数学建模.docx
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数学建模
魅力数模美丽建工
建筑工程学院第五届数学建模竞赛
自信坚强团结创新
论文题目超市运作问题
参赛编号2008—tj—06—07
监制：
建筑工程学院团委数学建模协会（2009年11月）
建筑工程学院第五届数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了第五届建工数学建模竟赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与本队以外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们愿意承担由此引起的一切后果。
我们的参赛编号为：
2008-tj-06-07
参赛队员（签名）：
队员1：
张震
队员2：
常征
队员3：
李扬帆
超市运作问题
【摘要】
随着中国的加入WTO，经济全球化的加剧，中国内地的企业竞争越来越激烈。
在竞争中，越来越多的企业认识到要想在竞争中胜出，已经不能仅仅依靠资金、人员的数量优势和技术的进步了，更重要的是重视对资金和人员的管理创新，使资金、人员和技术获得最合理的安排，从而使企业获得最大的收益，在竞争中脱颖而出。
本文根据提出的具体案例，考虑到每一个阶段的人员安排都会对下一个产生影响，结合动态规划思想，利用穷举法构建穷举法模型，并列出线性方程组，利用VB程序语言编写程序求解。
得出结论：
最终的人员分配不能达到理想情况，从而建议企业在进行人员分配时必须得重视其合理性，才能达到以最少的代价获得最大的效益的目的。
然后，考虑到穷举法模型过于抽象，而且当时段和人员较多时，求解方程存在困难，不利于模型的推广。
针对其缺陷进行优化，建立蚁群算法模型，并借鉴遗传算法进行求解。
接着，将该模型进一步推广，提出了基于蚁群算法的人力资源分配算法。
在该算法中，利用信息素表征单个解的性能，通过奖惩机制，使其反映加组合解的优劣，通过信息挥发机制，淘汰劣质解。
仿真表明，该算法可以有效解决人力资源分配问题。
对于问题二的加班问题，主要借鉴了问题一中建立的穷举法模型思想，通过递推法求解。
目录
1问题的背景与重述4
1.1问题的背景4
1.2问题的重述4
2问题的分析与建模思路图5
2.1问题分析5
2.2建模思路图6
3模型假设6
4符号系统7
5现有高等教育学费模型的挖掘与分析7
5.1确定学费标准的基本因素7
5.2现有高等教育学费模型的建立8
5.3模型的求解8
5.4模型误差检验10
5.5现有高等教育学费模型的定量分析11
6高等教育学费的博弈评价体系14
6.1博弈论方法与纳什均衡的概述14
6.2高校收费的纳什均衡理论分析14
6.3高校经费各级政府财政拨款的博弈分析17
6.4基于原有学费制定体系的博弈论评价19
6.5新学费制定体系原则的提出21
7新高等教育学费模型的建立与求解22
7.1原有学费体系的缺点22
7.2新学费体系模型的建立22
7.3新学费体系模型的求解24
7.4模型的检验25
8BP神经网络-遗传算法仿真模型25
8.1BP神经网络-遗传算法模型的原理25
8.2BP神经网络的拓扑结构26
8.3BP神经网络-遗传算法模型的建立26
8.4学费仿真模型的应用27
9和谐社会背景下的高校贫困学生资助体系重构29
9.1现有的高等教育贫困学生资助体系29
9.2现行高校贫困学生资助体系存在的问题31
9.3高校贫困学生资助体系重构的政策建议31
（一）问题的背景与重述
据报道，我国大型企业的人力资源利用效率与世界先进水平相比差距较大。
此，在节约型社会中，人力资源管理再一次成为焦点。
