当a≥e时，函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为.
思维升华 求函数f（x）在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
（1）求函数在（a，b）内所有使f′（x）＝0的点；
（2）求函数在区间端点的函数值f（a），f（b）；
（3）将函数f（x）在区间内使f′（x）＝0的所有点的函数值，与f（a），f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
已知y＝f（x）是奇函数，当x∈（0,2）时，f（x）＝lnx－ax（a>），当x∈（－2,0）时，f（x）的最小值为1，则a的值等于（ ）
A.B.C.D．1
答案 D
解析 由题意知，当x∈（0,2）时，f（x）的最大值为－1.
令f′（x）＝－a＝0，得x＝，
当00；
当x>时，f′（x）<0.
∴f（x）max＝f＝－lna－1＝－1，解得a＝1.
题型三 函数极值和最值的综合问题
例5 已知函数f（x）＝（a>0）的导函数y＝f′（x）的两个零点为－3和0.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）的极小值为－e3，求f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值．
解
（1）f′（x）＝
＝.
令g（x）＝－ax2＋（2a－b）x＋b－c，
因为ex>0，所以y＝f′（x）的零点就是g（x）＝－ax2＋（2a－b）x＋b－c的零点，且f′（x）与g（x）符号相同．
又因为a>0，所以－30，即f′（x）>0，
当x<－3或x>0时，g（x）<0，即f′（x）<0，
所以f（x）的单调递增区间是（－3,0），单调递减区间是（－∞，－3），（0，＋∞）．
（2）由
（1）知，x＝－3是f（x）的极小值点，
所以有
解得a＝1，b＝5，c＝5，
所以f（x）＝.
因为f（x）的单调递增区间是（－3,0），单调递减区间是（－∞，－3），（0，＋∞），
所以f（0）＝5为函数f（x）的极大值，
故f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值取f（－5）和f（0）中的最大者，
而f（－5）＝＝5e5>5＝f（0），
所以函数f（x）在区间[－5，＋∞）上的最大值是5e5.
思维升华 求函数在无穷区间（或开区间）上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
已知函数f（x）＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m、n∈[－1,1]，则f（m）＋f′（n）的最小值是（ ）
A．－13B．－15
C．10D．15
答案 A
解析 对函数f（x）求导得f′（x）＝－3x2＋2ax，
由函数f（x）在x＝2处取得极值知f′
（2）＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f（x）＝－x3＋3x2－4，f′（x）＝－3x2＋6x，
易知f（x）在[－1,0）上单调递减，在[0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f（m）min＝f（0）＝－4.
又∵f′（x）＝－3x2＋6x的图象开口向下，
且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′（n）min＝f′（－1）＝－9.
故f（m）＋f′（n）的最小值为－13.
3．利用导数求函数的最值问题
典例 （12分）已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a>0时，求函数f（x）在[1,2]上的最小值．
思维点拨
（1）已知函数解析式求单调区间，实质上是求f′（x）>0，f′（x）<0的解区间，并注意定义域．
（2）先研究f（x）在[1,2]上的单调性，再确定最值是端点值还是极值．（3）两小问中，由于解析式中含有参数a，要对参数a进行分类讨论．
规范解答
解
（1）f′（x）＝－a（x>0），
①当a≤0时，f′（x）＝－a>0，即函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）．[2分]
②当a>0时，令f′（x）＝－a＝0，可得x＝，
当00；
当x>时，f′（x）＝<0，
故函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为.[4分]
综上可知，
当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）；
当a>0时，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为.[5分]
（2）①当≤1，即a≥1时，函数f（x）在区间[1,2]上是减函数，所以f（x）的最小值是f
（2）＝ln2－2a.[6分]
②当≥2，即0（1）＝－a.[7分]
③当1<<2，即（2）－f
（1）＝ln2－a，
所以当（1）＝－a；
当ln2≤a<1时，最小值为f
（2）＝ln2－2a.[11分]
综上可知，
当0当a≥ln2时，函数f（x）的最小值是ln2－2a.[12分]
用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题
第一步：
（求导数）求函数f（x）的导数f′（x）；
第二步：
（求极值）求f（x）在给定区间上的单调性和极值；
第三步：
（求端点值）求f（x）在给定区间上的端点值；
第四步：
（求最值）将f（x）的各极值与f（x）的端点值进行比较，确定f（x）的最大值与最小值；
第五步：
（反思）反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．
温馨提醒
（1）本题考查求函数的单调区间，求函数在给定区间[1,2]上的最值，属常规题型．
（2）本题的难点是分类讨论．考生在分类时易出现不全面，不准确的情况．
（3）思维不流畅，答题不规范，是解答中的突出问题．
[方法与技巧]
1．如果在区间[a，b]上函数y＝f（x）的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
2．求闭区间上可导函数的最值时，对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断，直接与端点的函数值比较即可．
3．当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值必为函数的最值．
4．求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全，含参数时，要讨论参数的大小．
[失误与防范]
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．
2．求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论．
3．函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
A组 专项基础训练
（时间：
35分钟）
1．当函数y＝x·2x取极小值时，x等于（ ）
A.B．－
C．－ln2D．ln2
答案 B
解析 令y′＝2x＋x·2xln2＝0，
∴x＝－.
