概率论解析答案.docx
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概率论解析答案
概率论解析答案
【篇一：
概率论习题解答（苏敏邦）】
=txt>苏敏邦
目录
习题1..........................................................................................................3习题2........................................................................................................11习题3........................................................................................................17习题4........................................................................................................23习题5........................................................................................................29
习题1
1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件a=“一个数是另一个数的2倍”，b=“两个数组成既约分数”中的样本点。
解?
={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4}）；
a={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）；b={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）}
2.在数学系学生中任选一名学生．设事件a＝{选出的学生是男生}，b＝{选出的学生是三年级学生}，c＝{选出的学生是科普队的}．
（1）叙述事件的含义．
（2）在什么条件下，abc＝c成立？
（3）在什么条件下，c?
b成立？
解
（1）事件的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员．
（2）由于abc?
c，故abc＝c当且仅当c?
abc．这又当且仅当c?
ab，即科普队员都是三年级的男生．
（3）当科普队员全是三年级学生时，c是b的子事件，即c?
b成立．3.将下列事件用a，b，c表示出来：
（1）只有c发生；
（2）a发生而b，c都不发生；（3）三个事件都不发生；
（4）三个事件至少有一个不发生；（5）三个事件至少有二个不发生；（6）三个事件恰有二个不发生；（7）三个事件至多有二个发生；（8）三个事件中不少于一个发生。
解
（1）abc；
（2）abc：
（3）abc（4）a?
b?
c；（5）ab?
bc?
ac；（6）（7）abc；（8）a?
b?
c。
abc?
abc?
abc；
4.设a，b，c是三个随机事件，且p（a）?
p（b）?
p（c）?
14
p（ab）?
p（cb）?
0，
p（ac）?
1
求a，b，c中至少有一个发生的概率．8
解设d＝{a，b，c中至少有一个发生}，则d＝a＋b＋c，于是p（d）＝p（a＋b＋c）
＝p（a）＋p（b）＋p（c）－p（ab）－p（bc）－p（ac）＋p（abc）．又因为
p（a）?
p（b）?
p（c）?
11,p（ab）?
p（cb）?
0,p（ac）?
84
而由p（ab）＝0，有p（abc）＝0，所以
p（d）?
315?
?
?
488
5.掷两枚匀称的硬币，求它们都是正面的概率．
于是，根据古典概型，对于（Ⅰ）来说，由于两个都出现正面，即同面出现，因此，m1
＝1，于是有
p（a）?
而对于（Ⅱ）来说，m2＝1，于是有
1．2
1
p（a）?
．
3
而对于（Ⅲ）来说，m3＝1，于是有
p（a）?
1．4
6.口袋中装有4个白球，5个黑球。
从中任取两个球，求取出的两个球都是白球的概率。
2解试验的基本事件（样本点）总数n?
c9，设a=“取得两个白球”，则a包含的基本2事件数m?
c4，有古典概型有
2
c41
p（a）?
2?
c96
7.两封信任意地向标号为1，2，3，4的四个邮筒投递，求：
（1）第三个邮筒恰好投入一封信的概率；
（2）有两个邮筒各有一封信的概率。
p（a）?
63?
248
（2）设b表示“有两个邮筒各有一封信”，则
2c4?
2!
3
p（a）?
?
2
44
8.在100个产品中有70件一等品，20件二等品，10件三等品，规定一、二等品为合格
品，考虑这批产品的合格率与一、二等品率的关系。
解设事件a，b分别表示产品为一、二等品，显然事件a与b互补相容，并且事件a?
b表示产品为合格品，于是
p（a）?
702070?
2090
?
，p（b）?
p（a?
b）?
.
100100100100
可见p（a?
b）?
p（a）?
p（b）
9.三只外观相同的钢笔分别属于甲、乙、丙三人．如今三人各取一只，求：
（1）恰好取
到自己的笔的概率；
（2）都没有取到自己的笔的概率．
分析设d1＝{都取到自己的笔}，d2＝{都没有取到自己的笔}．这是一个古典概型问题．我们有
因此p（d1）?
p（d2）?
