相交线与平行线综合.docx

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相交线与平行线综合

2022相交线与平行线综合

1．（2021春•思明区校级月考）如图1，已AB∥CD，∠C＝∠A．

（1）求证：

AD∥BC；

（2）如图2，若点E是在平行线AB，CD内，AD右侧的任意一点，探究∠BAE，∠CDE，∠E之间的数量关系，并证明．

（3）如图3，若∠C＝90°，且点E在线段BC上，DF平分∠EDC，射线DF在∠EDC的内部，且交BC于点M，交AE延长线于点F，∠AED+∠AEC＝180°，

①直接写出∠AED与∠FDC的数量关系：

　　．

②点P在射线DA上，且满足∠DEP＝2∠F，∠DEA﹣∠PEA＝

∠DEB，补全图形后，求∠EPD的度数．

2．（2019春•荷塘区期末）如图，已知直线AB∥CD．

（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1＝30°，∠3＝75°，则∠2＝　　；

（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+

∠FGE＝54°时，求∠AEN的度数；

（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与∠H的数量关系，并说明理由．

3．（2018秋•雨花区校级期末）如图，已知，BC∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，试回答下列问题：

（1）如图1，求证：

OC∥AB；

（2）如图2，点E、F在线段BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC：

①若平行移动AB，当∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO；

②若平行移动AB，那么

的值是否随之发生变化？

若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．

4．（2019春•越秀区期末）如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．

（1）求证：

∠BAG＝∠BGA；

（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；

（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出

的值．

5．（2019春•高安市期中）如图①所示，已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：

（1）试说明：

OB∥AC；

（2）如图②，若点E、F在BC上，且∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；

（3）在

（2）的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：

∠OFB的比值是否随之发生变化？

若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（4）在（3）的条件下，当∠OEB＝∠OCA时，试求∠OCA的度数．

6．（2021春•江津区校级月考）如图①：

直线AB∥CD，点E是AB外一点，点M、N分别在直线AB、CD上，且60°＜∠CNM＜120°，连接ME．

（1）如图②，射线MF平分∠AME，G是MF的反向延长线上一点，连接NG、NE，试判断∠CNE、∠AMF和∠E三个角的相互关系，并证明你的结论；

（2）如图③，若∠AME＝60°，点P是线段EM上一动点（端点E、M除外），PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ∥NH，当点P在线段EM上运动时，∠JPQ的度数是否改变，若不变，求∠JPQ的度数；若改变，说明理由．

7．（2021秋•香坊区校级期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．

（1）如图1，当点G在点F右侧时，求证：

BD∥EF；

（2）如图2，当点G在点F左侧时，求证：

∠DGE＝∠BDG+∠FEG；

（3）如图3，在

（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，求∠B的度数．

8．（2021春•龙岗区校级期中）如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°，P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP，作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF，交直线AB于点G．

（1）若点P，F，G都在点E的右侧，求∠PCG的度数；

（2）在

（1）的条件下，若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数；

（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使

＝

？

若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．

9．（2021春•宜兴市月考）如图①，已知PQ∥MN，且∠BAM＝2∠BAN．

（1）填空：

∠PBA＝　　°；

（2）如图

（1）所示，射线AM绕点A开始顺时针旋转至AN便立即按原速度回转至AM位置，射线BP绕点B开始顺时针旋转至BQ便立即按原速度回转至BP位置．若AM转动的速度是每秒2度，BP转动的速度是每秒1度，若射线BP先转动30秒，射线AM才开始转动，在射线BP到达BQ之前，射线AM转动几秒，两射线互相平行？

（3）如图

（2），若两射线分别绕点A，B顺时针方向同时转动，速度同题

（2），在射线AM到达AN之前，若两射线交于点C，过C作∠ACD交PQ于点D，且∠ACD＝120°，则在转动过程中，请探究∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？

若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

10．（2021春•西城区校级期末）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一个探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图1，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/s，灯B转动的速度是1°/s，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN＝45°．

（1）若灯B射线先转动20s，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒时，两灯的光束互相平行？

（2）如图2，两灯同时转动，在灯A射线到达AN之前．若A射出的光束与B射出的光束交于点C，过C作CD⊥AC交PQ于点D，则在转动过程中，∠BAC与∠BCD的数量关系是否发生变化？

