三角函数应用题练习及答案.docx
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三角函数应用题练习及答案
..
三角函数的应用题
第一阶梯
[例1]如图，AD∥BC，AC⊥BC，若AD=3，DC=5，且∠B=30°，求AB的长。
解：
∵∠DAC=90°
由勾股定理，有
222
CD=AD+AC
∵AD=3，DC=5
∴AC=4
∵∠B=30°
∴AB=2AC
∴AB=8
1
[例2]如图，△ABC中，∠B=90°，D是BC上一点，且
AD=DC，若tg∠DAC=4,
求tg∠BAD。
探索：
已知tg∠DAC是否在直角三角形中？
如果不在怎么办？
要求∠BAD
的正切值需要满足怎样的条件？
点拨：
由于已知中的tg∠DAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，
即可地D点作AC的垂线。
又要求∠BAD的正切值应已知Rt△BAD的三边长，或两条直角边
AB、BD的长，根据已知可知没有提
供边长的条件，所以要充分利用已知中的
tg∠DAC的条件。
由于
AD=DC，即∠C=∠DAC，这时也可
把正切值直接移到Rt△ABC中。
解答：
过D点作DE⊥AC于E，
tg
1
DAC
4
tg
DE
DAC
且
AE
设DE=k，则AE=4k
∵AD=DC,
∴∠DAC=∠C，AE=EC
∴AC=8k
tgC
AB1
∵BC4
设AB=m，BC=4m
由勾股定理，有
AB2+BC2=AC2
m817k
∴17
BC3217k
17
由勾股定理，有
222
CD=DE+EC
;..
CD17k
BD1517k
17
由正切定理，有
tgBAD
..
DB
AB
15
tgBAD.
[例3]如图，四边形ABCD中，∠D=90°，AD=3，DC=4，AB=13，BC=12，求sinB。
探索：
已知条件提供的图形是什么形？
其中∠D=90°，AD=3，DC=4，可提供什么知识？
求sinB应放在什么
图形中。
点拨：
因已知是四边形所以不能求解，由于有∠D=90°，AD=3，DC=4，这样可求AC=5，又因有AB=13，BC=12，
所以可证△ABC是Rt△，因此可求sinB。
解：
连结AC
∵∠D=90°
由勾股定理，有
222
AC=CD+CD
∵AD=3，CD=4，
∴AC=5
∵AB=13，BC=12
∴132=122+52
∴∠ACB=90°
由正弦定义，有
AC
sinB
AB
5
sinB
13
第二阶梯
[例1]如图，在河的对岸有水塔AB，今在C处测得塔顶A的仰角为30°，前进20米后到D处，又测得A的
仰角为45°，求塔高AB。
探索：
在河对岸的塔能否直接测得它的高度？
为什么在C、D两处测得仰角的含义是什
么？
怎样用CD的长？
点拨：
要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如
何利用两个仰角及CD长，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直
角三角形，且有∠ACB=30°，∠ADB=45°，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。
解：
根据仰角的定义，有
∠ACB=30°，∠ADB=45°
又AB⊥CB于B。
∴∠DAB=45°∴DB=AB
设AB=x
;..
..
由正切定义，有
AB
tgADB
DB
及tgACBAB.
CB
CDx（31）
CD20,
x（31）20
解得x10（
31）
即塔高AB
10（
3
1）
答：
塔高AB为10（
3
1）米。
第三阶梯
[例1]已知等腰三角形的顶点为
A，底边为a，求它的周长及面积。
探索：
在现在的已知条件下能否求得周长与面积？
如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为
a，
能否确定腰长及各个内角呢？
首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？
点拨：
由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。
设已知△ABC中，AB=AC，BC=a（如图）
解：
过A点作：
AD⊥BC竽D点，设∠BAD=α
∵AB=AC
a,BADCAD
∴BD=CD=2
根据正弦定义，有
sinBAD
BD
AB
a
a
即AB
2
sin
.
2sin
a
同理AC
2sin
a
∴AB+AC+BC=a+sin
由余切定义，有
ctgBAD
AD
DB
actg
∴AD=2
;..
..
SABC
1BCAD
∵
2
SABC
a2
ctg
∴
4
注意：
也可设∠BAC=α，则∠BAD=2。
[例2]有一块矩形纸片ABCD，若把它对折，B点落在AD上F处，如果DC=6cm，且∠DFC=2θ，∠ECB=θ，
求折痕CE长。
探索：
根据已知条件图形对折，B点落在F点的含义是什么？
它会有怎样的结论？
这时又可以形成什么图形关系？
另知DC的长能否求折痕呢？
又根据条件我们还可以确定什么？
这时又可形成怎样的问
题？
点拨：
由于F点的形成是因对折B点而形成的，因此可有△EBC≌△FEC，同时又可有△AEF∽△CDF。
根据已知条件∠DFC=2θ及∠ECB=θ，这时就可以形成与角有关的图形。
进而可求CE的长。
解：
根据已知条件，有
△EBC≌△FEC
∴EB=EF，BC=FC，∠ECB=∠ECF
∵∠CFD=2θ，且∠ECB=θ
∴∠ECF=θ
由余弦定义，有
cosADC
CD
CF
∵∠ADC=90°－2θ
CF
CD
sin2
∴
由余弦定义，有
cos
CF
FCE
CE
6
CE
sin2cos
[例3]如图6-5-5，某船向正东方向航行，在A处望见灯塔C在东北方向，前进到B处望见灯塔C在北偏西30°，
又航行了半小时，望见灯塔C恰在西北方向，若船速为每小时20海里，求A、D两点间的距离，（结果不取
近似值）
;..