目前，国外企业在人力资源管理方面取得了较大的成果，其中尤以美国和日本企业最具代表性。
与国外先进的人力资源管理相比，我国企业的人力资源管理虽然进行了十几年，有收获但也存在很多问题。
通过与国外先进人力资源管理水平的比较，结合我国实际情况，找出差距、走出适合自己的道路。
我国企业要想在未来占据成本竞争优势,就要建立起高效的信息管理系统，充分调配和平衡人力、资金、信息、物料、设备、时间、方法等各方面资源，加强财务管理、提高资金运营水平、建立高效供应链、减少库存、提高生产效率、降低成本、提高客户服务水平，这样才能提高盈利，最终全面建立起企业竞争优势，提高企业的市场生存能力。
我国企业成本管理的手段和方法，缺乏先进性、科学性和适应性。
由于受长期计划经济观念的影响，企业在成本管理中往往只注重生产成本的管理和显现的成本因素，如材料费、人工费、财务费用和管理费用等，而忽视了隐含的成本因素，如市场开拓、内部结构的调整、企业规模、管理文化等，所以没有能够全面地揭示出企业成本的真正构成。
难怪麦肯锡这样评价中国的企业：
成本优势的巨人却是成本管理上的弱智。
中国低人力成本的IT企业平均利润率只有5％一10％，而高人力成本的戴尔、英特尔的利润率却高达70％一80％；中国所有银行的利润相加仅略高于汇丰银行一家的利润。
一个被我们长期忽视的问题：
成本管理。
本文将重点从成本管理的人员时间安排角度出发，建立合理的数学模型，就企业的人员时间安排提出合理的建议，以达到提高企业的人员利用和工作效率，降低人力费用的目的。
我们选择的是D小题，它是一个关于如何合理安排人力资源的问题，第一小题问是的是在给定限制条件下求最少员工问题，第二题则是在确定了员工人数条件下解出员工作息方案，现问题重述如下：
菲尼斯超市连锁集团拟在徐州投资建设一家24小时营业的超市，通过前期市场调研，得到在该地区一个工作日（分为12个两小时长的时段）的每个时段需要工作人员数目，如下表：
每个时段的人员需求表
编号时段需要工作人员人数
00点-2点30
12点-4点30
24点-6点30
36点-8点70
48点-10点80
510点-12点80
612点-14点80
714点-16点60
816点-18点62
918点-20点70
1020点-22点60
1122点-24点40
问题1：
假定每个员工每天工作8小时，且在连续工作4小时后需要休息2小时，请计算为满足需求至少需要多少个员工。
问题2考虑到节约成本，公司计划招工160名，但这个数目不足以满足超市需求。
因此部分员工要加班。
每天加班时间为2小时，且紧跟随在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息，请给出员工工作时间安排方案，以使需要加班的员工人数最少。
（二）问题的分析
随着社会与经济的发展，现在人来越来越关注资源的合理安排和利用。
当然这里的资源不仅仅指能源、矿产等自然资源，还包括人力资源。
本题讨论的就是人力资源的一个最优化问题。
本题第一问首先设定了每个时间段所需员工人数，然后根据实际情况假定每个员工一天只能工作8个小时，且不能连续工作四个小时以上（不含四小时）。
因此我们采用了运筹学中关于动态规划的相关思想，这也是我们建立模型的最基本思想。
我们假定共有n个工作人员、每个工作人员都有一个状态属性，在每个时间段都有一个确定的属性值，其值为1或者0，1代表此员工在此时间段处于工作状态，0则表示此员工在此时间段处于休息状态，然后依据题目所给的限制条件建立函数，运用数学函数lingo带入求出最优解。
本题的第二问给定了员工的人数，但不满足超市需要，于是想到了另一个解决方法，即部分员工需要加班以满足需求，并给出最终方案。
这其实也是一个最优解问题，既要在满足超市要求的情况下使员工加班的总时间最少，因为这样超市才能最大可能的节约本。
