三年级下册数学试题奥数专题讲练第2讲 数列求和精英篇解析版全国通用.docx
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三年级下册数学试题奥数专题讲练第2讲数列求和精英篇解析版全国通用
第二讲数列求和
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德国有一位世界著名的数学家叫高斯（公元1777年-1855年）。
他上小学的时候，老师出了一个题目，1+2+…+99+100＝？
小高斯看了看，又想了想，很快说出结果是5050。
同学们，你们知道他是怎么算出来的吗？
原来小高斯在认真审题的基础上，发现题目的特点。
像高斯的老师所出的题目那样，按一定次序排列的一列数叫做数列。
数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项。
如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。
后项与前项的差叫做这个数列的公差。
如：
1，2，3，4，…是等差数列，公差为1；
2，4，6，8，…是等差数列，公差为2；
5，10，15，20，…是等差数列，公差为5。
进一步，小高斯发现了这样的关系：
1+100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，…，50＋51＝101。
一共有多少个101呢？
100个数，每两个数是一对，共有50个101。
所以：
1＋2＋3＋…＋98+99+100
＝101×50
即，和=（100＋1）×（100÷2）＝101×50＝5050
这道题目，我们还可以这样理解：
即，和=（100＋1）×100÷2＝101×50＝5050
由高斯的巧算可得出等差数列的求和公式：
总和＝（首项+末项）×项数÷2
这样，由于高斯发现了巧算的方法，所以他最先得出了正确的答案。
因此，同学们要想算得正确、迅速，方法合理、灵活，不仅要掌握数与运算的定律、性质，而且要善于观察，认真审题，注意发现题目的特点。
例题精讲
【例1】找找下面的数列有多少项？
（1）2、4、6、8、……、86、98、100
（2）3、4、5、6、……、76、77、78
（3）4、7、10、13、……、40、43、46
（4）2、6、10、14、18、……、82、86
分析：
（1）我们都知道：
1、2、3、4、5、6、7、8、……、95、96、97、98、99、100这个数列是100项，现在不妨这样去看：
（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、……、（95、96）、（97、98）、（99、100），让它们两两一结合，奇数在每一组的第1位，偶数在第2位，而且每组里偶数比奇数大，小朋友们一看就知道，共有100÷2=50组，每组把偶数找出来，那么原数列就有50项了。
（2）连续的自然数列，3、4、5、6、7、8、9、10……，对应的是这个数列的第1、2、3、4、5、6、7、8、……，发现它的项数比对应数字小2，所以78是第76项，那么这个数列就有76项。
对于连续的自然数列，它们的项数是：
末项—首项+1。
（3）配组：
（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组。
当然，我们还可以有其他的配组方法。
（4）22项．
对于一个等差数列的求和，在许多时候我们不知道的往往是这个数列的项数。
这种找项数的方法在学生学习了求项数公式后，也许稍显麻烦，但它的思路很重要，对于以后学习数论知识有较多的帮助。
希望教师能帮助孩子牢固掌握。
【例2】计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋96＋98＋100
（2）2＋5+8+…＋23+26＋29
分析：
（1）这是一个公差为2的等差数列，首项是2，末项是100，项数为50。
所以：
2+4+6＋…+96＋98+100＝（2+100）×50÷2＝2550
（2）这是一个公差为3，首项为2，末项为29，项数是10的等差数列。
所以：
2＋5＋8＋…+23+26＋29＝（2+29）×10÷2＝155
其实在这里，我们还有一个找项数的公式。
那么让我们一起从等差数列的特性来找找吧！
【例3】你能找出几个等差数列的特征？
从你的结果中，你能找到等差数列求项数的公式么？
分析：
我们都知道，所谓等差数列就是：
从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，那么我们可以得到：
第2项=首项+公差=首项+公差×1
第3项=第2项+公差=（首项+公差）+公差=首项+公差×2
第4项=第3项+公差=（首项+公差×2）+公差=首项+公差×3
第5项=第4项+公差=（首项+公差×3）+公差=首项+公差×4
第6项=第5项+公差=（首项+公差×4）+公差=首项+公差×5
……
第n项=首项+公差×（n-1）
……
末项=首项+公差×（项数—1）
末项—首项=公差×（项数—1）
项数=（末项—首项）÷公差+1
通过上面的分析，我们还可以发现：
第4项－第3项=公差×1
第5项－第3项=公差×2
第6项－第3项=公差×3
第6项－第2项=公差×4
第n项－第3项=公差×（n-3）
第n项－第m项=公差×（n－m），（n＞m）
