高三数学第二轮专题复习系列直线与圆的方程.docx

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高三数学第二轮专题复习系列直线与圆的方程

本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。

直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；

两条直线平行和垂直的充要条件、直线l1到12的角以及两直线的夹角、点到直线的距离

公式也是重点内容；

用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；

曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。

二、高考要求

1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；

3、会用二元一次不等式表示平面区域；

4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；

5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；

6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。

三、热点分析

在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。

但由于知识的相互渗透，综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。

四、复习建议

本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。

既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。

直线

【例题】

【例1】已知点B（1，4），C（16，2），点A在直线x—3y+3=0上，并且使ABC

的面积等于21,求点A的坐标。

解：

直线BC方程为2X+5y—22=0,|BC|=29，设点A坐标（3y—3,y），则可求A到

BC的距离为|11y281，:

ABC面积为21,二1J29?

|11y28121,

v'292v'29

二y70或14，故点A坐标为（177，空）或（75,14）.

111111111111

【例2】已知直线I的方程为3x+4y—12=0,求直线l的方程，使得:

（1）I与I平行，且过点（—1,3）；

（2）「与I垂直，且「与两轴围成的三角形面积为4.

解：

（1）由条件，可设I'的方程为3x+4y+m=0,以x=—1,y=3代入,

得—3+12+m=0,即得m=-9,/直线I'的方程为3x+4y—9=0;

（2）由条件，可设「的方程为4x—3y+n=0,令y=0,得x-,令x=0,得y-,于是由三43

角形面积S丄？

n

?

n

4,得n2=96,•n

2

4

3

/直线I的方程是4x3y460或4x3y460

【例3】过原点的两条直线把直线2x+3y—12=0在坐标轴间的线段分成三等分,求这二直线的夹角。

解：

设直线2x+3y—12=0与两坐标轴交于AB两点，

则A（0,4）,B（6,0）,设分点C,D,设COD为所求角。

BeCA

XC

yc

2

6一24

8

，二C（2,-）

3

又DD

X

4

•••D（4,3）,

孑koD

4

1

kockoD|3

3

9

1kockoD14

3

1

13，

3

yo

12

3

二tg

arctg—.

13

22

【例4】圆x+y+x—6y+c=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点，求c为何

值时,OPOQ（O为原点）.

21

解：

解方程组消x得5y—20y+12+c=0,yMy?

-（12c）,

5

21

消y得5x+10x+4c—27=0,x1?

x2-（4c27）,

5

•/OPOQ/.吐？

皿1,•••12c4c27，解得c=3.

x1x255

【例5】已知直线y=—2x+b与圆x2+y2—4x+2y—15=0相切，求b的值和切点

的坐标.

22

解：

把y=—2x+b代入x+y—4x+2y—15=0,

整理得5x2—4（b+2）x+b2+2b—15=0,令=0得b=—7或b=13,]

t方程有等根，x2（b.,—），得x=—2或x=6,代入y=—2x—7与y=—2x+13得y=—3或y=1,

•••所求切点坐标为（—2,—3）或（6,1）.

【例6】已知|a|v1,|b|v1,|c|v1,求证：

abc+2>a+b+c.

证明：

设线段的方程为y=f（x）=（be—1）x+2—b—c,其中|b|v1,|c|v1,|x|v1,且一1vbv1.

f（—1）=1—bc+2—b—c=（1—bc）+（1—b）+（1—c）>0

f

（1）=bc—1+2—b—c=（1—b）（1—c）>0

•线段y=（bc—1）x+2—b—c（—1vxv1）在x轴上方，这就是说，当|a|v1,|b|v1,|c|v1时，恒有abc+2>a+b+c.

【例7】某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为

节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌

面的倾斜角为a（90°

）镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距am,b

m,（a>b）•问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳?

解：

建立如图所示的直角坐标系，A0为镜框边，AB为画的宽度,

看画的效果最佳，应使/ACB取得最大值.