这两道题解决的基本思想其实相差不大，而且两题本身也相辅相成。
这两个问题具有较明显的关联性和继承性，可以利用上一层的结果去分析处理下层更加复杂的部分。
（三）模型假设
1.第一问的基本假设
1）假设24个小时分成12个工作时间段，每个时间段均匀为2个个小时。
2）假设每个员工在12个工作时间段中的四个时间段工作，且不能连续工作3个时间段。
3）假定在每个时间段工作的员工可以大于超市的最低需求。
4）假设每个时间段不会发生突发情况，超市最低需求人数不变。
5）认为每个员工的工资按天计算。
2.第二问的基本假设
1）假设160名员工分为a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p16个班，每班10人，其中p班分为两组p1,p2。
p1中2人，p2中8人。
2）假设每名员工每天工作时间分为两段——第一段中员工必须连续工作4个小时，第二段也必须连续工作4个小时。
3）假设每个时间段不会发生突发情况，超市最低需求人数不变。
4）认为员工加班的工资按小时计算。
（四）符号及其变量的说明
表4.1符号及其变量的具体说明
符号&变量符号&变量的具体说明
n开始时假定工作人员总数，是个不定值。
A（i，j）状态函数，值为1或0，表明编号为i的工作人员在j时间段的工作状态1表示工作，0表示休息（1≤i≤n，0≤j≤11）。
每时段需要工作人员人数。
Min需要加班员工人数的最小值
a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p代表16个班的班号
p1组名（代表p班中第一个组）
p2组名（代表p班中第二个组）
（五）.问题一的解决
5.1基本思想
首先把一天24个小时分成12个工作时间段，每个时间段所需的工作人数确定。
假定共需要n个员工，并把每个员工从1到n编号，每个员工每天需要工作8小时，即4个时间段。
我们现在以状态函数A（i,j）属性值1或0来代表编号为i的员工在j这个时间段内的工作状态，1代表其在这个时间段处于工作状态，0表示其在这个时间段处于休息状态。
依据上诉假设，就可以将题中所给对象转化成数学符号，并建立函数关系，这样就能建立模型了。
5.2模型的建立
根据上诉假设每个工作人员都有A（i,0），A（i,1），A（i,2），A（i,3），A（i,4），A（i,5），A（i,6），A（i,7），A（i,8），A（i,9），A（i,10），A（i,11）12个状态参数，其值为1或0。
共有n个员工，则共有12n个状态参数，现建立方程
A（1，0）+A（1，1）+A（1，2）+…+A（1，9）+A（1，10）+A（1，11）=4
A（2，0）+A（2，1）+A（2，2）+…+A（2，9）+A（2，10）+A（2，11）=4
A（3，0）+A（3，1）+A（3，2）+…+A（3，9）+A（3，10）+A（3，11）=4
………
A（i，0）+A（i，1）+A（i，2）+…+A（i，9）+A（i，10）+A（i，11）=4
………
A（n，0）+A（n，1）+A（n，2）+…+A（n，9）+A（n，10）+A（n，11）=4
注：
以上共n个方程，每个方程表示的是每个员工每天都必须工作四个时间段。
以第一个方程为例，表示的是编号为1的员工每天的工作时间是8小时。
A（1，0）+A（2，0）+A（3，0）+…+A（i，0）+…+A（n,0）≥30
A（1，1）+A（2，1）+A（3，1）+…+A（i，1）+…+A（n,1）≥30
A（1，2）+A（2，2）+A（3，2）+…+A（i，2）+…+A（n,2）≥30
A（1，3）+A（2，3）+A（3，3）+…+A（i，3）+…+A（n,3）≥70
