高考数学一轮复习第十章概率与统计第6课时用样本估计总体课时作业理新人教版.docx
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高考数学一轮复习第十章概率与统计第6课时用样本估计总体课时作业理新人教版
第6课时 用样本估计总体
考纲索引
1.统计图表.
2.样本数字的特征.
课标要求
1.了解分布的意义与作用,会列频率分布表、会画频率分布直方图、频率折线图,茎叶图,理解它们各自的特点.
2.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想.
知识梳理
1.频率分布直方图
（1）我们对总体作出的估计一般分成两种:
一种是用 ;
另一种是用 .
（2）作频率分布直方图的步骤
①求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）.
②决定 与 .
③将数据分组.④列频率分布表.⑤画频率分布直方图.
（3）在频率分布直方图中,纵轴表示
数据落在各小组内的频率用 表示.各小长方形的面积总和等于1.
2.频率分布折线图和总体密度曲线
（1）频率分布折线图:
连接频率分布直方图中各小长方形上端的 ,就得频率分布折线图.
（2）总体密度曲线:
随着样本容量的增加,作图时所分组数增加, 减小,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,即总体密度曲线.
3.茎叶图的优点
用茎叶图表示数据有两个突出的优点:
一是统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从茎叶图中得到;
二是茎叶图中的数据可以敦厚不,随时添加,方便记录与表示.
4.用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）众数,中位数、平均数
众数:
在一组数据中,出现次数 的数据叫做这组数据的众数.
中位数:
将一组数据按大小依次排列,把处在 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
平均数:
样本数据的算术平均数,即= .
在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积应该 .
（2）样本方差、标准差
标准差
其中xn是样本数据的第n项,n是 ,
是 , 是反映总体波动大小的特征数,样本方差是标准差的 .通常用样本方差估计总体方差,当样本容量接近总体容量时,样本方差很接近总体方差.
基础自测
1.某工厂生产滚珠,从某批产品中随机抽取8粒,量得直径分别为（单位:
mm）:
14.7,14.6,15.1,15.0,14.8,15.1,15.0,14.9,则估计该厂生产的滚珠直径的平均数为（ ）.
A.14.8mm B.14.9mm C.15.0mm D.15.1mm
2.一个容量为100的样本,其数据的分组与各组的频数如下:
组别
（0,10]
（10,20]
（20,30]
（30,40]
（40,50]
（50,60]
（60,70]
频数
12
13
24
15
16
13
7
则样本数据落在（10,40]上的频率为（ ）.
A.0.13 B.0.39 C.0.52 D.0.64
3.10名工人某天生产同一零件,生产的件数分别是15,17,14,10,15,19,17,16,14,12,则这一天10名工人生产的零件的中位数是（ ）.
A.14 B.16 C.15 D.17
4.一个容量为20的样本,已知某组的频率为0.25,则该组的频数为 .
5.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示,则这组数据的中位数和平均数分别是 .
（第5题）
指点迷津
◆平均数、中位数、众数的影响
（1）由于平均数与每一个样本数据有关,所以,任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这是中位数、众数都不具有的性质.
（2）众数考查各数据出现的频率,其大小只与这组数据中的部分数据有关.众数可以有多个.
（3）某些数据的变动对中位数可能没有影响.中位数可能出现在所给数据中,也可能不在所给数据中,当中间是两个数时,中位数为这两个数的平均值,当一组数据中的个别数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.
◆平均数、中位数、众数与频率分布直方图的关系
（1）中位数:
在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直方图的面积相等,由此可以估计中位数值.
（2）平均数:
平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和.
（3）众数:
最高的矩形的中点的横坐标.
◆茎叶图中的数字排列
茎叶图中,茎叶的数字由上而下按由小到大排列,叶上的数字由里向外按由小到大排列,便于找众数、中位数,便于分析数字的焦中程度.
考点透析
考向一 统计图表的应用
例1 （2014·汕头模拟）从某小学随机抽取100名同学,将他们的身高（单位:
厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图所示）,由图中数据可知a= .
【审题视点】 本题主要考查频率分布直方图的性质及应用.
【方法总结】 频率分布表、频率分布直方图、茎叶图、条形图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成,没有损失任何样本信息,可以随时记录;频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息.
变式训练
1.（2014·黄冈模拟）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据（单位:
毫克/每立方米）列出的茎叶图,则甲、乙两地浓度的方差较小的是 .
甲
乙
2
0.04
1 2 3 6
9 3
0.05
9
6 2 1
0.06
2 9
3 3 1
0.07
9
6 4
0.08
7
7
0.09
2 4 6
考向二 样本数字特征的应用
例2 （2014·潮州联考）小明家订了一份报纸,寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据,并绘制成频率分布直方图,如图所示.
（1）根据图中的数据信息,求出众数x1和中位数x2;（精确到整数分钟）
（2）小明的父亲上班离家的时间y在上午7:
00到7:
30之间,而送报人每天在x1时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等）,求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率.
【审题视点】 本题主要考查统计的图表及其应用,频率分布直方图,数据的统计特征,几何概型等.
【方法总结】 通过统计图表中的数据信息结合统计数据特征公式等加以分析与应用是解决统计与统计案例问题的切入点.