O为下边缘上的一点，在x轴的正半轴上找一点Qx,0）（x>0）,欲使

a,asina）、

由三角函数的定义知：

AB两点坐标分别为（acos

BC的斜率分别为:

（bcosa,bsina）,于是直线AC

kAC=tanxCA=asina

acosax

kBC

tanxCBbsina

bcosax

tanACBkBCkAC

1kBCkAC

（ab）xsina

ab（ab）xcosax2

（ab）sin

由于/ACB为锐角，且x>0,则tanACB^——（ab）sina,当且仅当辿％即x=•.ab2、：

ab（ab）cosa

时，等号成立，此时/ACB取最大值，对应的点为q•、ab,0）,因此，学生距离镜框下缘•、abcm

处时，视角最大，即看画效果最佳

【例8】预算用2000元购买单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数

尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的倍，问桌、椅各买多少才行?

X,

解：

设桌椅分别买x,y张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件

50x20y2000为yx

y1.5x

x0,y0

x

50x20y2000解得yx'

200

7

200

7

•••A点的坐标为

（200

200）

由50x20y

y1.5x

2000解得

y

25

75

2

•B点的坐标为

（25，75）

0）为顶点的三角形区域（如右图）

但注意到x€N,y€N,故取y=37.

所以满足约束条件的可行域是以

由图形直观可知，目标函数z=

故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.

AB含量及成本如下表，若用甲、

【例9】已知甲、乙、丙三种食物的维生素

乙、丙三种食物各x千克，y千克，z千克配成100千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B.

解：

（

:

I）由题，

c11x

9y

4z，又x

（n）

丄600x

由

700y

400z

56000

800x

400y

500z

63000

所以，

7x5y

450.

yz100,所以，c4007x5y.

及z100xy得，4x6y320,

3xy130

甲

乙

丙

维生素A（单位/千克）

600

700

400

维生素B（单位/千克）

800

400

500

成本（元/千克）

11

9

4

（I）用x,y表示混合食物成本c元;

（n）确定x,y,z的值，使成本最低.

当且仅当4x6y320,即X50时等号成立.

3xy130y20

所以，当x=50千克，y=20千克，z=30千克时，混合物成本最低，为850元.

点评：

本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成

x0

的区域

y

0

上使

4x

6y

320

3x

y

130

c4007x5y最大的点.不难发现，应在点M（50,20）处取得.

【直线练习1】

、选择题

102001

202002

1

，则M与N的大小关系为（）

=N

D.

无法判断

2.三边均为整数且最大边的长为

11的三角形的个数为（

二、填空题

B30

D.以上都不对

3.直线2x-y—4=0上有一点P,

它与两定点A41）,

B（3,4）的距离之差最大，则P

点坐标是

4.

其反射光线所在直线与圆x2+y2

自点A（—3,3）发出的光线I射到x轴上，被x轴反射,

—4x—4y+7=0相切，则光线I所在直线方程为

5

，最小值为

.函数f（e）=竺一1的最大值为

cos2

6.设不等式2x—1>mx2—1）对一切满足imW2的值均成立，则x的范围为

三、解答题

7.已知过原点O的一条直线与函数y=logsx的图象交于A、B两点，分别过点AB作y

（1）证明：

点CD和原点0在同一直线上.

（2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标•

8.设数列｛an｝的前n项和S=na+n（n—1）b,（n=1,2,…），a、b是常数且0.

（1）证明：

｛an｝是等差数列.

（2）证明：

以（an,蛍—1）为坐标的点Pn（n=1,2,…）都落在同一条直线上，并写出此直线的方

n

程•

1

（3）设a=1,b=-,C是以（r,r）为圆心，r为半径的圆（r>0）,求使得点P、F2、F3都落在圆

2

C外时，r的取值范围•

参考答案

、1.解析：

将问题转化为比较A—1,—1）与B（102001,10200°）及C（102002,102001）连线

1

的斜率大小，因为B、C两点的直线方程为y=—x，点A在直线的下方，•••kAB>kAC,即M>N

10

答案：

A

2.解析：

设三角形的另外两边长为x,y,则

0x11

0y11

xy11

点（x,y）应在如右图所示区域内

当x=1时，y=11;当x=2时,y=10,11;

当x=3时，y=9,10,11;当x=4时,y=8,9,10,11;

当x=5时，y=7,8,9,10,11.