A（1，4）+A（2，4）+A（3，4）+…+A（i，4）+…+A（n,4）≥80
A（1，5）+A（2，5）+A（3，5）+…+A（i，5）+…+A（n,5）≥80
A（1，6）+A（2，6）+A（3，6）+…+A（i，6）+…+A（n,6）≥80
A（1，7）+A（2，7）+A（3，7）+…+A（i，7）+…+A（n,7）≥60
A（1，8）+A（2，8）+A（3，8）+…+A（i，8）+…+A（n,8）≥62
A（1，9）+A（2，9）+A（3，9）+…+A（i，9）+…+A（n,9）≥70
A（1，10）+A（2，10）+A（3，10）+…+A（i，10）+…+A（n,10）≥60
A（1，11）+A（2，11）+A（3，11）+…+A（i，11）+…+A（n,10）≥40
注：
以上共12个方程，每个方程表示的是每个工作时间段能出勤人数一定要大于或等于超市最低需求。
以第一个方程为例，表示的是能在编号为零的这个时间段出勤的人数不小于30人，即不小于超市的最低需求。
A（i，j）+A（i，j+1）+A（i，j+2）≠3
注：
上诉代数式包括了12n方程，表示每个员工不能连续工作3个时间段，即不能超过4小时（不包括4小时）。
至此，模型就初步建立了，此模型的思想来自于运筹学当中的动态规划理论，即把24个小时分成12个时间段，每个时间按满足的不同条件具体分析，列出方程，求解。
求解的基本算法是穷举法。
5.3模型的求解
依据上诉数学模型，利用visualbasic软件编（具体程序代码见附件1）程求解得：
n的最优解为181。
图5.3.1问题一结果图
图5.3.2最优解图解
5.4结果分析
上述数学模型求解是通过visualbasic编程，利用穷举法得出的，在visualbasic程序中i必须大于等于173，其中173是按如下算法计算出来的：
173=
可以看出173是超市最理想的需要员工数。
由此可知i小于173，是不可能的，所以用i大于等于173来限制visualbasic的输出结果，得到最优解n=181。
5.5模型的优化——蚁群算法模型
5.5.1蚁群算法模型的原理
蚁群算法（AntColonyAlgorithm）是一种源于生物世界的仿生类随机搜索算法。
自从意大利学者Dorigo教授等提出以来，它在不同组合优化问题中得到了长足的发展并取得了良好的效果。
比如蚁群算法在旅行商问题中的应用．3J、蚂蚁算法求解图形着色问题、分割问题、粗糙数据约减[4-6J等等。
蚁群算法具有较强的鲁棒性、优良的分布式计算机制、易于与其它方法相结合等优点。
蚁群算法原理如下：
如图1所示，蚂蚁在离开A点寻找食物的过程中，每一只蚂蚁都会在自己身后留下一定量的信息素（pheromone），用于提示自己回巢的路径，并为其他蚂蚁提示食物的方向。
当它们碰到一个还没有走过的路口时，就随机地选择一条路径前行，同时释放出与路径长度有关的信息素。
蚂蚁走的路径越长，则释放的信息量越小。
当后来的蚂蚁再次碰到这个路口的时候，选择信息量较大的概率相对较大，这样便形成了一个正反馈机制。
最优路径上的信息量便会越来越大，而其他路径上的信息量却会随时间的增加而逐渐减少，最终整个蚁群便会找到最优路径。
C
图5.5.1蚂蚁觅食示意图
在图1中，设蚂蚁要经过A点到D点觅食，I3（3为障碍物。
由于障碍物的存在，蚂蚁只能经过B或C，然后到达Do假设有两只蚂蚁从A出发到D觅食，蚂蚁m经过B到达D，而蚂蚁n经过C到达D，因为路径ABD的长度大于路径ACD的长度。
所以在蚂蚁速度相同的情况下，n回到起始点A时，ITI还在路上，此时路径ACD的信息量要高于ABD的信息量，所以后续的蚂蚁将以更大的概率选择路经ACDE8
基于蚁群算法的算法描述如下：