?
63
10.设随机事件b是a的子事件，已知p（a）＝1/4，p（b）＝1/6，求p（b|a）．
解因为b?
a，所以p（b）＝p（ab），因此
p（b|a）?
p（ab）p（b）2
?
?
?
p（a）p（a）3
11.在100件产品中有5件是不合格的，无放回地抽取两件，问第一次取到正品而第二
次取到次品的概率是多少？
解设事件
a＝{第一次取到正品}，b＝{第二次取到次品}．
用古典概型方法求出
p（a）?
95
?
?
0.100
由于第一次取到正品后不放回，那么第二次是在99件中（不合格品仍是5件）任取一件，所以
p（b|a）?
由公式（1－4），
5?
99
p（ab）?
p（a）p（b|a）?
95
10099
?
5
?
19396
?
12.五个人抓一个有物之阄，求第二个人抓到的概率．
解这是一个乘法公式的问题．设ai＝{第i个人抓到有物之阄}（i＝1，2，3，4，5），有
a2?
a2?
?
a2（a1?
a1）?
a1a2?
a1a2?
?
?
a1a2?
a1a2?
根据事件相同，对应概率相等有
p（a2）?
p（a1a2）?
p（a1）p（a2|a1）.
又因为
【篇二：
《概率论与数理统计》第三版__课后习题答案._】
出下列随机试验的样本空间：
（1）某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;
解：
连续5次都命中，至少要投5次以上，故?
1?
?
5,6,7,?
?
；
（2）掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;
解：
?
2?
?
2,3,4,?
11,12?
；
（3）观察某医院一天内前来就诊的人数;
解：
医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?
3?
?
0,1,2,?
（4）从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;解：
属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：
?
4?
?
i,j?
?
i?
j?
5?
;
（5）检查两件产品是否合格;
解：
用0表示合格,1表示不合格，则?
5?
?
?
0,0?
?
0,1?
?
1,0?
?
1,1?
?
；
（7）在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;
解：
?
7?
x0?
x?
2?
；
（8）在长为l的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.
解：
?
8?
?
x,y?
x?
0,y?
0,x?
y?
l?
；
1.2
（1）a与b都发生,但c不发生;ab；
（2）a发生,且b与c至少有一个发生;a（b?
c）；
（3）a,b,c中至少有一个发生;a?
b?
c；
?
?
（4）a,b,c中恰有一个发生;a?
b?
；
（5）a,b,c中至少有两个发生;ab?
ac?
bc；
（6）a,b,c中至多有一个发生;?
?
；
（7）a;b;c中至多有两个发生;abc
（8）a,b,c中恰有两个发生.bc?
ac?
ab；
注意：
此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
1.3设样本空间?
?
x0?
x?
2?
事件a=x0.5?
x?
1?
b?
x0.8?
x?
1.6?
具体写出下列各事件：
（1）ab;
（2）a?
b;（3）a?
b;（4）a?
b
（1）ab?
x0.8?
x?
1?
；
（2）a?
b=x0.5?
x?
0.8?
；
（3）a?
b=x0?
x?
0.5?
0.8?
x?
2?
;
（4）a?
b=x0?
x?
0.5?
1.6?
x?
2?
?
?
?
?
?
?
?
1.6按从小到大次序排列p（a）,p（a?
b）,p（ab）,p（a）?
p（b）,并说明理由.
解：
由于ab?
a,a?
（a?
b）,故p（ab）?
p（a）?
p（a?
b），而由加法公式，有：
p（a?
b）?
p（a）?
p（b）
1.7
解：
（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：
p（w?
e）?
p（w）?
p（e）?
p（we）?
0.175
（2）由于事件w可以分解为互斥事件we,w，昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为：
p（w）?
p（w）?
p（we）?
0.1
（3）昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：
p（）?