以上共有15个，x,y对调又有15个，再加上（6,6）,（7,7）,（8,8）,（9,9）,（10,10）、（11,11）六组，所以共有36个.

答案：

C

二、3.解析：

找A关于I的对称点A,A'B与直线I的交点即为所求的P点.答案：

P（5,6）

4.解析：

光线I所在的直线与圆x+y—4x—4y+7=0关于x轴对称的圆相切.答案：

3x+4y—3=0或4x+3y+3=0

5.解析：

f（0）=■Sn——1-表示两点（cos0,sin0）与（2,1）连线的斜率.

cos2

答案：

40

3

22

6.解析：

原不等式变为（x—1）m+（1—2x）v0,构造线段f（m）=（x—1）m+1—2x,-2

则f（—2）v0,且f

（2）v0.

答案：

7131

X

22

三、7.

（1）证明：

设AB的横坐标分别为Xi、X2，由题设知xi>1,X2>1,

点A（Xi,log8Xi）,B（X2,log8X2）.

因为AB在过点O的直线上，所以lOgsXilOgsX2,又点C、D的坐标分别为（xi,log2x1）、

X1x2

（X2,log2X2）.

由于log2Xi=3log8Xi,log2X2=3log8X2,则

koc

log2xi

Xi

3log8xi

Xi

log2X2

X2

3log8X2

X2

由此得ko（=koD即OC、D在同一直线上.

⑵解：

由BC平行于x轴，有log2Xi=log8X2,又log2Xi=3log8Xi

3

/.X2=Xi

将其代入加8Xilog8X2,得xi3log8Xi=3xilog8Xi,

xix2

由于xi>i知log8XiM0,故xi3=3xiX2=J3,于是A（,log^3）.

9.（i）证明：

由条件，得ai=S=a,当n》2时，

有an=S—S-1=[na+n（n—i）b]—[（n—i）a+（n—i）（n—2）b]=a+2（n—i）b.

因此，当n》2时，有an—an-1=:

a+2（n—1）b]—[a+2（n—2）b]=2b.

所以｛an｝是以a为首项，2b为公差的等差数列.

nan（n1）b

a

a

（n1）b1

a2（n1）ba

2（n1）b2

1

Pi（a,a—1）且以-为斜率的直线上.此

2

1）（弓1）

（2）证明：

T0,对于n》2,有1

ana1

•••所有的点Pn（an,色—1）（n=1,2,…）都落在通过

n

1直线方程为y—（a—1）=_r■（x—a）,即x—2y+a—2=0.

2

（3）解：

当a=1,b=丄时，Pn的坐标为（n,n-）,使Pi（1,0）、P«2,丄）、R（3,1）都落在圆

222

C外的条件是

（r

1）2

2r

r2

（r

1）2

0

①

（r

1）2

（r

1、22

2）r

即r2

5r

17

~4

0

②

（r

3）2

（r

1）2r2

r2

8r

10

0

③

由不等式①，得r工1

由不等式②，得r<2-2或r>2+2

由不等式③，得r<4-.6或r>4+6

5l■—5

再注意到r>0,1<—2<4—6=—+2<4+6

22

5LL

故使P、F2、F3都落在圆C外时，r的取值范围是（0,1）U（1,—-12）U（4+J6,+）.

2

【直线练习2】

1.11的方程为2xy30,l1关于x轴对称的直线为l2,l2关于y轴对称的直线为l3,那么直线l3的方程为（B）

A.x2y30B.2xy30C.2xy30D.2xy60

22

2.与圆xy4x30相外切，且与y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是

3.

则P点坐标为（B）

已知定点A（1,1）,B（3,3），点P在x轴上，且APB取得最大值,

A.

2,0

B.6,0

C.-,0

3

D.4,0

解:

（xa）2

（yb）2

b2

（a0,b0）

P点即为过A、B两点且与x轴相切的圆的切点，设圆方程为

所以有

（1a）2

（3a）2

（1b）2b2a6

（3b）2b2b0

4.圆x2y2x

0上的点到直线x-3y3

0的最知距离为（A

5.条件甲：

方程

B.5

4

22

-y1表示一双条双曲线，条件乙：

m0且n

mn

C.