先根据实际情况预测各个时段的实际分配的人数的范围，时段按照定的顺序排列，一个时段作为一个节点的集合，集合里的元素则是该时段可供选择的值，蚂蚁按照节点排列的顺序遍历各时段（每个班次有多个元素，但每次只访问一个元素），根据信息素的强度选择下一时段里的元素。
在每个时段都选择一个可行的元素（值）之后，
根据要求判断该路径上的元素组合是不是满足约束条件蚂蚁转移时的转移可能性与轨迹信息素强度成正比，也就是说，在满足约束的条件下总和越小，轨迹信息素强度越大，越容易被选择；走过的蚂蚁越多，在路径上留下的轨迹信息素量越多，轨迹强度就越强，同样也容易被选择。
经过多次循环后，所有的蚂蚁所走的路就必然相同，这也就是最佳路径
图5.5.1.1算法流程
其中，α代表信息素浓度的权重，β代表可选结点信息的权重，
（t）表示t时刻时段i的第j个可选值的信息素，
（t）是指t时刻时段i中选择第j个值的启发程度，由某种启发算法确定，文中使用的启发式算法是根据选择的值的大小与该路径的比值关系，其中s为第i个时段选择的值，即：
5.5.2蚂蚁算法模型的建立
5.5.2.1在建模的过程中为使求解更为方便，进行以下假设：
每个时段都已经固定，不同的班次的上班时段互不影响。
目标函数为总的人员上班代价的最小值。
由上面的问题描述，定义
为班次的集合，
为时段的集合，一个员工上班次
的代价为
，
为时段
所需的人数。
由集合覆盖模型
，若时段
上有时段
的人员上班，记作
◇
，那么由此可以定义一个矩阵A，其中：
此模型将班次方案的求解转化为一个整数线性规划问题：
5.5.2.2状态转移规则
在搜索过程中，蚂蚁根据下一班次中各个可供选择的值的信息量及路径的启发信息来计算状态转移概率。
（t）表示在t时刻蚂蚁k选择第i时段的第可选值的选择概率：
5.5.2.3轨迹强度的更新规则
在基于蚁群算法的人力资源分配算法中，所有时段的可选值的信息素只在每次遍历之后更新，即利用整体信息进行更新。
对于遍历之后不是可行解的，对其进行惩罚，可以引导其他蚂蚁远离该解，避免该解的组成部分组合成其他解，从而加速算法的收敛。
信息素更新根据公式如下：
式（5）第一部分表示每一代蚂蚁走完全程后所有信息素挥发，P是挥发系数；第二部分表示信息素的修改，具体计算方法在式（6）中给出：
若此次循环中经过第i时段的第j个值，且该次循环的值满足排班要求
否则
根据一次循环后的组合是否满足排班要求，对信素做相应处理。
Q是信息素强度，L表示此次循选值的总和，也即人力代价总和。
初始状态的各时段的可选值的信息素随机给出，其中Ar（t）的计算如下
5.5.2.4详细步骤
详细步骤如下：
（1）初始化待排的时段集合以及节点图中各时段的可选值对应的信息素。
（2）根据算法规定的数量放出蚂蚁，蚂蚁的初始出发点随机置于第一个时段的可选值上，初始化结点集。
（3）计算蚂蚁在当前时段的可选值的信息素强度和启发式信息素强度，根据状态转移规则筛选出蚂蚁下一时段要选择的值。
在目标选取过程中，借鉴遗传算法中的轮盘方法（roulettewhee1）进行选择[。
（4）一次循环结束后根据所选的各个时段的系数判断每个时段是否均满足要求（每个时段分配的话务员数都应该大于该时段的预测量）如满足要求，根据规则更新信息素；否则，转向（3）。
（5）如果达到最大搜索次数，则输出目前最优解；否则转向步骤
（2）。
5.2.2.4结束语
提出了基于蚁群算法的呼叫中心人力资源分配算法。
在该算法中，利用信息素表征单个解的性能，通过奖惩机制，使其反映加组合解的优劣，通过信息挥发机制，淘汰劣质解。
仿真表明，该算法可以有效解决呼叫中心人力资源分配问题。
（六）.问题二的解决
6.1基本思想
首先把160名员工分为a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,m,n,o,p16个班，每班10人，其中p班分为两组p1,p2。