经验证，－为函数y＝x·2x的极小值点．
2．函数y＝lnx－x在x∈（0，e]上的最大值为（ ）
A．eB．1C．－1D．－e
答案 C
解析 函数y＝lnx－x的定义域为（0，＋∞）．
又y′＝－1＝，令y′＝0得x＝1，
当x∈（0,1）时，y′>0，函数单调递增；
当x∈（1，e]时，y′<0，函数单调递减．
当x＝1时，函数取得最大值－1.
3．设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数f（x）在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（ ）
答案 C
解析 由函数f（x）在x＝－2处取得极小值，可得f′（－2）＝0，且当x∈（a，－2）（a<－2）时，f（x）单调递减，即f′（x）<0；当x∈（－2，b）（b>－2）时，f（x）单调递增，即f′（x）>0.
所以函数y＝xf′（x）在区间（a，－2）（a<－2）内的函数值为正，在区间（－2，b）（－24．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f
（2）等于（ ）
A．11或18B．11
C．18D．17或18
答案 C
解析 ∵函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，
∴f
（1）＝10，且f′
（1）＝0，
即解得或
而当时，函数在x＝1处无极值，故舍去．
∴f（x）＝x3＋4x2－11x＋16，
∴f
（2）＝18.
5．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（a＋6）x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．（－1,2）B．（－∞，－3）∪（6，＋∞）
C．（－3,6）D．（－∞，－1）∪（2，＋∞）
答案 B
解析 ∵f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6），
由已知可得f′（x）＝0有两个不相等的实根．
∴Δ＝4a2－4×3（a＋6）>0，即a2－3a－18>0.
∴a>6或a<－3.
6．函数f（x）＝＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．
答案 －
解析 f′（x）＝x2＋2x－3，f′（x）＝0，x∈[0,2]，
得x＝1.
比较f（0）＝－4，f
（1）＝－，
f
（2）＝－，可知最小值为－.
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，则实数a的取值范围是________．
答案 （－∞，－1）
解析 ∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.
∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，
则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，
∵x>0时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1.
8．函数f（x）＝x3－3a2x＋a（a>0）的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是________．
答案 （，＋∞）
解析 f′（x）＝3x2－3a2＝3（x＋a）（x－a），
由f′（x）＝0得x＝±a，
当－a当x>a或x<－a时，f′（x）>0，函数递增．
∴f（－a）＝－a3＋3a3＋a>0且f（a）＝a3－3a3＋a<0，
解得a>.
∴a的取值范围是（，＋∞）．
9．设f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线与y轴相交于点（0,6）．
（1）确定a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
解
（1）因为f（x）＝a（x－5）2＋6lnx，
所以f′（x）＝2a（x－5）＋.
令x＝1，得f
（1）＝16a，f′
（1）＝6－8a，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f
（1））处的切线方程为
y－16a＝（6－8a）（x－1），
由点（0,6）在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝.
（2）由
（1）知，f（x）＝（x－5）2＋6lnx（x>0），
f′（x）＝x－5＋＝.
令f′（x）＝0，解得x＝2或3.
当03时，f′（x）>0，
故f（x）在（0,2），（3，＋∞）上为增函数；
当2由此可知f（x）在x＝2处取得极大值f
（2）＝＋6ln2，在x＝3处取得极小值f（3）＝2＋6ln3.
综上，f（x）的单调增区间为（0,2），（3，＋∞），单调减区间为（2,3），f（x）的极大值为＋6ln2，极小值为2＋6ln3.
10．已知函数f（x）＝（x－k）ex.
（1）求f（x）的单调区间；
（2）求f（x）在区间[0,1]上的最小值．
解
（1）由题意知f′（x）＝（x－k＋1）ex.