..
图6-5-5
思路分析：
易知
ACD是等腰直角三角形，要求
AD，不能利用
ACD直接求得，由于
BD20
1
10,图形中再没有
2
其他的直角
三角形，必须构造直角三角形，作CE⊥AD于E，只要求出CE，就可能以求出
AD，借助两个直角三角形（BCE
和
DCE）中，BE、DE与BD的关系以及BE与CE之间的关系就可求CE。
[解]
作CE⊥AD，垂足为E，设CE=x海里∵∠CAD=∠CDA=90°-45°=45°，
∴CE=AE=DE=x。
在Rt
BCE中，∠CBE=90°-30°=60°，
∴
BE
3
CEcot60
x
3
由DE-BE=BD得，
x3x201，
32
解得x1553。
∴AD2x（30103）（海里）。
答：
A、D两点间的距离为（30103）海里。
第四阶梯
[例1]有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD，AB∥DC，斜坡AD的坡度i1=1:
1.2,斜坡BC的坡度i2=1:
0.8，大
坝顶宽DC为6米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE，EF∥DC，点E、F
分别在AD、BC的延长线上（如图6-5-6），当新大坝顶宽EF为3.8米时，大坝加高了几米？
;..
..
图6-5-6
思路分析：
本题实质上是梯形CDEF的有关计算问题，注意到大堤加高但坡度不变，即DE、CF的坡度公别为1:
1.2,1:
0.8,
又DC=6
米，EF=3.8米,要求大坝加高的高度,分别作FH⊥DC于G,FH⊥DC于H,利用RtDEG,RtCFH和矩形EFHG
可以求出新
大坝的高度.
[解]
作EG⊥DC,FH⊥DC,垂足分别为G,H,则四边形EFHG是矩形,GH=EF=3.8米.
设大坝加高x
米,则EG=FH=x米。
∵i=1:
1.2,i
=1:
0.8,
1
2
∴EG
1
FH
1.
DG
1.2
CH
0.8
∴DG
1.2x,CH
0.8x.
由DG+GH+CH=6，得1.2x+3.8+0.8=6.解得x=1.1
答：
大坝加高了1.1米。
[例2]如图6-5-7，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的
破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，
每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30°方向往
C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。
（1）该城市是否会受到这次台风的影响？
请说明理由。
（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
图6-5-7
思路分析：
（1）作AD⊥BC于D，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过（12-4）×20=160千米的范围
内，
;..
..
比较AD与160的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。
（2）当A点距台风中心不超过160千米时，将受到台风的影响，如图6-5-7，AE=AF=160千米，当台风中心
从E处移
到F处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出EF的长度，就可以计算出这次台风
影响该城
市的持续时间。
（3）显然当台风中心位于D处时，A市所受这次台风的风力最大。
[解]
（1）如图
6-5-7，由点A作AD⊥BC，垂足为D。
∵AB=220，∠B=30°，∴
AD
1AB110（千米）。
2
由题意，当A点距台风中心不超过
160千米时，将会受到台风的影响，由于
AD=110<160,所以A市会受
到这次台
风的影响.
（2）在BD及BD的延长线上分别取
E,F两点,使AE=AF=160千米.
由于当A点距台风中心不超过
160
千米时,将会受到台风的影响.
所以当台风中心从
E点移到F点时,该城市都会到这次台风的影响.
在Rt
ADE中,由勾股定理,得DE
AE2
AD2
1602
1102
305
∴EF
2DE
6015（千米）.
∵该台风中心以15千米/时的速度移动,∴这次台风影响该城市的持续时间
60
15
415（小时）.
15
（3）当台风中心位于D处时,A市所受这次台风的风力最大
110
6.5（级）
其最大风马牛不相及力为12
20
四、【课后练习】
A组
1．如图：
6-5-8，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽
AB=____。
2．如图6-5-9，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要
_______米（精确到
0.1米）
图6-5-8
图6-5-9
3．如图6-5-10，在高离铁塔
150米的A处，用测角仪测得塔顶的仰角为
30°，已知测角仪高AD=1.52米，则
塔高
BE=_______（精确到
0.1米）
;..
..