若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．

2022相交线与平行线综合

参考答案与试题解析

1．（2021春•思明区校级月考）如图1，已AB∥CD，∠C＝∠A．

（1）求证：

AD∥BC；

（2）如图2，若点E是在平行线AB，CD内，AD右侧的任意一点，探究∠BAE，∠CDE，∠E之间的数量关系，并证明．

（3）如图3，若∠C＝90°，且点E在线段BC上，DF平分∠EDC，射线DF在∠EDC的内部，且交BC于点M，交AE延长线于点F，∠AED+∠AEC＝180°，

①直接写出∠AED与∠FDC的数量关系：

　∠AED﹣∠FDC＝45°　．

②点P在射线DA上，且满足∠DEP＝2∠F，∠DEA﹣∠PEA＝

∠DEB，补全图形后，求∠EPD的度数．

【分析】

（1）根据平行线的性质及判定可得结论；

（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得AB∥CD∥EF，然后由两直线平行内错角相等可得结论；

（3）①根据∠AED+∠AEC＝180°，∠AED+∠DEC+∠AEB＝180°，DF平分∠EDC，可得出2∠AED+（90°﹣2∠FDC）＝180°，即可导出角的关系；

②先根据∠AED＝∠F+∠FDE，∠AED﹣∠FDC＝45°得出∠DEP＝2∠F＝90°，再根据∠DEA﹣∠PEA＝

∠DEB，求出∠AED＝50°，即可得出∠EPD的度数．

【解答】

（1）证明：

AB∥CD，

∴∠A+∠D＝180°，

∵∠C＝∠A，

∴∠C+∠D＝180°，

∴AD∥BC；

（2）∠BAE+∠CDE＝∠AED，理由如下：

如图2，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD

∴AB∥CD∥EF

∴∠BAE＝∠AEF，∠CDE＝∠DEF，∠BAD+∠CDA＝180°

即∠BAE+∠EAD+∠CDE+∠DEF＝180°

∴∠BAE+∠CDE＝∠AED；

（3）①∠AED﹣∠FDC＝45°；

∵∠AED+∠AEC＝180°，∠AED+∠DEC+∠AEB＝180°，

∴∠AEC＝∠DEC+∠AEB，

∴∠AED＝∠AEB，∠DEC＝90°﹣2∠FDC，

∴2∠AED+（90°﹣2∠FDC）＝180°，

∴∠AED﹣∠FDC＝45°，

故答案为：

∠AED﹣∠FDC＝45°；

②如图3，

∵∠AED＝∠F+∠FDE，∠AED﹣∠FDC＝45°，

∴∠F＝45°，

∴∠DEP＝2∠F＝90°，

∵∠DEA﹣∠PEA＝

∠DEB＝

∠DEA，

∴∠PEA＝

∠AED，

∴∠DEP＝∠PEA+∠AED＝

∠AED＝90°，

∴∠AED＝70°，

∵∠AED+∠AEC＝180°，

∴∠DEC+2∠AED＝180°，

∴∠DEC＝40°，

∵AD∥BC，

∴∠ADE＝∠DEC＝40°，

在△PDE中，∠EPD＝180°﹣∠DEP﹣∠AED＝50°，

即∠EPD＝50°．

【点评】本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知识点是解题的关键．

2．（2019春•荷塘区期末）如图，已知直线AB∥CD．

（1）在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若∠1＝30°，∠3＝75°，则∠2＝　45°　；

（2）如图2，若FN平分∠CFG，延长GE交FN于点M，EM平分∠AEN，当∠N+

∠FGE＝54°时，求∠AEN的度数；

（3）如图3，直线MF平分∠CFG，直线NE平分∠AEG相交于点H，试猜想∠G与∠H的数量关系，并说明理由．

【分析】

（1）过G作GH∥AB，依据AB∥CD∥GH，即可得到∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，进而得出∠2的度数；

（2）过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠AEN的度数；

（3）过H作HP∥CD，过G作GQ∥AB，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠G与∠H的数量关系．

【解答】解：

（1）如图1所示，过G作GH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥CD∥GH，

∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，

∴∠1+∠2＝∠EGF，即30°+∠2＝75°，

∴∠2＝45°，

故答案为：

45°；

（2）∵FN平分∠CFG，EM平分∠AEN，

∴可设∠AEM＝∠NEM＝α，∠CFN＝∠GFN＝β，

如图2所示，过G作GP∥CD，过N作NQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴NQ∥AB∥CD∥PG，

