方程根的讨论教案.docx
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方程根的讨论教案
不等式的应用
（1）——方程根的讨论教案
教学目标
1．能应用不等式的有关知识，对一元二次方程的实根分布进行讨论．
2．借助二次函数的图象进行实根分布的讨论，培养学生数形结合的思想．
3．能将实根分布等价转化为不等式（组）的求解问题，体现等价转化的数学思想．
教学重点与难点
重点：
借助二次函数的图象将一元二次方程实根分布的条件等价转化为由方程或不等式组成的条件组．
难点：
寻求实根分布条件的等价转化．
教学过程设计
（一）引入新课
师：
前阶段我们研究了不等式的性质，不等式的解法以及不等式的证明．现在我们一起研究不等式在方程根的讨论问题上的应用．
（板书：
不等式的应用——方程根的讨论）
师：
请同学们思考此题的解法．
（出示小黑板或投影幻灯片）
练习：
实数m取何值时，方程
x2＋2mx＋2m2－3＝0①
有：
（1）两个正根？
（2）一个正根，一个负根？
（教师巡视后，发现学生中的不同解法，肯定正确方法，纠正偏差）
生乙：
（1）由一元二次方程根与系数的关系可知：
方程
（1）有两个正根的充要条件是：
师：
本题有多种不同的解法：
生甲应用求根公式；生乙应用根与系数的关系（韦达定理）．不难看出，方程的实根分布问题的讨论可以等价转化为解不等式（组），但是不等式（组）是否与原命题等价是解题正确与否的关键．
师：
由于一元二次方程，一元二次不等式与二次函数三者有着密切的联系，是否可以考虑应用二次函数的图象与性质？
（二）讨论
生：
一元二次方程的实根是相应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标，讨论一元二次方程实根的分布问题可转化为讨论二次函数的图象与x轴的交点的位置问题．
师：
不妨设y=f（x）=x2＋2mx＋2m2－3，这是二次函数，其图象是开口向上的抛物线（如图5－6），若方程①有两个正根，即抛物线y=f（x）与x轴正半轴有两个交点，或与x轴正半轴相切，其充要条件是什么？
生：
首先判别式Δ≥0，这样可以保证抛物线与x轴有两个交点，或与x轴相切．
师：
满足Δ≥0的条件，如图5－7抛物线与x轴的两个交点，一个在x轴正半轴上，而另一个在x轴负轴上．可这两个交点应都在x轴正半轴上．
生：
图5－6与图5－7比较发现，抛物线与y轴的交点应在正半轴上，即在y轴上的截距大于0．
师：
如何计算抛物线在y轴上的截距？
生：
抛物线在y轴上的截距为f（0），因此f（0）＞0．
师：
比较图5－6与图5－8，寻找其差别之处，还应添加什么条件？
生：
两图象的主要不同之处在于对称轴的位置不同，图5－6所示抛物线的对称轴在y轴右侧，而图5－8所示抛物线的对称轴在y轴左侧，因此在条件中应添加对称轴x=－m＞0的条件．
师：
这样我们就得到了抛物线
y=f（x）=x2＋2mx＋2m2－3
与x轴正半轴有两个交点，或与x轴正半轴相切，即方程x2＋2mx＋2m2－3－0，有两个正根的充要条件是：
师：
若方程①有一个正根，一个负根，抛物线与x轴的交点位置又如何？
其所对等价条件应考虑几方面？
生：
若方程①有一个正根，一个负根，抛物线y=f（x）与x轴有两个交点，分别位于原点的两侧．如图5－9首先应考虑判别式Δ＞0，还需考虑抛物线在y轴上的截距小于0，即f（0）＜0．
师：
当f（0）＜0时，请同学们试一试抛物线y=f（x）与x轴是否一定有两个交点？
并且这两个交点是否一定位于原点的两侧？
（要教给学生思考问题的方法，即原命题与其逆否命题是等价命题．因此，只须考虑抛物线y=f（x）与x轴没有两个交点（包括无交点和一个交点的两种情况）时，f（0）≥0是否成立；这两个交点位于原点的同侧或有一点在原点上，f（0）≥0是否成立．这样，学生就可以通过作图，直观得出结论，既省去了繁琐的证明过程，又培养了数形结合的思想，可谓一举两得．学生不难得出以下5种图形，（如图5－10～5－14），从而得出肯定的结论）
（板书）师：
因此，抛物线y=f（x）=x2＋2mx＋2m2－3．与x轴有两个交点，且分别位于原点两侧，即方程x2＋2mx＋2m2－3=0，有一个正根，一个负根的充要条件
师（小结）：
关于一元二次方程的实根分布问题通常有三种不同的处理方法：
（1）应用求根公式法；
（2）应用根与系数的关系（韦达定理）；（3）应用二次函数的图象与性质．
（三）巩固
（板书）例1m取何实数值时，关于x的方程
x2＋（m－2）x＋5－m=0
的两个实根都大于2？
（在学生充分思考的前提下，发现错误，在及时分析、纠正错误的同时，使学生分析解决问题的能力得以提高）
师：
同学中有这样一种作法：
解：
设方程的两根为x1，x2．
比较此答案与应用二次函数图象所得答案－5＜m≤－4不符，究竟问题出在哪里？
