高中数学选修21优质学案13 简单的逻辑联结词.docx

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高中数学选修21优质学案13简单的逻辑联结词

§1.3　简单的逻辑联结词

学习目标　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.掌握用逻辑联结词改写命题的方法.3.掌握含逻辑联结词的命题真假的判断.4.掌握根据命题真假求参数的取值范围．

知识点一　“p且q”形式的命题

1．用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作p且q.

2．当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．（一假即假，全真即真）

知识点二　“p或q”形式的命题

1．用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读作p或q.

2．当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．（一真即真，全假即假）

知识点三　“非p”形式的命题

1．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作非p或p的否定．

2．若p是真命题，则綈p必是假命题；若p是假命题，则綈p必是真命题．

1．逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中．（　×　）

2．“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．（　×　）

3．命题“p∨（綈p）”是真命题．（　√　）

4．命题的否定与否命题是相同的概念．（　×　）

题型一　区分命题的构成形式

例1　指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题．

（1）方程2x2＋1＝0没有实数根；

（2）12能被3或4整除；

（3）有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形．

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　识别命题的构成形式

解　

（1）这个命题是“綈p”形式的命题，其中p：

方程2x2＋1＝0有实根．

（2）这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：

12能被3整除，q：

12能被4整除．

（3）这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：

有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：

有两个内角是45°的三角形是直角三角形．

反思感悟　

（1）辨别含逻辑联结词的命题的构成形式时，应根据组成含逻辑联结词的命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定含逻辑联结词的命题的形式，准确理解语义，应注意抓住一些关键词．如“是……，也是……”，“兼”，“不但……，而且……”，“既……，又……”，“要么……，要么……”等．

（2）要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．如a≥3是a>3或a＝3，xy＝0是x＝0或y＝0，x2＋y2＝0是x＝0且y＝0.

跟踪训练1　命题“三角形的一边大于另两边之差，而小于另两边之和”是________形式的复合命题．

考点　“且”的概念

题点　判断命题是否为“且（∧）”命题

[答案]　p∧q

题型二　用逻辑联结词构造新命题

例2　分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题：

（1）p：

π是无理数；q：

e不是无理数；

（2）p：

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；q：

三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角．

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　利用逻辑联结词构造新命题

解　

（1）“p∨q”：

π是无理数或e不是无理数；“p∧q”：

π是无理数且e不是无理数；“綈p”：

π不是无理数．

（2）“p∨q”：

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角；“p∧q”：

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；“綈p”：

三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．

反思感悟　用逻辑联结词构造新命题的两个步骤

跟踪训练2　写出下列命题．

（1）p∨q，其中p：

4∈{2,3}，q：

2∈{2,3}；

（2）p∧q，其中p：

4>4，q：

23不是偶数；

（3）綈p，其中p：

5不是15的约数．

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　利用逻辑联结词构造新命题

解　

（1）4∈{2,3}或2∈{2,3}．

（2）4>4且23不是偶数．

（3）5是15的约数．

题型三　含逻辑联结词的命题的真假判断

例3　分别指出由下列简单命题所构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假．

（1）p：

2是奇数，q：

2是合数；

（2）p：

函数f（x）＝3x－3－x是偶函数，q：

函数f（x）＝3x－3－x是单调递增函数；

（3）p：

点（1,2）在直线2x＋y－4＝0上，q：

点（1,2）不在圆x2＋（y－3）2＝2上；

（4）p：

不等式x2－x＋2<0没有实数解，q：

函数y＝x2－x＋2的图象与x轴没有交点．

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　判断复合命题的真假

解　

（1）因为p是假命题，q是假命题，

所以p∧q是假命题，p∨q是假命题，綈p是真命题．

（2）因为p是假命题，q是真命题，

所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，綈p是真命题．

（3）因为p是真命题，q是假命题，

所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，綈p是假命题．

（4）因为p是真命题，q是真命题，

所以p∧q是真命题，p∨q是真命题，綈p是假命题．

反思感悟　判断“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题真假的步骤

第一步，确定复合命题的构成形式；

第二步，判断简单命题p，q的真假；

第三步，根据真值表作出判断．

其中特别要注意：

一真“或”为真，一假“且”即假．

跟踪训练3　

（1）已知命题p：

4＋2＝5，命题q：

3>2，则下列判断中错误的是（　　）

A．p或q为真，非q为假

B．p或q为真，非p为真

C．p且q为假，非p为假

D．p且q为假，p或q为真

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　判断复合命题的真假

[答案]　C

[解析]　由p：

4＋2＝5，可得p是假命题，由q：

3>2，

可得命题q是真命题，所以p或q为真，p且q为假，非p为真，非q为假，故选C.