∴∠QNF＝∠CFN＝β，∠QNE＝∠AEN＝2α，∠PGE＝∠AEM＝α，∠PGF＝∠DFG＝180°﹣2β，

∴∠FNE＝∠QNF﹣∠QNE＝β﹣2α，∠FGE＝∠PGE+∠PGF＝α+180°﹣2β，

又∵∠FNE+

∠FGE＝54°，

∴β﹣2α+

（α+180°﹣2β）＝54°，

∴α＝24°，

∴∠AEN＝2α＝48°；

（3）猜想：

∠G＝2∠H．理由：

∵MF平分∠CFG，NE平分∠AEG，

∴可设∠AEN＝∠NEG＝α，∠CFM＝∠GFM＝β，

如图3所示，过H作HP∥CD，过G作GQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴GQ∥AB∥CD∥PH，

∴∠QGE＝∠AEG＝2α，∠QGF＝∠CFG＝2β，∠PHM＝∠CFM＝β，∠PHN＝∠AEN＝α，

∴∠EGF＝∠QGE﹣∠QGF＝2α﹣2β，∠EHF＝∠PHN﹣∠PHM＝α﹣β，

∴∠EGF＝2∠EHF．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角或同位角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算．

3．（2018秋•雨花区校级期末）如图，已知，BC∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，试回答下列问题：