由此，我们便得到了，等差数列的求项数公式和其它一些公式关系，大家不要死记硬背，一定要理解运用。
【例4】利用上题得到的结论计算下面结果。
（1）3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？
它的第102项是多少？
（2）0、4、8、12、16、20、……，它的第43项是多少？
（3）已知等差数列2、5、8、11、14…，问47是其中第几项？
（4）已知等差数列9、13、17、21、25、…，问93是其中第几项？
分析：
（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项。
第n项=首项+公差×（n-1），所以，第102项=3+2×（102-1）=205；
（2）第43项=0+4×（43-1）=168。
（3）首项=2，公差=3，我们可以这样看：
2、5、8、11、14…、47，
那么这个数列有：
n=（47-2）÷3+1=16，（熟练后，此步可省略），即47是第16项。
其实求项数公式，也就是求第几项的公式。
（4）n=（93-9）÷4+1=22。
【例5】
（1）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
（2）如果一等差数列的第3项为16，第11项为72，求它的第6项.
分析：
要求第8项，必须知道首项和公差。
第6项－第4项=（6－4）×公差，所以，公差=6；
第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6，所以，首项=3；
第8项=首项+7×公差=45。
（2）公差=7，首项=2，第6项=37。
【例6】
（1）（第二届“迎春杯”刊赛）从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有_____个？
（2）（第五届迎春杯刊赛）1至100各数，所有不能被9整除的自然数的和是____？
分析：
在讲解此题之前，教师可先引入【附1】；因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=（993—401）÷8+1=75．
（2）在1至100中，被9整除的数的和是：
9+18+27+…+99=9×（1+2+3+…+11）=9×66=594；
1至100各数之和是：
1+2+3+…+100=5050；
所以在1至100的各数中，所有不能被9整除的数的和是：
5050—594=4456．
【例7】计算各数列的和：
（1）3＋4＋5＋…＋99＋100
（2）4＋8＋12＋…＋32＋36
（3）65＋63＋61＋…＋5＋3+1
分析：
（1）项数：
（100－3）÷1＋1=98；和：
（3+100）×98÷2=5047；
（2）项数：
（36－4）÷4＋1=9；和：
（4+36）×9÷2=20×9=1800；
（3）项数：
（65－1）÷2＋1=33；和：
（1+65）×33÷2=33×33=1089。
题目做完以后，我们再来分析一下，
（2）题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9，（3）题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33，其实，这并不是偶然的现象，关于中项有如下定理：
对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
这个定理称为中项定理.
【例8】建筑工地有一批砖，码成如右图形状，最上层两块砖，第2层6块砖，第3层10块砖…，依次每层都比其上面一层多4块砖，已知最下层2106块砖，问中间一层多少块砖？
这堆砖共有多少块？
分析：
如果我们把每层砖的块数依次记下来，2，6，10，14，…容易知道，
是一个等差数列。
2106是第n=（2106-2）÷4+1=527层，中间一层是第
（527+1）÷2=264层，那么中间一层有：
2+（264-1）×4=1054块，这堆砖共有：
1054×527=555458（块）。
【例9】计算：
（1）（1+3+5+……+1997+1999）一（2+4+6+……1996+1998）
（2）4000-5-10-15-…-95-100
分析：
（1）法1：
第一个数列的项数1000，第二个数列的项数为999，
利用求和公式得：
（1+1999）×1000÷2-（2+1998）×999÷2=1000。
方法2：
第一个括号内共有1000个数，第二个括号内有999个数。
把1除外，第一个括号内的各数依次比第二个括号里相应的数大1，因此可简捷求和。
原式=1+（3-2）+（5-4）+……+（1999-1998）=l+1+1+……+1（共1000个1）=1000
（2）分析：
通过观察可知，题目中的减数可以组成等差数列，所以，可先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。
4000-5-10-15-…-95-100＝4000-（5+10+15＋…＋95+100）＝4000-（5+100）×（20÷2）＝4000-1050＝2950。
当一个数连续减去几个数，这些减数能组成等差数列时，可以先求这些减数的和，再从被减数中减去这个和。
【例10】把自然数按下面形式排列，它的第一行是1、2、4、7、11……那么第一行的第100个数是几?