（2）已知命题p：

对任意的x∈R，总有2x>0；q：

“x>1”是“x>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∧（綈q）

C．（綈p）∧qD．p∧（綈q）

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　判断复合命题的真假

[答案]　D

[解析]　因为命题p：

对任意的x∈R，总有2x>0，

所以根据指数函数的性质得p是真命题．

“x>1”不能推出“x>2”，但是“x>2”能推出“x>1”，

所以“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q是假命题．

所以p∧（綈q）为真命题，故选D.

由复合命题的真假求参数的范围

典例　已知p：

方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：

方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实数根，若“p∨q”为真命题，“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　由复合命题的真假求参数的范围

解　p：

方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根⇔

⇔m>2.

q：

方程4x2＋4（m－2）x＋1＝0无实数根⇔Δ＝16（m－2）2－16<0⇔1

所以綈p：

m≤2，綈q：

m≤1或m≥3.

因为“p∨q”为真命题，“p∧q”是假命题，

所以p为真且q为假，或p为假且q为真．

（1）当p为真且q为假时，即p为真且綈q为真，

所以

解得m≥3；

（2）当p为假且q为真时，即綈p为真且q为真，

所以

解得1

综上所述，实数m的取值范围是（1,2]∪[3，＋∞）．

[素养评析]　

（1）解决逻辑联结词的应用问题，一般是先假设p，q分别为真，化简其中的参数的取值范围，然后当它们为假时取其补集，最后确定参数的取值范围．当p，q中参数的范围不易求出时，也可以利用綈p与p，綈q与q不是同真同假的特点，先求綈p，綈q中参数的范围．

（2）理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，有利于形成程序化思维，能促进数学思维的发展，培养程序化思考问题的品质.

1．命题“xy≠0”是指（　　）

A．x≠0且y≠0B．x≠0或y≠0

C．x，y至少有一个不为0D．不都是0

考点　“且”的概念

题点　判断命题是否为“且（∧）”命题

[答案]　A

[解析]　满足xy≠0，即x，y两个都不为0，故选A.

2．下列命题是真命题的是（　　）

A．5>2且7>8

B．3>4或3<4

C．9≤7

D．方程x2－3x＋4＝0有实根

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　判断复合命题的真假

[答案]　B

[解析]　对于A，p：

5>2是真命题，q：

7>8是假命题，故p∧q是假命题；对于B，p：

3>4是假命题，q：

3<4是真命题，故p∨q是真命题；对于C,9≤7是假命题；对于D，方程x2－3x＋4＝0有实根是假命题，故选B.

3．如果命题“p且q”是假命题，“非p”是真命题，那么（　　）

A．命题p一定是真命题

B．命题q一定是真命题

C．命题q一定是假命题

D．命题q可以是真命题也可以是假命题

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　判断复合命题的真假

[答案]　D

[解析]　“p且q”是假命题，则p，q中至少有一个为假命题．非p是真命题，

∴p是假命题，∴命题q可以是真命题，也可以是假命题．故选D.

4．已知命题p：

若x>y，则－x<－y；命题q：

若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧（綈q）；④（綈p）∨q中，真命题是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　判断复合命题的真假

[答案]　C

[解析]　当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．

当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．

由真值表知，①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧（綈q）为真命题；④（綈p）∨q为假命题．故选C.

5．p：

方程x2＋2x＋a＝0有实数根，q：

函数f（x）＝（a2－a）x是增函数，若“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，则实数a的取值范围________．

考点　“或”“且”“非”的综合问题

题点　由复合命题的真假求参数的范围

[答案]　[0，＋∞）

[解析]　∵方程x2＋2x＋a＝0有实数根，

∴Δ＝4－4a≥0，解得a≤1.

∵函数f（x）＝（a2－a）x是增函数，

∴a2－a>0，解得a<0或a>1.

∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，

∴p，q中一真一假．

①当p真q假时，得0≤a≤1；

②当p假q真时，得a>1.

由①②得，所求a的取值范围是a≥0.