1?
p（w?
e）?
0.825.
1.8
解：
（1）由于ab?
a,ab?
b，故p（ab）?
p（a）,p（ab）?
p（b）,显然当a?
b时p（ab）
取到最大值。
最大值是0.6.
（2）由于p（ab）?
p（a）?
p（b）?
p（a?
b）。
显然当p（a?
b）?
1时p（ab）取到最小值，最小值是0.4.
1.9
解：
因为p（ab）=0，故p（abc）=0.a,b,c至少有一个发生的概率为：
p（a?
b?
c）?
p（a）?
p（b）?
p（c）?
p（ab）?
p（bc）?
p（ac）?
p（abc）?
0.7
1.10
解
（1）通过作图，可以知道，p（a）?
p（a?
b）?
p（b）?
0.3
（2）p（ab）?
1?
p（ab）?
1?
（p（a）?
p（a?
b））?
0.6（3）由于p（ab）?
p（）?
1?
p（a?
b）?
1?
（p（a）?
p（b）?
p（ab））
?
1?
p（a）?
p（b）?
p（ab）
p（b）?
1?
p（a）?
0.7
1.11
解：
用ai表示事件“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3。
三只球放入四只杯中，放法有
4?
4?
4?
64种，每种放法等可能。
（选排列：
好比3个球在4个位置做排列）。
38
对事件a3：
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
（只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种），故p（a3）?
1.12
解：
此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。
.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。
故前后两次出现的点数之和为3的概率为1319。
p（a2）?
1?
?
?
16816161。
18同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5的概率各是
（1）1.1311,。
129
解：
从10个数中任取三个数，共有c10?
120种取法，亦即基本事件总数为120。
（1）若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有2c4?
6种，故所求概率为31。
20
1。
12
（2）若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有c5?
10种，故所求概率为
1.14
解：
分别用a1,a2,a3表示事件：
（1）取到两只黄球;
（2）取到两只白球;（3）取到一只白球,一只黄球.则
2c822814c46116p（a1）?
2?
?
p（a2）?
2?
?
p（a3）?
1?
p（a1）?
p（a2）?
。
c126633c126611332
1.15
解：
p（（a?
）b）?
p（（a?
）?
b）p（（ab）?
（b））?
p（b）p（b）
p（ab）p（a）?
p（a）?
?
0.5p（b）p（b）由于p（b）?
0，故p（（a?
）b）?
1.16
（1）p（a?
b）;
（2）p（?
b）;
解：
（1）p（a?
b）?
p（a）?
p（b）?
p（ab）?
1?
p（b）p（ab）?
1?
0.4?
0.5?
0.8;
（2）p（?
b）?
p（）?
p（b）?
p（b）?
1?
p（b）p（b）?
1?
0.4?
0.5?
0.6;注意：
因为p（ab）?
0.5，所以p（b）?
1?
p（ab）?
0.5。
1.17
解：
用ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?
1,2,3），则i表示事件“第i次取到的是次品”（i?
1,2,3）。
p（a1）?
15331421?
p（a1a2）?
p（a1）p（a2a1）?
?
?
20441938
（1）事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品”的概率为：
p（3a1a2）?
5。
18
（2）事件“第三次才取到次品”的概率为：
p（a1a23）?
p（a1）p（a2a1）p（3a1a2）?
（3）事件“第三次取到次品”的概率为：
1514535?
?
?
20191822814
此题要注意区分事件
（1）、
（2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。
再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。
用ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?
1,2），
【篇三：
概率论课后习题解答】
1写出下列随机试验的样本空间：
（1）某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数;解：
连续5次都命中，至少要投5次以上，故?
1?
?
5,6,7,?
?
；
（2）掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;解：
?
2?
?
2,3,4,?
11,12?
；（3）观察某医院一天内前来就诊的人数;
解：
医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以?
3?
?
0,1,2,?
（4）从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产品;解：
属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：
?
4?
?
?
i,j?