图6-5-10图
6-5-11
4．某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为60米，坡角为30°，则坝高为_______米。
5．升国旗时，某同学站地离旗杆底部24米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，
若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为_______米，（用含根号的式子表示）
6．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方面再向塔底前进a米，又测得塔尖的仰角为60°，
那么电视塔高为_______。
7．若太阳光线与地面成37°角，一棵树的影长为10m，则树高h的取值范围是（）
A．315
8．河堤的横断面如图6-5-11所示。
堤高BC是5米，迎水坡AB的长是13米。
那么斜坡AB的坡宽I是（）
A．1：
3B、1：
26C.1:
2.4D.1:
2
9.某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80°角。
房屋朝南的窗子高AB=1.8m,要在窗子外
面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内（如图：
6-5-12），那么挡光板AC的宽度至少
应为（）
图6-5-12
图6-5-13
A．1.8tan80°mB.1.8cos80°mC.
1.8
mD.1.8cot80
°m
sin80
10.如图6-5-13，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度
I=1：
2，则坝底AD的长为（
）
A．42米B
、（30+24
3）米C、78米D、（30+8
3）米
11、如图6-5-14
，两条宽度都为
1的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为
a,则它们重叠部分（图中阴影
部分）的面积为（
）
A．
1
B.
1
C.sinaD.1
sincos
;..
..
图6-5-14
12.
如图6-5-15，直升飞机在跨河大桥
AB的上方P点处，此时飞机离地面的高度
PO=450米，且A、B、O三点在
一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为
α=30°,β=45°，求大桥AB的长（精确到1米，供选的数据：
2
≈1.41,3≈1.73）.
13.
某型号飞机的机翼形状如图6-5-16
所示，其中AB∥CD，根据图中的数据计算
AC、BD和CD的长度。
（结果保
留根号）
14．如6-5-17，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽度为6米，坝高10米，斜坡AB的坡度是1：
2（AR：
BR），现要加高2米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长50米的大坝，需要多少土方？
15．如图6-5-18,已知C城市在B城市的正北方向，两城市相距100千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即
线段BC），经测量，森林保护区A在B城市的北偏东40°方向上，又在C城市的南偏东56°的方向上，已
知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50千米的圆，问：
计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？
为什么？
（已知tan40°=0.839,tan56°=1.483）
B组
1、1、知小山的高为h,为了测得小山顶上铁塔AB的高x,在平地上选择一点P，在P点处测得B点的仰角为α，
A点的仰角为β。
（见右表中测量目标图6-5-19）
（1）试用α、β和h的关系式表示铁塔高x;
（2）在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值”一列中α、β的数值；
（3）根据表中数据求出铁塔x的值。
（精确到0.01m）
2.如图6-5-20，某校的教室A位于工地O的正西方向，且OA=200米，一台拖拉机从O点出发，以每秒5米的速
度沿北偏西53°方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130米，试问教室A是否在拖拉机的噪声污染范围
内？
若不在，请说明理由；若在，求出教室A受污染的时间有几秒？
（已知sin53°≈0.80,sin37°≈0.60,tan37°≈0.75）
图6-5-20
C组
;..
..
1、已知△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CD=9，AB=20，求sinB。
2、已知水库大坝的横截面是梯形
ABCD，若BC∥AD，坝顶BC宽5米，坝高20米，斜坡AB的坡度之i=1∶2.5，
斜坡CD的坡度i=1∶2，求坝底AD及AB、CD长。
3、在Rt
ABC中，∠ACB=Rt∠,CD⊥AB于点D，AD＝4,sin
ACD
4,则CD＝＿＿＿＿＿，BC＝＿＿＿＿＿＿。
5
A组答案
1、34m
2、5.5
3、88.1米4.305.（8
3+1.5）
6.
3
3a米
2
7．B8
、C
9
、D10、C11
、A12、329米
13
、AC=36米，BD=6米，CD=（113
3）米
14、5000米3
3
15、过点
A作AD⊥BC，垂足为
D，在Rt△ADC中，CD=
AD
；在Rt△ABD中，BD=
AD
，依题意有
tan56
tan40
AD
AD
100tan56
tan40
，因为AD<50，所以计划修筑的这条高速公路
+
=100。
所以AD=
≈53.58
tan56
tan40
tan56
tan40
不会穿越森林保护区。
B组答案：
1．
（1）x=tan1h;
（2）α=29°18ˊ，β=35°59ˊ；（3）x≈30.88m
tan
2．作AB⊥OM于B，易知∠AOB=90°-53°=37°，所以AB=OA×sin∠AOB=OA×sin37°≈200×0.60=120（米）。
因
为120〈130，所以教室
A在噪声污染范围内，依题意，在
OM上取两点
C、D，连结AC、AD，使AC=AD=130
米。
在RtABC中，由勾股定理可得
BC=50米，所以CD=2BC=100米，
100=20（秒），教室A受噪声污染时
5
间为20秒。
C组答案：
20
x
1、易证△ABD∽△ABC，即
2
9
20
AB=BC·BD，设BD=x，则x
sinB
3
5
∴x=16，即BD=25，AC=15，∴
2、作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，∴AD=95米，AB≈53.9
米，CD≈44.7米。
3、3，
;..
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