（此时，利用此题训练学生举反例的能力，从而培养学生批判的思维品质）
生：
取m=－5＜－4，方程变为x2－7x＋10=0，这时有一根为2，不符合题意，因此解法错误．
（板书）正确解法1：
（应用韦达定理）
所以原方程两个实根都大于2的充要条件是
所以当－5＜m≤－4时，方程的两个实根都大于2．
正确解法2：
（应用二次函数）
设f（x）=x2＋（m－2）x＋5－m，如图5－15原方程两个实根都大于2的充要条
师：
若m为何实数时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2，又将如何解决呢？
（由学生自己解决，教师点评解法）
解法1：
（利用韦达定理）
所以原方程的两个根一个大于2，另一个小于2的充要条件是：
（x1－2）（x2－2）＜0．解得：
m＜－5．所以当m＜－5时，方程的一个实很大于2，另一个实根小于2．
解法2：
（应用二次函数）
设f（x）=x2＋（m－2）x＋5－m，如图5－16，原方程一个实根大于2，另一个实根小于2的充要条件是f
（2）＜0，即4＋2（m－2）＋5－m＜0．解得m＜－5．所以当m＜－5时，方程的一个实根大于2，另一个实根小于2．
（板书）例2已知关于x方程：
x2－2ax＋a=0
有两个实根α，β，且满足0＜α＜1，β＞2，求实数a的取值范围．
师：
利用求根公式，将0＜α＜1，β＞2转化为关于a的不等式组，求a的取值范围，计算将会很繁琐．而利用根与系数关系进行转化时，很难得到充要条件．因此，考虑利用二次函数图象，数形结合寻找问题解决的充要条件．
设y=f（x）=x2－2ax＋a,如图5－17,若方程f（x）=0的两根分别在区间（0,1）和（2,＋∞）内，即抛物线y=f（x）与x轴的两个交点在分别位于原点与点（1，0）之间和点（2，0）的右侧，由先前的经验可知，只需考虑f（0），f
（1），f
（2）的符号，而无需考虑判别式以及对称的位置，因此得出其充要条件为：
（板书）解：
设f（x）=x2－2ax＋a，则方程f（x）=0的两个根α，β就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标，如图5－17，0＜α＜1，β＞2的充要条件是：
（四）小结
1．讨论一元二次方程的根的分布情况时，往往归结为不等式（组）的求解问题，其方法有3种：
（1）应用求根公式；
（2）应用根与系数关系；（3）应用二次函数图象．在进行转化时，应保证这种转化的等价性．
2．就这三种方法而言，应用二次函数图象和性质应是比较简捷的一种方法．
设f（x）=ax2＋bx＋c（a＞0），方程ax2＋bx＋c=0的两个根为α，β（α≤β），m，n为常数，且n＜m，方程根的分布无外乎两种情况：
3．在确定充要条件时，注意数形结合，往往收到事半功倍的效果．
（五）作业
1．已知关于x的方程3x2＋（m－5）x＋7=0的一个根大于4，而另一个根小于4，求实数m的取值范围．
一根大于4，另一根小于4的充要条件是：
f（4）＜0）
2．已知关于x的方程x2＋2mx＋2m＋3=0的两个不等实根都在区间（0，2）内，求实数m的取值范围．
3．已知关于x的方程3x2－5x＋a=0的有两个实根α，β，满足条件α∈（－2，0），β∈（1，3），求实数a的取值范围．
（－12＜a＜0．提示：
令f（x）=3x2－5x＋a，由图象特征可知方程f（x）=0的两
*4．已知关于x的方程（m－1）x2－2mx＋m2＋m－6=0有两个实根α，β，且满足0＜α＜1＜β，求实数m的取值范围．
则方程f（x）=0的两个根α，β，就是抛物线y=f（x）与x轴的两个交点的横坐标．
如图5－18，0＜α＜1＜β的充要条件是
课堂教学设计说明
1．数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，简单地说就是“数”与“形”，“数与形”之间是有紧密联系的，是可以相互转化的．数形结合的思想是中学数学中要求学生必须掌握的一种数学思想，同时也是高考中的必考内容，可以说在高考中对数学能力的考查主要体现在对数学思想方法的考查上，因此在日常教学中应注重对学生进行数学思想的培养．
2．在应用数形结合思想解决与方程、不等式有关的问题时，应考虑设辅助函数、利用函数图象来解决．应用数形结合，往往收到事半功倍的效果，但在进行转化时要注意等价转化．
在教学过程中体现教师是主导，学生是主体．教师通过教材，选用合适的教学方式和手段，把知识、技能传授给学生，发展学生的数学能力，将人类总体的知识结构转化为学生的认识结构，并不断充实、完善．同时学生也必须以其自身的活动为中介，积极参与教学活动，才能使教师主导的外部作用切实传导给学生，才能通过反馈又反作用于教师，教师通过反馈信息，随时调整教学过程，提高课堂教学的效率，保证教学目标的实现．
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