p1中有2人，p2中有8人。
现在只有160名员工，显然不能够满足超市需求。
因此为了充分利用人员，节约成本，用现有的员工创造最大的价值，必须对部分员工进行合理分配加班任务，使得加班员工人数最少。
由本题知：
员工每天加班时间为2小时，且紧跟在后一个4小时工作时段之后，中间没有休息。
根据上诉，现在假设：
每名员工每天工作时间分为两段——第一段中员工必须连续工作4个小时，第二段也必须连续工作4个小时。
这样通过大量计算并结合前后关系，可以得到最优解，并列出员工时间安排方案。
6.2模型的建立
在上述假设的基础上，通过自己总结计算经验，可以得到如果要合理分配160员工，必须使这160名员工在0点—12点之间全部工作过至少两小时，然后再按照上诉假设，合理安排员工是否加班，是否休息，是否下班，达到员工最优配置。
6.3模型的求解
依据上诉假设理论及经验，可以列出如下员工工作安排表：
编号
时段
需要员工数
员工工作时间安排方案
0
0点-2点
30
a,b,c
1
2点-4点
30
a,b,c
（a,b,c三班接下来休息）
2
4点-6点
30
d,e,f
3
6点-8点
70
d,e,f
g,h,i,j
（d,e,f三班接下来休息）
4
8点-10点
80
g,h,i,j
k,l,m,n
（g,h,i,j四班接下来休息）
5
10点-12点
80
k,l,m,n
o
a,b
p1,p2
（k,l,m,n四班接下来休息）
6
12点-14点
80
o
p1,p2
a,b
c,d,e,f
（o,p1,p2班接下来休息）
7
14点-16点
60
a,b（加班）
c,d,e,f
（a,b下班）
8
16点-18点
62
c,d（加班）
g,h
p1
i,j
c,d（下班）
9
18点-20点
70
g,h,i,j
p1,p2
k,l
（g,h,i,j下班）
10
20点-22点
60
k,l,m,n
o
p1（加班）
p2
（p2,l下班）
11
22点-24点
40
m,n
o
k（加班）
（m,n,o,k下班）
6.4结果分析
由表格6.3可知需要员工加班的班号或者组号为：
a,b,c,d,p1,k。
这样可以得到需要加班的员工人数最少可以按下式计算：
Min=10+10+10+10+2+10=52
即需要52人加班，可以使加班人数最少，符合超市运作要求，且使超市成本最低。
（七）.模型的科学性分析
极强的逻辑性是数学建模论文思维紧密所必不可少的前提，我们在处理好数据的基础上做好每一步的推导工作，通过对新体系的仿真使模型具有很好的实用性，因此，准确的数据与严谨的公式推导是本文科学性的强有力的说明。
我们思路、方法及数学模型的合理性主要体现在以下几个方面：
7.1.1假设的合理性
无论是从题目中归纳出的假设条件，还是根据查找文献材料所确定的假定内容，我们都做到了有依可寻，避免了主观的臆断而出现模型过于简化的情况，合适的假设是我们模型求解的关键，从求解结果的分析来看假设也是合情合理的。
7.1.2方法的科学性
本题的问题虽然只有二问，但是我们却把它划分为许多小问进行处理，化整为散，逐渐深入，使得问题解决得更加完善。
同时针对不同的数学模型相应的使用如穷举算法、蚁群算法等数学工具来求解，使问题解决得更为科学，更有说服力。
7.1.3求解方法的可靠性。
我们用软件VB对模型进行了求解，并且都在模型求解之后对模型进行了检验，保证了模型求解的可靠性。
7.1.4模型的现实意义
穷举法模型和蚂蚁算法模型建立以后，对其进行仿真分析得出企业对于人员的最好分配方案，并与企业的原分配方案进行比较，根据比较结果可对于企业提出相应
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