1=4πR0
3
32
3
ρr
3εrε0
εrε0
r>R0时,4πrD2=
ρ
D1
=
即D2=故中心点的电位为
R0
∞
ρR0
3r
R0
,E2=
ρR03ε0r
32
ε0
3
ϕ(0)=
⎰
E1dr+
⎰
R0
E2dr=
⎰3ε
ρr
r
∞
ε0
dr+
⎰
R0
dr=ρR0+ρR0=2εr+1(ρ)R220
3ε0r6εrε03ε02εr3ε0
ρR0
22
介电常数为ε,球内的极化强度P=erKr,其中K为3.17一个半径为R的介质球,
一常数。
(1)计算束缚电荷体密度和面密度;
(2)计算自由电荷密度;(3)计算球内、外的电场和电位分布。
解
(1)介质球内的束缚电荷体密度为ρp=-∇P=-在r=R的球面上,束缚电荷面密度为σ
p
1d
2
=nP
r=R
rdr
K
=erPr=R=
R
(r
2
Kr
)=-
Kr
2
P
(2)由于D=ε0E+P,所以∇D=ε0∇E+∇
ε0ε∇D+∇P
即(1-
ε0
ε
由此可得到介质球内的自由电荷体密度为
εεεK
ρ=∇D=∇P=-ρp=2
ε-ε0ε-ε0(ε-ε)r0
)∇D=∇P
总的自由电荷量q=
⎰ρdτ=
τ
εKε-ε0
K
R
⎰r
1
2
4πrdr=
2
4πεRK
ε-ε0
(3)介质球内、外的电场强度分别为
E1=
P
ε-ε0
q
=er
(ε-ε0)r
(r(r>R)
E2=er
4πε0r
2
=er
εRKε0(ε-ε0)r
∞
2
介质球内、外的电位分别为
∞
R
1
ϕ1=
⎰Edl=⎰Edr+⎰E
rR
2
dr=
dr=
rR∞
⎰(ε-ε
r
K
)r0
dr+
⎰ε
R
εRK
(ε-ε0)r0
2
K(ε-ε0)
∞
ln
∞
Rr
+
εK
ε0(ε-ε0)
2
(r≤R)
εRKε0(ε-ε0)r
ϕ2=
⎰
r
E2dr=
⎰ε
r
εRK
(ε-ε0)r
dr=
(r≥R)
(2)导3.18
(1)证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度;
出束缚电荷密度ρP的表达式。
解
(1)由D=ε0E+P,得束缚电荷体密度为ρP=-∇P=-∇D+ε0∇E在介质内没有自由电荷密度时,∇D=0,则有ρP=ε0∇E
(εE)=ε∇E+Eε∇0由于D=εE,有∇D=∇=E∇ε
∇E=所以
ε
由此可见,当电介质不均匀时,∇E可能不为零,故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密度。
ε0
ρρ=ε∇E=-E∇ε
(2)束缚电荷密度P的表达式为P0
ε
3.19两种电介质的相对介电常数分别为εr1=2和εr2=3,其分界面为z=0平面。
如果已知介质1中的电场的
E1=ex2y-ey3x+ez(5+z)
那么对于介质2中的E2和D2,我们可得到什么结果?
能否求出介质2中任意点的E2和
D2?
解设在介质2中
E2(x,y,0)=exE2x(x,y,0)+eyE2y(x,y,0)+ezE2z(x,y,0)
D2=ε0εr2E2=3ε0E2
在z=0处,由ez⨯(E1-E2)=0和ez(D1-D2)=0,可得
⎧⎪ex2y-ey3x=exE2x(x,y,0)+eyE2y(x,y,0)
⎨
⎪⎩2⨯5ε0=3ε0E2z(x,y,0)
于是得到E2x(x,y,0=)
y2
E2y(x,y,0)=-3x
E2z(x,y,0)=103
故得到介质2中的E2和D2在z=0处的表达式分别为
E2(x,y,0)=ex2y-ey3x+ez(103)D2(x,y,0)=ε0(ex6y-ey9x+ez10)
不能求出介质2中任意点的E2和D2。
由于是非均匀场,介质中任意点的电场与边界
面上的电场是不相同的。
3.20电场中一半径为a、介电常数为ε的介质球,已知球内、外的电位函数分别为
ε-ε03cosθ
ϕ1=-E0rcosθ+aE0r≥a2
ε+2ε0r
ϕ2=-
3ε0
ε+2ε0
E0rcosθr≤a
验证球表面的边界条件,并计算球表面的束缚电荷密度。
解在球表面上
ε-ε03ε0
ϕ(a,θ)=-Eacosθ+aEcosθ=-E0acosθ100
ε+2ε0ε+2ε0
ϕ2(a,θ)=-
∂ϕ1∂r∂ϕ2∂r
r=ar=a
3ε0
ε+2ε0
E0acosθ2(ε-ε0)
E0cosθ=-
3ε
E0cosθ
=-E0cosθ-=-
3ε0
ε+2ε0ε+2ε0
ε+2ε0
E0cosθ
∂ϕ1∂r
r=a
故有ϕ1(a,θ)=ϕ2(a,θ),ε0
=ε
∂ϕ2∂r
r=a
可见ϕ1和ϕ2满足球表面上的边界条件。
球表面的束缚电荷密度为
σp=nP2
d2
r=a
=(ε-ε0)erE2=-(ε-ε0)
∂ϕ2∂r
r=a
=
3ε0(ε-ε0)
ε+2ε0
E0cosθ
3.21平行板电容器的长、宽分别为a和b,极板间距离为d。
电容器的一半厚度(0~
)用介电常数为ε的电介质填充,如题3.21图所示。
(1)
(1)板上外加电压U0,求板上的自由电荷面密度、束缚电荷;
(2)
(2)若已知板上的自由电荷总量为Q,求此时极板间电压和束缚电荷;(3)(3)求电容器的电容量。
解
(1)设介质中的电场为E=ezE,空气中的电场为E0=ezE0。
由D=D0,有
E0E0
又由于E
d2
E0
d2
U0
由以上两式解得
E
20U0(0)d
,E0
2U0(0)d
题3.21图
故下极板的自由电荷面密度为
20U0
下E
(0)d
20U0(0)d
上极板的自由电荷面密度为上0E0
电介质中的极化强度P(0)Eez
故下表面上的束缚电荷面密度为
20(0U)(0)d20(0U)(0)d
p下
ezP
上表面上的束缚电荷面密度为p上ezP
20(0U)(0)dQab
(2)由
20U(0)d
得到U
(0)dQ20ab
(0)Q
故
题
3.22图
ab(0)Q
p上
ab
20abQ
C(3)电容器的电容为
U(0)d
p下
3.22厚度为t、介电常数为40的无限大介质板,放置于均匀电场E0中,板与E0
成角