（1）如图1，求证：

OC∥AB；

（2）如图2，点E、F在线段BC上，且满足∠EOB＝∠AOB，并且OF平分∠BOC：

①若平行移动AB，当∠BOC＝6∠EOF时，求∠ABO；

②若平行移动AB，那么

的值是否随之发生变化？

若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．

【分析】

（1）只要证明∠COA+∠OAB＝180°即可；

（2）①分两种情形分别求解即可；

②根据平行线的性质即可得到结论．

【解答】

（1）证明：

∵BC∥OA，

∴∠C+∠COA＝180°，∠BAO+∠ABC＝180°，

∵∠C＝∠BAO＝100°，

∴∠COA＝∠ABC＝80°，

∴∠COA+∠OAB＝180°，

∴OC∥AB；

（2）①如图②中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝4x，

∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，

∴4x+6x+100°＝180°，

∴x＝8°，

∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝48°．

如图③中，设∠EOF＝x，则∠BOC＝6x，∠BOF＝3x，∠BOE＝∠AOB＝2x，

∵∠AOB+∠BOC+∠OCB＝180°，

∴2x+6x+100°＝180°，

∴x＝10°，

∴∠ABO＝∠BOC＝6x＝60°．

综上所述，满足条件的∠ABO为48°或60°；

②∵BC∥OA，∠C＝100°，

∴∠AOC＝80°，

∵∠EOB＝∠AOB，

∴∠COE＝80°﹣2∠AOB，

∵OC∥AB，

∴∠BOC＝∠ABO，

∴∠AOB＝80°﹣∠ABO，

∴∠COE＝80°﹣2∠AOB＝80°﹣2（80°﹣∠ABO）＝2∠ABO﹣80°，

∴

＝

＝2，

∴平行移动AB，

的值不发生变化．

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

4．（2019春•越秀区期末）如图1，AD∥BC，∠BAD的平分线交BC于点G，∠BCD＝90°．

（1）求证：

∠BAG＝∠BGA；

（2）如图2，若∠ABG＝50°，∠BCD的平分线交AD于点E、交射线GA于点F．求∠AFC的度数；

（3）如图3，线段AG上有一点P，满足∠ABP＝3∠PBG，过点C作CH∥AG．若在直线AG上取一点M，使∠PBM＝∠DCH，请直接写出

的值．

【分析】

（1）根据平行线的性质与角平分线即可证明．

（2）先根据直角的平分线得：

∠GCF＝45°，由平行线的性质得：

∠AEF＝∠GCF＝45°，∠DAB＝180°﹣50°＝130°，最后根据外角的性质可得∠AFC的度数；

（3）有两种情况：

①当M在BP的下方时，如图5，设∠ABC＝4x，先根据已知计算∠ABP＝3x，∠PBG＝x，根据平行线的性质得：

∠BCH＝∠AGB＝

＝90﹣2x，根据角的和与差计算∠ABM，∠GBM的度数，可得结论；

②当M在BP的上方时，如图6，同理可得结论．

【解答】

（1）证明：

∵AD∥BC，

∴∠GAD＝∠BGA，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG＝∠GAD，

∴∠BAG＝∠BGA；

（2）解：

∵CF平分∠BCD，∠BCD＝90°，

∴∠GCF＝45°，

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝∠GCF＝45°，

∵∠ABC＝50°，

∴∠DAB＝180°﹣50°＝130°，

∵AG平分∠BAD，

∴∠BAG＝∠GAD＝65°，

∴∠AFC＝65°﹣45°＝20°；

（3）解：

有两种情况：

①当M在BP的下方时，如图5，

设∠ABC＝4x，

∵∠ABP＝3∠PBG，

∴∠ABP＝3x，∠PBG＝x，

∵AG∥CH，

∴∠BCH＝∠AGB＝

＝90﹣2x，

∵∠BCD＝90°，

∴∠DCH＝∠PBM＝90°﹣（90﹣2x）＝2x，

∴∠ABM＝∠ABP+∠PBM＝3x+2x＝5x，

∠GBM＝2x﹣x＝x，

∴∠ABM：

∠GBM＝5x：

x＝5；

②当M在BP的上方时，如图6，

同理得：

∠ABM＝∠ABP﹣∠PBM＝3x﹣2x＝x，

∠GBM＝2x+x＝3x，

∴∠ABM：

∠GBM＝x：

3x＝

．

综上，

的值是5或

．

【点评】本题主要考查了角平分线的定义、三角形外角的性质、平行线的判定与性质及角的和与差，注意分类讨论思想的运用，本题容易丢解，要注意审题．

5．（2019春•高安市期中）如图①所示，已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝100°，试回答下列问题：

（1）试说明：

OB∥AC；

（2）如图②，若点E、F在BC上，且∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF．试求∠EOC的度数；

（3）在

（2）的条件下，若左右平行移动AC，如图③，那么∠OCB：

∠OFB的比值是否随之发生变化？

若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值；

（4）在（3）的条件下，当∠OEB＝∠OCA时，试求∠OCA的度数．

【分析】

（1）由同旁内角互补，两直线平行证明．

（2）由∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF得到∠EOC＝∠EOF+∠FOCP＝

（∠BOF+∠FOA）＝

∠BOA，算出结果．

（3）先得出结论，再证明．

（4）由

（2）（3）的结论可得．

【解答】解：

（1）∵BC∥OA，

∴∠B+∠O＝180°，

又∵∠B＝∠A，

∴∠A+∠O＝180°，

∴OB∥AC；

（2）∵∠B+∠BOA＝180°，∠B＝100°，

∴∠BOA＝80°，

∵OE平分∠BOF，

∴∠BOE＝∠EOF，

又∵∠FOC＝∠AOC，

∴∠EOF+∠FOC＝（∠BOF+∠FOA）＝∠BOA＝40°；

（3）结论：

∠OCB：

∠OFB的值不发生变化．

理由为：

∵BC∥OA，

∴∠FCO＝∠COA，

又∵∠FOC＝∠AOC，

∴∠FOC＝∠FCO，

∴∠OFB＝∠FOC+∠FCO＝2∠OCB，

∴∠OCB：

∠OFB＝1：

2；

（4）由

（1）知：

OB∥AC，

则∠OCA＝∠BOC，

由

（2）可以设：

∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β，

则∠OCA＝∠BOC＝2α+β，

∠OEB＝∠EOC+∠ECO＝α+β+β＝α+2β，

∵∠OEC＝∠OCA，

∴2α+β＝α+2β，

∴α＝β，

∵∠AOB＝80°，

∴α＝β＝20°，

∴∠OCA＝2α+β＝40°+20°＝60°．

【点评】本题考查平移和平行线的性质的有关知识．平移的基本性质是：

①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

6．（2021春•江津区校级月考）如图①：

直线AB∥CD，点E是AB外一点，点M、N分别在直线AB、CD上，且60°＜∠CNM＜120°，连接ME．

（1）如图②，射线MF平分∠AME，G是MF的反向延长线上一点，连接NG、NE，试判断∠CNE、∠AMF和∠E三个角的相互关系，并证明你的结论；

（2）如图③，若∠AME＝60°，点P是线段EM上一动点（端点E、M除外），PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，交AB于点H，PJ∥NH，当点P在线段EM上运动时，∠JPQ的度数是否改变，若不变，求∠JPQ的度数；若改变，说明理由．