变式训练
2.（2014·长沙模拟）一组样本数据的茎叶图如图所示,则这组数据的平均数等于 .
1
4
2
01334
3
6
（第2题）
考向三 统计与概率的综合应用
例3 （2014·汕头模拟）某中学在高三年级开设了A,B,C三个兴趣小组,为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查,用分层抽样方法从A,B,C三个兴趣小组的人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据见下表（单位:
人）:
兴趣小组
小组人数
抽取人数
A
24
x
B
36
3
C
48
y
（1）求x,y的值;
（2）若从A,B两个兴趣小组抽取的人中选2人作专题发言,求这2人都来自同一兴趣小组的概率.
【审题视点】 本题主要考查概率与统计,统计的数据分析,分层抽样及其性质,古典概型及其应用.
【方法总结】 高中必修中学习了几何概型和古典概型两种概率问题,先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.再看是不是几何概型,它的结果要通过长度、面积或体积之比来得到.
变式训练
3.（2014·莆田质检）莆田往福州的某次动车途中经停福清站.为了方便莆田市VIP客户搭乘,车站信息管理员对该次动车VIP车厢（共4个座位）莆田至福州的全程空座位数n进行统计,得到10个车次样本数据的茎叶图,如图所示.（全程空座位数即莆田至福清、福清至福州两个站段的空座位数之和）
（1）求样本平均数
;
（2）某天,VIP客户李明因有急事凭身份证从莆田搭乘该次动车,补买VIP车厢无座票（没有座位,若有空座位则可就坐）前往福州,且途中不再更换车厢.若以样本平均数估计该次动车VIP车厢的全程空座位数,且在2个站段共8个座位中,每个座位成为空座位是等可能的.
（ⅰ）将VIP车厢第i号座位在莆田至福清站段标记为ai,在福清至福州站段标记为bi（i=1,2,3,4）,请列举出途中出现两个空座位所有的可能结果;
（ⅱ）求李明途中恰有一个站段有座位坐的概率.
0
0000111368
（第3题）
经典考题
典例 假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示.
甲品牌
乙品牌
（1）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;
（2）这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估计该产品是甲品牌的概率.
【解题指南】 样本容量n=100,每个小长方形的高度代表频数,可根据频率求概率.
【解】
（1）甲品牌产品寿命小于200小时的频率为
用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200小时的概率为
.
（2）根据抽样结果,寿命大于200小时的产品共有75+70=145（个）,
其中甲品牌产品是75个,所以在样本中,寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是
用频率估计概率,所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为
.
真题体验
1.（2014·重庆）某中学有高中生3500人,初中生1500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为（ ）.
A.100 B.150 C.200 D.250
2.（2014·山东）为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有示威者的舒张压数据（单位:
kPa）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为（ ）.
（第2题）
A.6 B.8 C.12 D.18
3.（2014·陕西）某公司10位员工的月工资（单位:
元）为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为
和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为（ ）.
4.（2014·天津）某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.
参考答案与解析
知识梳理
1.样本的频率分布估计总体的分布 样本的数字特征估计总体的数字特征 组距 组数 各小长方形的面积
2.中点 组距
4.最多 最中间
相等 样本容量 平均数
平均数 平方
基础自测
1.B 2.C 3.C 4.5 5.91.5,91.5
考点透析
【例1】 0.03 解析:
由频率分布直方图可得（0.005+0.035+a+0.02+0.01）×10=1,解得a=0.03.
【例2】
（1）x1=7:
00.
由频率分布直方图可知6:
5010,即410∴ 20×0.0033+20×0.0117+（x2-410）×0.0233
=20×0.0100+20×0.0017+（430-x2）×0.0233.
解得x2=419,即x2=6:
59.
（2）设报纸送达时间为x,
则小明父亲上班前能取到报纸等价于
如图可知,所求概率为
变式训练
1.甲 解析:
由茎叶图中的数据知甲地对应的数据比较集中,稳定性高,由其对应的方差较小.
2.23 解析:
由茎叶图知该组样本数据为14,20,21,23,23,24,36,则其平均数为
.
3.
（1）依题意,得
.
（2）（i）途中出现两个空座位的所有的可能结果为:
（a1,a2）,（a1,a3）,（a1,a4）,（a1,b1）,（a1,b2）,（a1,b3）,（a1,b4）,（a2,a3）,（a2,a4）,（a2,b1）,（a2,b2）,（a2,b3）,（a2,b4）,（a3,a4）,（a3,b1）,（a3,b2）,（a3,b3）,（a3,b4）,（a4,b1）,（a4,b2）,（a4,b3）,（a4,b4）,（b1,b2）,（b1,b3）,（b1,b4）,（b2,b3）,（b2,b4）,（b3,b4）,共28个.
（ii）记“李明途中恰有一个站段有座位坐”为事件A,
由（i）知,途中出现两个空座位共28个可能结果,且每个结果的发生是等可能的,故所有的基本事件共28个.
又事件A包含的基本事件为（a1,a2）,（a1,a3）,（a1,a4）,（a2,a3）,（a2,a4）,（a3,a4）,（b1,b2）,（b1,b3）,（b1,b4）,（b2,b3）,（b2,b4）,（b3,b4）,共12个,
故
.
故李明途中恰有一个站段有座位坐的概率是
.
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