高考真题 天津卷理科数学 1.docx

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高考真题天津卷理科数学1

2014·天津卷（理科数学）

1．[2014·天津卷]i是虚数单位，复数＝（　　）

A．1－iB．－1＋i

C.＋iD．－＋i

1．A　[解析]＝＝＝1－i.

2．[2014·天津卷]设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为（　　）

A．2B．3C．4D．5

2．B　[解析]画出可行域，如图所示．解方程组得即点A（1，1）．

当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.

图11

3．[2014·天津卷]阅读如图11所示的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（　　）

A．15

B．105

C．245

D．945

3．B　[解析]第1次循环，i＝1，T＝3，S＝1×3；

第2次循环，i＝2，T＝5，S＝1×3×5；

第3次循环，i＝3，T＝7，S＝1×3×5×7.

执行完后，这时i变为4，退出循环，故输出S＝1×3×5×7＝105.

4．[2014·天津卷]函数f（x）＝log（x2－4）的单调递增区间为（　　）

A．（0，＋∞）

B．（－∞，0）

C．（2，＋∞）

D．（－∞，－2）

4．D　[解析]要使f（x）单调递增，需有解得x<－2.

5．[2014·天津卷]已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一条渐近线平行于直线l：

y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

5．A　[解析]由题意知，双曲线的渐近线为y＝±x，∴＝2.∵双曲线的左焦点（－c，0）在直线l上，∴0＝－2c＋10，∴c＝5.又∵a2＋b2＝c2，∴a2＝5，b2＝20，∴双曲线的方程为－＝1.

6．[2014·天津卷]

图12

如图12所示，△ABC是圆的内接三角形，∠BAC的平分线交圆于点D，交BC于点E，过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F.在上述条件下，给出下列四个结论：

①BD平分∠CBF；

②FB2＝FD·FA；

③AE·CE＝BE·DE；

④AF·BD＝AB·BF.

则所有正确结论的序号是（　　）

A．①②B．③④

C．①②③D．①②④

6．D　[解析]如图所示，∵∠1＝∠3，∠2＝∠4，且∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴BD平分∠CBF，∴△ABF∽△BDF.

∵＝，∴AB·BF＝AF·BD.∵＝，∴BF2＝AF·DF.故①②④正确．

7．[2014·天津卷]设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

7．C　[解析]当ab≥0时，可得a>b与a|a|>b|b|等价．当ab<0时，可得a>b时a|a|>0>b|b|；反之，由a|a|>b|b|知a>0>b，即a>b.

8．[2014·天津卷]已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝（　　）

A.B.C.D.

8．C　[解析]建立如图所示的坐标系，则A（－1，0），B（0，－），C（1，0），D（0，）．设E（x1，y1），F（x2，y2）．由BE＝λBC得（x1，y1＋）＝λ（1，），解得即点E（λ，（λ－1））．由＝μ得（x2，y2－）＝μ（1，－），解得即点F（μ，（1－μ））．又∵AE·AF＝（λ＋1，（λ－1））·（μ＋1，（1－μ））＝1，①

·＝（λ－1,（λ－1））·（μ－1,（1－μ））＝－.②

①－②得λ＋μ＝.

9．[2014·天津卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．

9．60　[解析]由分层抽样的方法可得，从一年级本科生中抽取学生人数为300×＝60.

10．[2014·天津卷]一个儿何体的三视图如图13所示（单位：

m），则该几何体的体积为________m3.

图13

10.　[解析]由三视图可得，该几何体为圆柱与圆锥的组合体，其体积V＝π×12×4＋π×22×2＝.

11．、[2014·天津卷]设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和．若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为________．

11．－　[解析]∵S2＝2a1－1，S4＝4a1＋×（－1）＝4a1－6，S1，S2，S4成等比数列，

∴（2a1－1）2＝a1（4a1－6），解得a1＝－.

12．[2014·天津卷]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．

12．－　[解析]∵2sinB＝3sinC，∴2b＝3c.