D.9

4

0则乙是甲的（A）

6•设点P在有向线段一的延长线上，点P分」"所成的比为，则（A）

B.

A.1

10

C.01D.1

7.如果A«0且B«0,那么直线Ax+By+C=0,不通过（C）

&若点（4,m）到直线

4x

3y

1的距离不大于3,

则m的取值范围是（

B）

A.（0,10）

B.

0,10

C1,聖

33

D.,0

10,

9.原点关于直线

8x

6y

25的对称点坐标为（D

）

3

25

25、

D.（4,3）

A.2,-

B.

C.（3,4）

2

8

6

10.如果直线y

ax

2与直线

y3xb关于直线

y=

x对称，那么（

A）

A.a1b

6

B.a1

b

6

3

3

C.a=3,

b=-

-2

D.a=3,

b:

=6

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

11.已知直线11和12的夹角的平分线为

如果I1的方程是axby

cO（ab0）,那么I2

的方程是（A）

A.bxayc

0

B.

ax

byc

0

C.bxayc

0

D.

bx

ayc

0

12.

如果直线ax

2y20与直线3x

y

20平行，那么系数a=（B）

A.—3

B.—6

C.

3

D.-

2

3

13.

两条直线A1x

B°C10,

A2x

B2y

C2

0垂直的充要条件是（A）

A.A〔A?

B〔

b20

B.

A2

B1B20

A1A2x

B〔B2

C.--1

D.

1

B1B?

x轴负方向平移

A1A2

14.

如果直线I沿

3个单位,

再沿

y轴正方向平移1个单位，又回到原来的

位置

那么直线I

的斜率是（A）

A.-

B.—3

C.

-

D.3

3

3

15.设a、b、c分别是△ABC中,AB

C所对边的边长,则直线sinA•xayc0

与bxsinB•ysinC0的位置关系是（C）

A.平行

B.重合

C.垂直

D.相交但不垂直

16.

求与点A（1,2）

的距离等于

4,

且到x轴的距离等于

2的点的坐标：

。

（3,

2）

17.

直线L：

y=kx-1

与曲线y

2

1

-不相交，则k的取值范围是（A）

x

1

2

1

A.—或3

B.1C

1

3D.[-,3]

2

2

2

18.2.如果a•c<0,b•c<0，那么直线ax+by+c=O不通过（C）

19.

20.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

直线y=—x—1被圆（x3）2（y1）225，所截的弦长为（C

A..98B.40丄C..82D.9843

4

A,B两点，线段AB的

斜率为1的直线与两直线2x+y—1=0,x2y20分别相交于

Axy10

Bx

C、x2y30

D、x2y

21.已知双曲线c1和椭圆C2:

（x2）2（y1）2

4924

11

和e2，且丄丄2。

（1）

求双曲线6的方程;

）

1有公共的焦点,

30

y10

中点的轨迹方程为（B

它们的离心率分别是

ei

（2）圆D经过双曲线Ci的两焦点，且

与x轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆D的方程。

解：

（1）椭圆C2的两个焦点坐标是

亠亠5

F1（7,1）,F2（3,1）离心率e2-

115

由丄丄2可知双曲线G的离心率0.

e1e23

•••c225,a29,b2c2a216

22

故双曲线C1的方程为必22卫1

916

（2）•••圆D经过双曲线的两个焦点，.••圆心D在直线x=-2上

设圆D的方程为（x2）2（yb）252（b1）2

整理得：

x2y24x2by2b220

令y=0,得x24x2b220

设圆D与入轴的两个交点为（x1,0）,（x2,0），则

x-ix24,x1x22b22

依题意|为X2|=（x1X2）2

4x1x28

即16-4（2b-22）=64，解得b=5

所以圆的方程为（x2）2（y5）241

高三数学专题复习

【例题】

【例1】设正方形ABCD的外接圆方程为x2+y2-6x+a=0（a<9）,C、D点所在直线I

的斜率为1,求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率。

3

解：

由（x-3）2+y2=9—a（a<9）可知圆心M的坐标为（3,0）

依题意：

ABMBAM-,kA