1，2，4，7，1l，……
3，5，8，12，……
6，9，13，……
10，14，……
15，……
……
分析：
观察上面数的排列规律，从右上方到左下方看斜行，依次是1，（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），……各斜行数的个数顺次是1，2，3，4，……所以第一行的第100个数，正好是第100个斜行的第一个数。
（1+2+3+……+98+99）+1=（1+99）×99÷2+1=4951。
【例11】（第十五届迎春杯初赛）下面方阵中所有数的和是多少？
1901190219031904…1950
1902190319041905…1951
1903190419051906…1952
┇┇┇┇┇
1948194919501951…1997
1949195019511952…1998
分析：
每一行都是一个等差数列，且每行的和又构成公差为50的等差数列，总和是4776275。
附加题目
【附1】求100以内除以3余2的所有数的和。
分析：
100以内除以3余2的数为2、5、8、11、……98公差为3的等差数列，首先求出一共有多少项，（98－2）÷3+1=33，再利用公式求和（2+98）×33÷2=1650。
那么，你能找找以下数列的规律么？
（1）除以3余1的所有数。
（2）整除3所有数。
（3）除以5余2的所有数。
（4）除以5余1的所有数。
（5）除以6余2的所有数。
说说其中的规律！
【附2】100个连续自然数（按从小到大的顺序排列）的和是8450，取出其中第1个，第3个…第99个，再把剩下的50个数相加，得多少？
分析：
法1：
要求和，我们可以先把这50个数算出来.
100个连续自然数构成等差数列，且和为8450，则：
首项+末项=8450×2÷100=169，又因为末项比首项大99，所以，首项=（169-99）÷2=35.因此，剩下的50个数为：
36，38，40，42，44，46…134.这些数构成等差数列，和为（36+134）×50÷2=4250.
法2：
我们考虑这100个自然数分成的两个数列，这两个数列有相同的公差，相同的项数，且剩下的数组成的数列比取走的数组成的数列的相应项总大1，因此，剩下的数的总和比取走的数的总和大50，又因为它们相加的和为8450.所以，剩下的数的总和为（8450+50）÷2=4250.
【附3】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？
分析：
由题可知：
由210拆成的7个数必构成等差数列，则中间一个数为210÷7=30，所以，这7个数分别是15、20、25、30、35、40、45.即第1个数是15，第6个数是40.
【附4】（第三届《小数报》数学竞赛初赛）计算99+198+297+396+495+594+693+792+891+990
分析：
99+198+297+396+495+594+693+792+891+990
=100-1+200-2+300-3+…+1000-10
=100+200+300+…+1000-（1+2+3+…+10）
=5500-55
=5445
练习二
1．求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
解答：
13+5×（30－1）=158，（13+158）×30÷2=2565
2．某剧院有20排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有70个座位，这个剧院一共有多少个座位？
解答：
1020个座。
3．巧算下题：
5000-2-4-6-…-98-100
解答：
原式=5000-（2＋4＋6+…+98+100）=5000-（2＋100）×50÷2=5000-2550=2450
4．时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟敲一下。
问：
时钟一昼夜打多少？
解答：
（1+2+3+…+12）+12=90，90×2=180。
5．已知：
a=1+3+5+……+99+101，b=2+4+6+……+98+100，则a、b两个数中，较大的数比较小的数大．
解答：
大51。
6．将自然数如下排列，
12671516…
3581417…
491318…
1012…
11…
…
在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：
1993排在第几行第几列？
解答：
原数排列如下左图，可将其变换角度如下右图观察：
1993位于原图的24行40列.