又∵b－c＝，∴a＝2c，b＝c，

∴cosA＝＝＝－.

13．[2014·天津卷]在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点．若△AOB是等边三角形，则a的值为________．

13．3　[解析]将ρ＝4sinθ与ρsinθ＝a转化为直角坐标方程分别为x2＋（y－2）2＝4与y＝a.联立得x2＝－a2＋4a，且0

∵△AOB为等边三角形，∴a2＝3（－a2＋4a），解得a＝3或a＝0（舍）．

14．[2014·天津卷]已知函数f（x）＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f（x）－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．

14．（0，1）∪（9，＋∞）　[解析]在同一坐标系内分别作出y＝f（x）与y＝a|x－1|的图像如图所示．当y＝a|x－1|与y＝f（x）的图像相切时，由整理得x2＋（3－a）x＋a＝0，则Δ＝（3－a）2－4a＝a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故当y＝a|x－1|与y＝f（x）的图像有四个交点时，09.

15．、、[2014·天津卷]已知函数f（x）＝cosx·sin－cos2x＋，x∈R.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在闭区间上的最大值和最小值．

15．解：

（1）由已知，有

f（x）＝cosx·－cos2x＋

＝sinx·cosx－cos2x＋

＝sin2x－（1＋cos2x）＋

＝sin2x－cos2x

＝sin，

所以f（x）的最小正周期T＝＝π.

（2）因为f（x）在区间上是减函数，在区间上是增函数，f＝－，f＝－，f＝，

所以函数f（x）在区间上的最大值为，最小值为－.

16．、、[2014·天津卷]某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．

（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；

（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

16．解：

（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则

P（A）＝＝，

所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.

（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.

P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3），

所以随机变量X的分布列是

X

0

1

2

3

P

随机变量X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

17．、[2014·天津卷]如图14所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．

（1）证明：

BE⊥DC；

（2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；

（3）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角FABP的余弦值．

图14

17．解：

方法一：

依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图所示），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．C由E为棱PC的中点，得E（1，1，1）．

（1）证明：

向量BE＝（0，1，1），DC＝（2，0，0），

故BE·DC＝0，

所以BE⊥DC.

（2）向量BD＝（－1，2，0），PB＝（1，0，－2）．

设n＝（x，y，z）为平面PBD的法向量，

则即

不妨令y＝1，可得n＝（2，1，1）为平面PBD的一个法向量．于是有

cos〈n，BE〉＝＝＝，

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.

（3）向量BC＝（1，2，0），CP＝（－2，－2，2），AC＝（2，2，0），AB＝（1，0，0）．由点F在棱PC上，

设CF＝λ，0≤λ≤1.

故BF＝BC＋CF＝BC＋λ＝（1－2λ，2－2λ，2λ）．由BF⊥AC，得BF·AC＝0，因此2（1－2λ）＋2（2－2λ）＝0，解得λ＝，即BF＝.设n1＝（x，y，z）为平面FAB的法向量，则即不妨令z＝1，可得n1＝（0，－3，1）为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝（0，1，0），则

cos〈，〉＝＝＝－.

易知二面角FABP是锐角，所以其余弦值为.

方法二：

（1）证明：

如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.

因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.

（2）连接BM，由

（1）有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．

依题意，有PD＝2，而M为PD中点，可得AM＝，进而BE＝.故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝＝＝，因此sin∠EBM＝，

所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为.

（3）如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥AB，所以A，B，F，G四点共面．由AB⊥PA，AB⊥AD，得AB⊥平面PAD，故AB⊥AG，所以∠PAG为二面角FABP的平面角．

在△PAG中，PA＝2，PG＝PD＝，∠APG＝45°.由余弦定理可得AG＝，cos∠PAG＝，所以二面角FABP的余弦值为.

18．、[2014·天津卷]设椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

18．解：

（1）设椭圆右焦点F2的坐标为（c，0）．

由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.

又b2＝a2－c2，则＝，

所以椭圆的离心率e＝.