?
i?
j?
5?
;（5）检查两件产品是否合格;
解：
用0表示合格,1表示不合格，则?
5?
?
?
0,0?
?
0,1?
?
1,0?
?
1,1?
?
；
（6）观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于t1,最高气温不高于t2）;解：
用x表示最低气温,y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：
?
6?
?
；
?
?
x,y?
?
x?
1
y?
t2
?
；
（7）在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;解：
?
7?
?
x0?
x?
2?
；
（8）在长为l的线段上任取一点,该点将线段分成两段,观察两线段的长度.解：
?
8?
?
?
x,y?
x?
0,y?
0,x?
y?
l?
；
1.2设a，b，c为三事件,用a;b;c的运算关系表示下列各事件：
（1）a与b都发生,但c不发生;abc；
（2）a发生,且b与c至少有一个发生;a（b?
c）；（3）a,b,c中至少有一个发生;a?
b?
c；（4）a,b,c中恰有一个发生;abc?
abc?
abc；（5）a,b,c中至少有两个发生;ab?
ac?
bc；
（6）a,b,c中至多有一个发生;ab?
ac?
bc；（7）a;b;c中至多有两个发生;abc；（8）a,b,c中恰有两个发生.abc?
abc?
abc；注意：
此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
1.3设样本空间?
?
?
x0?
x?
2?
事件a=?
x0.5?
x?
1?
b?
?
x0.8?
x?
1.6?
具体写出下列各事件：
（1）ab;
（2）a?
b;（3）a?
b;（4）a?
b
（1）ab?
?
x0.8?
x?
1?
；
（2）a?
b=?
x0.5?
x?
0.8?
；
（3）a?
b=?
x0?
x?
0.5?
0.8?
x?
2?
;（4）a?
b=?
x0?
x?
0.5?
1.6?
x?
2?
1.4用作图法说明下列各命题成立：
略
1.5用作图法说明下列各命题成立：
略
1.6按从小到大次序排列p（a）,p（a?
b）,p（ab）,p（a）?
p（b）,并说明理由.
解：
由于ab?
a,a?
（a?
b）,故p（ab）?
p（a）?
p（a?
b），而由加法公式，有：
p（a?
b）?
p（a）?
p（b）
1.7若w表示昆虫出现残翅,e表示有退化性眼睛,且p（w）=0.125;p（e）=0.075,p（we）=0.025,求下列事件的概率：
（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛;
（2）昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛;（3）昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛.
解：
（1）昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：
p（w?
e）?
p（w）?
p（e）?
p（we）?
0.175
（2）由于事件w可以分解为互斥事件we,we，昆虫出现残翅,但没有退化性眼睛对应事件概率为：
p（we）?
p（w）?
p（we）?
0.1
（3）昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：
p（we）?
1?
p（w?
e）?
0.825.1.8设a与b是两个事件,p（a）=0.6;p（b）=0.8。
试问：
（1）在什么条件下p（ab）取到最大值?
最大值是多少?
（2）在什么条件下p（ab）取到最小值?
最小值是多少?
解：
（1）由于ab?
a,ab?
b，故p（ab）?
p（a）,p（ab）?
p（b）,显然当a?
b时p（ab）
取到最大值。
最大值是0.6.
（2）由于p（ab）?
p（a）?
p（b）?
p（a?
b）。
显然当p（a?
b）?
1时p（ab）取到最小值，最小值是0.4.
1.9设p（a）=0.2,p（b）=0.3,p（c）=0.5,p（ab）=0,p（ac）=0.1,p（bc）=0.2,求事件a,b,c中至少有一个发生的概率.
解：
因为p（ab）=0，故p（abc）=0.a,b,c至少有一个发生的概率为：
p（a?
b?
c）?
p（a）?
p（b）?
p（c）?
p（ab）?
p（bc）?
p（ac）?
p（abc）?