7．（第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛初赛）在11-45这35个数中，所有不被3整除的数的和是多少？
解答：
先求被3整除的数的和；
11～45中能被3整除的数有12，15，…，45，和为：
12+15+…+42+45=（12+45）×12÷2=342；
于是，满足要求的数的和为：
（11+…+45）-342=980—342=638．
8．（第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛预赛B卷）下面的数的总和是____．
012…49
123…50
484950…98
495051…98
解答：
总和是49×2500=122500．
课外阅读
高斯（C.F.Gauss,1777.4.30-1855.2.23）是德国数学家、物理学家和天文学家，出生于德国布伦兹维克的一个贫苦家庭。
父亲格尔恰尔德·迪德里赫先后当过护堤工、泥瓦匠和园丁，第一个妻子和他生活了10多年后因病去世，没有为他留下孩子。
迪德里赫后来娶了罗捷雅，第二年他们的孩子高斯出生了，这是他们唯一的孩子。
父亲对高斯要求极为严厉，甚至有些过份，常常喜欢凭自己的经验为年幼的高斯规划人生。
高斯尊重他的父亲，并且秉承了其父诚实、谨慎的性格。
1806年迪德里赫逝世，此时高斯已经做出了许多划时代的成就。
在成长过程中，幼年的高斯主要是力于母亲和舅舅。
高斯的外祖父是一位石匠，30岁那年死于肺结核，留下了两个孩子：
高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希（Friederich）。
弗利德里希富有智慧，为人热情而又聪明能干投身于纺织贸易颇有成就。
他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。
若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使"我们失去了一位天才"。
正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠。
在数学史上，很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲。
罗捷雅直到34岁才出嫁，生下高斯时已有35岁了。
他性格坚强、聪明贤慧、富有幽默感。
高斯一生下来，就对一切现象和事物十分好奇，而且决心弄个水落石出，这已经超出了一个孩子能被许可的范围。
当丈夫为此训斥孩子时，他总是支持高斯，坚决反对顽固的丈夫想把儿子变得跟他一样无知。
罗捷雅真诚地希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极为珍视。
然而，他也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。
在高斯19岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友Ｗ.波尔约（W.Bolyai,非欧几何创立者之一J.波尔约之父）问道：
高斯将来会有出息吗？
Ｗ.波尔约说她的儿子将是"欧洲最伟大的数学家"，为此她激动得热泪盈眶。
7岁那年，高斯第一次上学了。
头两年没有什么特殊的事情。
1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班次，这是一个首次创办的班，孩子们在这之前都没有听说过算术这么一门课程。
数学教师是布特纳（Buttner），他对高斯的成长也起了一定作用。
在全世界广为流传的一则故事说，高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题，布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案。
不过，这很可能是一个不真实的传说。
据对高斯素有研究的著名数学史家E·T·贝尔（E.T.Bell）考证，布特纳当时给孩子们出的是一道更难的加法题：
81297+81495+81693+…+100899。
当然，这也是一个等差数列的求和问题（公差为198，项数为100）。
当布特纳刚一写完时，高斯也算完并把写有答案的小石板交了上去。
E·T·贝尔写道，高斯晚年经常喜欢向人们谈论这件事，说当时只有他写的答案是正确的，而其他的孩子们都错了。
高斯没有明确地讲过，他是用什么方法那么快就解决了这个问题。
数学史家们倾向于认为，高斯当时已掌握了等差数列求和的方法。
一位年仅10岁的孩子，能独立发现这一数学方法实属很不平常。
贝尔根据高斯本人晚年的说法而叙述的史实，应该是比较可信的。
而且，这更能反映高斯从小就注意把握更本质的数学方法这一特点。