（2）由

（1）知a2＝2c2，b2＝c2.

故椭圆方程为＋＝1.

设P（x0，y0）．由F1（－c，0），B（0，c），

有＝（x0＋c，y0），＝（c，c）．

由已知，有·＝0，即（x0＋c）c＋y0c＝0.

又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①

又因为点P在椭圆上，

所以＋＝1.②

由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，即点P的坐标为.

设圆的圆心为T（x1，y1），则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.

设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，

所以直线l的斜率为4＋或4－.

19．、、[2014·天津卷]已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，

集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．

（1）当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.

（2）设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：

若an

19．解：

（1）当q＝2，n＝3时，M＝{0，1}，A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22，xi∈M，i＝1，2，3}，可得A＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．

（2）证明：

由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及an

s－t＝（a1－b1）＋（a2－b2）q＋…＋（an－1－bn－1）qn－2＋（an－bn）qn－1

≤（q－1）＋（q－1）q＋…＋（q－1）qn－2－qn－1

＝－qn－1

＝－1<0，

所以s

20．、[2014·天津卷]设f（x）＝x－aex（a∈R），x∈R.已知函数y＝f（x）有两个零点x1，x2，且x1

（1）求a的取值范围；

（2）证明：

随着a的减小而增大；

（3）证明：

x1＋x2随着a的减小而增大．

20．解：

（1）由f（x）＝x－aex，可得f′（x）＝1－aex.

下面分两种情况讨论：

（i）a≤0时，f′（x）>0在R上恒成立，可得f（x）在R上单调递增，不合题意．

（ii）a>0时，由f′（x）＝0，得x＝－lna.

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（－∞，－lna）

－lna

（－lna，＋∞）

f′（x）

＋

0

－

f（x）

－lna－1

这时，f（x）的单调递增区间是（－∞，－lna）；单调递减区间是（－lna，＋∞）．于是，“函数y＝f（x）有两个零点”等价于如下条件同时成立：

①f（－lna）>0；②存在s1∈（－∞，－lna），满足f（s1）<0；③存在s2∈（－lna，＋∞），满足f（s2）<0.

由f（－lna）>0，即－lna－1>0，解得0

故a的取值范围是（0，e－1）．

（2）证明：

由f（x）＝x－aex＝0，有a＝.设g（x）＝，由g′（x）＝，知g（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减．并且，当x∈（－∞，0]时，g（x）≤0;当x∈（0，＋∞）时，g（x）>0.由已知，x1，x2满足a＝g（x1），a＝g（x2）．由a∈（0，e－1）及g（x）的单调性，可得x1∈（0，1），x2∈（1，＋∞）．

对于任意的a1，a2∈（0，e－1），设a1>a2，g（ξ1）＝g（ξ2）＝a1，其中0<ξ1<1<ξ2；g（η1）＝g（η2）＝a2，其中0<η1<1<η2.

因为g（x）在（0，1）上单调递增，所以由a1>a2，即g（ξ1）>g（η1），可得ξ1>η1.类似可得ξ2<η2.

又由ξ1，η1>0，得<<，

所以随着a的减小而增大．

（3）证明：

由x1＝aex1，x2＝aex2，可得lnx1＝lna＋x1，lnx2＝lna＋x2.故x2－x1＝lnx2－lnx1＝ln.

设＝t，则t>1，且解得x1＝，x2＝，所以x1＋x2＝.①

令h（x）＝，x∈（1，＋∞），

则h′（x）＝.

令u（x）＝－2lnx＋x－，得u′（x）＝.

当x∈（1，＋∞）时，u′（x）>0.因此，u（x）在（1，＋∞）上单调递增，故对于任意的x∈（1，＋∞），u（x）>u

（1）＝0，由此可得h′（x）>0，故h（x）在（1，＋∞）上单调递增．

因此，由①可得x1＋x2随着t的增大而增大．

而由

（2），t随着a的减小而增大，所以x1＋x2随着a的减小而增大．