初中数学之一元一次方程要点解析.docx
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初中数学之一元一次方程要点解析
初中数学之一元一次方程要点解析
本章内容是代数学的核心，也是所有代数方程的基础。
丰富多彩的问题情境和解决问题的快乐很容易激起学生对数学的乐趣，所以要注意引导学生从身边的问题研究起，进行有效的数学活动和合作交流，让学生在主动学习、探究学习的过程中获得知识，提升能力，体会数学思想方法。
一、目标与要求
1.通过处理实际问题，让学生体验从算术方法到代数方法是一种进步；
2.初步学会如何寻找问题中的相等关系，列出方程，了解方程的概念；
3.培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。
二、重点
从实际问题中寻找相等关系；
建立列方程解决实际问题的思想方法，学会合并同类项，会解"ax+bx=c"类型的一元一次方程。
三、难点
从实际问题中寻找相等关系；
分析实际问题中的已经量和未知量，找出相等关系，列出方程，使学生逐步建立列方程解决实际问题的思想方法。
四、知识框架
五、知识点、概念总结
1.一元一次方程：
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。
2.一元一次方程的标准形式：
ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）。
3.条件：
一元一次方程必须同时满足4个条件：
（1）它是等式；
（2）分母中不含有未知数；
（3）未知数最高次项为1；
（4）含未知数的项的系数不为0。
4.等式的性质：
等式的性质一：
等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。
等式的性质二：
等式两边同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），等式仍然成立。
等式的性质三：
等式两边同时乘方（或开方），等式仍然成立。
解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：
等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。
5.合并同类项
（1）依据：
乘法分配律
（2）把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项；常数计算后合并成一项
（3）合并时次数不变，只是系数相加减。
6.移项
（1）含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。
（2）依据：
等式的性质
（3）把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。
7.一元一次方程解法的一般步骤：
使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。
一般解法：
（1）去分母：
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数；
（2）去括号：
先去小括号，再去中括号，最后去大括号；（记住如括号外有减号的话一定要变号）
（3）移项：
把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边；移项要变号
（4）合并同类项：
把方程化成ax=b（a≠0）的形式；
（5）系数化成1：
在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a.
8.同解方程
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。
9.方程的同解原理：
（1）方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。
（2）方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。
10.列一元一次方程解应用题：
（1）读题分析法：
……多用于“和，差，倍，分问题”
仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：
“大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套-----”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。
（2）画图分析法：
……多用于“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式是获得方程的基础。
11.列方程解应用题的常用公式：
12.做一元一次方程应用题的重要方法：
（1）认真审题（审题）
（2）分析已知和未知量
（3）找一个合适的等量关系
（4）设一个恰当的未知数
（5）列出合理的方程（列式）
（6）解出方程（解题）
（7）检验
（8）写出答案（作答）
一元一次方程牵涉到许多的实际问题，例如工程问题、种植面积问题、比赛比分问题、路程问题，相遇问题、逆流顺流问题、相向问题分段收费问题、盈亏、利润问题。
一元一次方程根的情况
△=b2-4ac
当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；
当△<0时，一元二次方程没有实数根
解一元一次方程的一般步骤
步骤
具体做法
变形依据
注意点
去分母
在方程两边同乘上所有分母的最小公倍数
等式的性质2
（1）分子要加括号；
（2）不要漏乘不含分母的项
去括号
一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号
（1）分配律
（2）去括号法则
（1）不要漏乘括号内各项；
（2）若括号前是“-”，去括号后括号内各项要变号
移项
把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到另一边
移项法则
（1）移项要变号，不移的项不变号；
（2）不要漏项
合并同类项
把方程化为ax=b（a≠0）的形式
合并同类项法则
系数相加，字母部分不变
系数化为1
把方程两边同除以未知数的系数a，得到方程的解
等式的性质2
要正确进行运算，不要把分子、分母颠倒
列方程解应用题的一般步骤
1.认真审题：
分析题中已知和未知，明确题中各数量之间的关系;
2.寻找等量关系：
可借助图表分析题中的已知量和未知量之间关系，找出能够表示应用题全部含义的相等关系;
3.设未知数：
用字母表示题目中的未知数时一般采用直接设法，当直接设法使列方程有困难可采用间接设法;
4.列方程：
根据这个相等关系列出所需要的代数式，从而列出方程注意它们的量要一致，使它们都表示一个相等或相同的量;
列方程应满足三个条件：
方程各项是同类量，单位一致，左右两边是等量;
5.解方程:
解所列出的方程，求出未知数的值;
6.写出答案：
检查方程的解是否符合应用题的实际意义，进行取舍，并注意单位。
简记为六个字：
审、找、设、列、解、答。
中考数学知识辅导：
直线的空间方程
1、一般式
ax+bz+c=0，dy+ez+fc=0
2、点向式：
设直线方向向量为（u，v，w），经过点（x0，y0，z0）
（X-X0）/u=（Y-Y0）/v=（x-x0）/w
3、x0y式
x=kz+b，y=lz+b
不管是上述中的哪一种形式的方程，都需要相应的条件支持。
中考数学复习辅导：
直线的点斜公式方程
不同于直线的一般式方程，在考试中遇见条件较为不明显的试题时，我们就可以应用直线的点斜式方程。
直线的点斜式
已知直线上一点（x1，y1），并且存在直线的斜率k，则直线可表示为
y-y1=k（x-x1）
适用范围：
k&ne；0
◆k=（y2-y1）/（x2-x1）（x1&ne；x2）
不管是什么样的有关于直线的方程公式，它们都是为便利解题而服务的。
一元一次方程延伸：
一元一次不等式
1、不等式
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。
2、不等式的解集
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
3、用数轴表示不等式的方法
4、不等式基本性质
⑴、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
⑵、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
⑶、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
不等式的性质：
⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc（c>0）
⑶a>b←→ac ⑷（传递性）a>b，b>c→a>c
⑸a>b，c>d→a+c>b+d.
5、一元一次不等式
⑴、一元一次不等式的概念
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b（a≠0）。
⑵、一元一次不等式的解法（在数轴上表示解集）
解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母
（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
即通过去分母、去括号、移项合并同类项，把不等式化为（或）（）的形式，再把系数化为1得出不等式的解集．
说明：
在去分母和化系数为l时，需特别注意不等式两边同时乘以（或除以）一个负数，要将不等号改变方向，其解集情况如下：
①当时，（或）．
②当时，（或）．
③当时，若，不等式无解（或不等式的解集为一切实数）．
④当时，若，不等式的解为一切实数（或不等式无解）．
6、一元一次不等式组
⑴、一元一次不等式组的概念
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
⑵、一元一次不等式组的解法（在数轴上表示解集）
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
即先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即为不等式组的解集．
两个一元一次不等式所组成的不等式组的解集的一般情况可见下表（其中）．口诀不等式组解集在数轴上表示
同小取小
同大取大
大小取中
两背为空
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