高斯的计算能力，更主要地是高斯独到的数学方法、非同一般的创造力，使布特纳对他刮目相看。
他特意从汉堡买了最好的算术书送给高斯，说：
"你已经超过了我，我没有什么东西可以教你了。
"接着，高斯与布特纳的助手巴特尔斯（J.M.Bartels）建立了真诚的友谊，直到巴特尔斯逝世。
他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。
1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。
经过巴特尔斯等人的引荐，布伦兹维克公爵召见了14岁的高斯。
这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。
布伦兹维克公爵在高斯的成才过程中起了举足轻重的作用。
不仅如此，这种作用实际上反映了欧洲近代科学发展的一种模式，表明在科学研究社会化以前，私人的资助是科学发展的重要推动因素之一。
高斯正处于私人资助科学研究与科学研究社会化的转变时期。
1792年，高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。
1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。
1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克，正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时─虽然他的博士论文顺利通过了，已被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。
公爵为高斯付诸了长篇博士论文的印刷费用，送给他一幢公寓，又为他印刷了《算术研究》，使该书得以在1801年问世；还负担了高斯的所有生活费用。
所有这一切，令高斯十分感动。
他在博士论文和《算术研究》中，写下了情真意切的献词：
"献给大公"，"你的仁慈，将我从所有烦恼中解放出来，使我能从事这种独特的研究"。
1806年，公爵在抵抗拿破仑统帅的法军时不幸阵亡，这给高斯以沉重打击。
他悲痛欲绝，长时间对法国人有一种深深的敌意。
大公的去世给高斯带来了经济上的拮据，德国处于法军奴役下的不幸，以及第一个妻子的逝世，这一切使得高斯有些心灰意冷，但他是位刚强的汉子，从不向他人透露自己的窘况，也不让朋友安慰自己的不幸。
人们只是在19世纪整理他的未公布于众的数学手稿时才得知他那时的心态。
在一篇讨论椭圆函数的手搞中，突然插入了一段细微的铅笔字：
"对我来说，死去也比这样的生活更好受些。
"
慷慨、仁慈的资助人去世了，因此高斯必须找一份合适的工作，以维持一家人的生计。
由于高斯在天文学、数学方面的杰出工作，他的名声从1802年起就已开始传遍欧洲。
彼得堡科学院不断暗示他，自从1783年欧拉去世后，欧拉在彼得堡科学院的位置一直在等待着象高斯这样的天才。
公爵在世时坚决劝阻高斯去俄国，他甚至愿意给高斯增加薪金，为他建立天文台。
现在，高斯又在他的生活中面临着新的选择。
为了不使德国失去最伟大的天才，德国著名学者洪堡（B.A.VonHumboldt）联合其他学者和政界人物，为高斯争取到了享有特权的哥丁根大学数学和天文学教授，以及哥丁根天文台台长的职位。
1807年，高斯赴哥丁根就职，全家迁居于此。
从这时起，除了一次到柏林去参加科学会议以外，他一直住在哥丁根。
洪堡等人的努力，不仅使得高斯一家人有了舒适的生活环境，高斯本人可以充分发挥其天才，而且为哥丁根数学学派的创立、德国成为世界科学中心和数学中心创造了条件。
同时，这也标志着科学研究社会化的一个良好开端。
高斯的学术地位，历来为人们推崇得很高。
他有"数学王子"、"数学家之王"的美称、被认为是人类有史以来"最伟大的三位（或四位）数学家之一"（阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉）。
人们还称赞高斯是"人类的骄傲"。
天才、早熟、高产、创造力不衰、……，人类智力领域的几乎所有褒奖之词，对于高斯都不过份。
高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，都留下了他的足迹。
从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是18─19世纪之交的中坚人物。
如果我们把18世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把19世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。
虽然数学研究、科学工作在18世纪末仍然
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