令f′（x）＝0，得x＝k－1.
f（x）与f′（x）随x的变化情况如下表：
x
（－∞，k－1）
k－1
（k－1，＋∞）
f′（x）
－
0
＋
f（x）
－ek－1
所以，f（x）的单调递减区间是（－∞，k－1）；单调递增区间是（k－1，＋∞）．
（2）当k－1≤0，即k≤1时，f（x）在[0,1]上单调递增，
所以f（x）在区间[0,1]上的最小值为f（0）＝－k；
当0f（x）在[0，k－1]上单调递减，在[k－1,1]上单调递增，
所以f（x）在区间[0,1]上的最小值为f（k－1）＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，f（x）在[0,1]上单调递减，
所以f（x）在区间[0,1]上的最小值为f
（1）＝（1－k）e.
综上，当k≤1时，f（x）在[0,1]上的最小值为f（0）＝－k；
当1f（k－1）＝－ek－1；
当k≥2时，f（x）在[0,1]上的最小值为f
（1）＝（1－k）e.
B组 专项能力提升
（时间：
25分钟）
11．函数f（x）的定义域是R，f（0）＝2，对任意的x∈R，f（x）＋f′（x）>1，则不等式ex·f（x）>ex＋1的解集是（ ）
A．{x|x>0}B．{x|x<0}
C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0答案 A
解析 构造函数g（x）＝ex·f（x）－ex－1，
求导得到g′（x）＝ex·f（x）＋ex·f′（x）－ex＝ex[f（x）＋f′（x）－1]．
由已知f（x）＋f′（x）>1，可得到g′（x）>0，
所以g（x）为R上的增函数；
又g（0）＝e0·f（0）－e0－1＝0，
所以ex·f（x）>ex＋1，
即g（x）>0的解集为{x|x>0}．
12.若函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能为（ ）
答案 C
解析 根据f′（x）的符号，f（x）图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A、D；从适合f′（x）＝0的点可以排除B.
13．函数f（x）＝x3－3ax＋b（a>0）的极大值为6，极小值为2，则f（x）的单调递减区间是________．
答案 （－1,1）
解析 令f′（x）＝3x2－3a＝0，得x＝±，
则f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：
x
（－∞，－）
－
（－，）
（，＋∞）
f′（x）
＋
0
－
0
＋
f（x）
极大值
极小值
从而
解得
所以f（x）的单调递减区间是（－1,1）．
14．若函数f（x）＝x3－3x在（a,6－a2）上有最小值，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2,1）
解析 f′（x）＝3x2－3＝0，得x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．
函数f（x）在区间（a,6－a2）上有最小值，则函数f（x）极小值点必在区间（a,6－a2）内，
即实数a满足a<1<6－a2且f（a）＝a3－3a≥f
（1）＝－2.
解a<1<6－a2，得－不等式a3－3a≥f
（1）＝－2，
即a3－3a＋2≥0，即a3－1－3（a－1）≥0，
即（a－1）（a2＋a－2）≥0，
即（a－1）2（a＋2）≥0，即a≥－2.
故实数a的取值范围是[－2,1）．
15．已知函数f（x）＝ae2x－be－2x－cx（a，b，c∈R）的导函数f′（x）为偶函数，且曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线的斜率为4－c.
（1）确定a，b的值；
（2）若c＝3，判断f（x）的单调性；
（3）若f（x）有极值，求c的取值范围．
解
（1）对f（x）求导，得f′（x）＝2ae2x＋2be－2x－c，
由f′（x）为偶函数，知f′（－x）＝f′（x）恒成立，
即2（a－b）（e2x－e－2x）＝0，所以a＝b.
又f′（0）＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.
（2）当c＝3时，f（x）＝e2x－e－2x－3x，那么
f′（x）＝2e2x＋2e－2x－3≥2－3＝1>0，
当且仅当2e2x＝2e－2x，即x＝0时，“＝”成立．
故f（x）在R上为增函数．
（3）由
（1）知f′（x）＝2e2x＋2e－2x－c，
而2e2x＋2e－2x≥2＝4，
当x＝0时等号成立．
下面分三种情况进行讨论：
当c<4时，对任意x∈R，f′（x）＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f（x）无极值；
当c＝4时，对任意x≠0，f′（x）＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f（x）无极值；
当c>4时，令e2x＝t，注意到方程2t＋－c＝0有两根t1＝>0，t2＝>0，
即f′（x）＝0有两个根x1＝lnt1，x2＝lnt2.
当x1又当x>x2时，f′（x）>0，
当x0，
从而f（x）在x＝x1处取得极大值，在x＝x2处取得极小值．
综上，若f（x）有极值，则c的取值范围为（4，＋∞）．
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