【分析】

（1）设AB与NE相交于点H，根据平行线的性质和角平分线、三角形外角定理即可求解；

（2）根据PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，可得出∠JPN﹣

∠MPN，再根据平行线的性质和三角形外角性质定理求解即可．

【解答】解：

（1）设AB与NE相交于点H，

∵AB∥CD，

∴∠CNE＝∠AHE，

∵MF平分∠AME，

∴∠AMF＝∠EMF，

∴∠AHE＝∠E+∠AME＝∠E+2∠AMF，

∴∠CNE＝2∠AMF+∠E．

（2）设AB与NE相交于点O，

∵PJ∥NH，NH平分∠PNC，

∴∠JPN＝∠ANP＝

∠PNC，

∵PQ平分∠MPN，NH平分∠PNC，

∴∠JPQ＝∠JPN﹣

∠MPN

＝

∠PNC﹣

∠MPN，

∵AB∥CD，

∴∠PNC＝∠AOP，

∴∠JPQ＝

（∠AOP﹣∠MPN）

＝

∠AMP

＝

∠AME，

∵∠AME＝60°，

∴∠JPQ＝30°．

【点评】本题考查的是平行线的性质，涉及到三角形外角的性质、角平分线的定义及三角形的内角和定理，熟记有关定理、定义是解题的关键．

7．（2021秋•香坊区校级期中）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．

（1）如图1，当点G在点F右侧时，求证：

BD∥EF；

（2）如图2，当点G在点F左侧时，求证：

∠DGE＝∠BDG+∠FEG；

（3）如图3，在

（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，求∠B的度数．

【分析】

（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；

（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用

（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；

（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．

【解答】证明：

（1）∵DG平分∠BDE，

∴∠BDG＝∠ADG．

又∵∠BDG＝∠BGD，

∴∠ADG＝∠DGB．

∴AD∥BC．

∴∠DEF＝∠EFG．

∵∠DBF＝∠DEF，

∴∠DBF＝∠EFG．

∴BD∥EF．

（2）过点G作GH∥BD，交AD于点H，如图，

∵BD∥EF，

∴GH∥EF．

∴∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，

∵∠DGE＝∠DGH+∠HGE，

∴∠DGE＝∠BDG+∠FEG．

（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，

则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．

∴∠PDM＝180°﹣α．

∵DN平分∠PDM

∴

．

∴

．

∴∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°﹣

﹣α＝90°﹣

．

∵DG⊥ON，

∴∠DNG＝90°．

∴

．

∵DE∥BF，

∴∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．

∵∠B﹣∠DNG＝∠EDN，

∴

，

解得：

α＝30°．

∴∠B＝180°﹣4α＝60°．

【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的意义，利用平行线的性质和角平分线的定义得出角度的关系式是解题的关键．

8．（2021春•龙岗区校级期中）如图，已知直线AB∥射线CD，∠CEB＝100°，P是射线EB上一动点，过点P作PQ∥EC交射线CD于点Q，连接CP，作∠PCF＝∠PCQ，交直线AB于点F，CG平分∠ECF，交直线AB于点G．

（1）若点P，F，G都在点E的右侧，求∠PCG的度数；

（2）在

（1）的条件下，若∠EGC﹣∠ECG＝40°，求∠CPQ的度数；

（3）在点P的运动过程中，是否存在这样的情形，使

＝

？

若存在，求出∠CPQ的度数；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠PCG的度数；

（2）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠ECG＝∠GCF＝20°，再根据PQ∥CE，即可得出∠CPQ＝∠ECP＝60°；

（3）设∠EGC＝3x，∠EFC＝2x，则∠GCF＝3x﹣2x＝x，分两种情况讨论：

①当点G、F在点E的右侧时，②当点G、F在点E的左侧时，依据等量关系列方程求解即可．

【解答】解：

（1）∵∠CEB＝100°，AB∥