0.7
1.10计算下列各题：
（1）设p（a）=0.5,p（b）=0.3,p（a?
b）=0.6,求p（ab）;
（2）设p（a）=0.8,p（a?
b）=0.4,求p（ab）;（3）设p（ab）=p（ab）;p（a）=0.3,求p（b）。
解：
（1）通过作图，可以知道，p（ab）?
p（a?
b）?
p（b）?
0.3
（2）p（ab）?
1?
p（ab）?
1?
（p（a）?
p（a?
b））?
0.6（3）
由于p（ab）?
p（ab）?
1?
p（a?
b）?
1?
（p（a）?
p（b）?
p（ab））?
1?
p（a）?
p（b）?
p（ab）p（b）?
1?
p（a）?
0.7
1.11把3个球随机地放入4个杯子中，求有球最多的杯子中球数是1，2，3概率各为多少？
解：
用ai表示事件“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3。
三只球放入四只杯中，放法有
4?
4?
4?
64种，每种放法等可能。
（选排列：
好比3个球在4个位置做排列）。
38
对事件a3：
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
（只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种），故p（a3）?
116
。
p（a2）?
1?
38
?
116
?
916
1.12掷一颗匀称的骰子两次,求前后两次出现的点数之和为3;4;5的概率各是多少?
解：
此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。
.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。
故前后两次出现的点数之和为3的概率为
118
。
同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5的概率各是1.13在整数0,1,2,?
9中任取三个数,求下列事件的概率：
（1）三个数中最小的一个是5;
（2）三个数中最大的一个是5.
1
129
1
。
3
解：
从10个数中任取三个数，共有c10?
120种取法，亦即基本事件总数为120。
（1）若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法有
12
。
c4?
6种，故所求概率为20
（2）若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法有c52?
10种，故所求概率为
1.1412只乒乓球中有4只是白色球,8只是黄色球。
现从这12只乒乓球中随机地取出两只,求下列事件的概率：
（1）取到两只黄球;
（2）取到两只白球;（3）取到一只白球,一只黄球.解：
分别用a1,a2,a3表示事件：
（1）取到两只黄球;
（2）取到两只白球;（3）取到一只白球,一只黄球.则
p（a1）?
c8c
2
112
。
212
?
2866
?
1433
p（a2）?
c4c
2
212
?
666
?
111
p（a3）?
1?
p（a1）?
p（a2）?
1633
。
1.15已知p（a）?
0.7,p（b）?
0.4，p（ab）?
0.5,求p（（a?
b）b）.
p（（a?
b）?
b）
p（b）
p（（ab）?
（bb））
p（b）
解：
p（（a?
b）b）?
?
由于p（bb）?
0，故p（（a?
b）b）?
p（ab）p（b）
?
p（a）?
p（ab）
p（b）
?
0.5
1.16已知p（a）?
0.6,p（b）?
0.4,p（ab）?
0.5。
计算下列二式：
（1）p（a?
b）;
（2）p（a?
b）;
解：
（1）p（a?
b）?
p（a）?
p（b）?
p（ab）?
1?
p（b）p（ab）?
1?
0.4?
0.5?
0.8;
（2）p（a?
b）?
p（a）?
p（b）?
p（ab）?
1?
p（b）p（ab）?
1?
0.4?
0.5?
0.6;注意：
因为p（ab）?
0.5，所以p（ab）?
1?
p（ab）?
0.5。
1.17一批产品共20件,其中有5件是次品,其余为正品。
现从这20件产品中不放回地任意抽取三次,每次只取一件,求下列事件的概率：
（1）在第一、第二次取到正品的条件下,第三次取到次品;
（2）第三次才取到次品;（3）第三次取到次品.
解：
用ai表示事件“第i次取到的是正品”（i?
1,2,3），则ai表示事件“第i次取到的是次品”（i?
1,2,3）。
p（a）?
1
15
3
aa）p?
（ap）（a1a）2
12
204
1
31421
?
?
41938
（1）事件“在第一、第二次取到正品的条件下,第
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